Бурбакиевская Единица. Красота сверхдистанционной абстракции

14.05.2023

Комментарий:
Еще учась в институте, я был озадачен этим определением, и именно тогда у меня возникло то понимание, которое я хочу изложить в этой статье. Но все же, имея физико-математическое образование, я сейчас далек от науки, поэтому, как обычно, это всего лишь мое непрофессиональное мнение и анализ, который, впрочем, как мне кажется, может быть интересен таким же любопытным не профессионалам, как и я.

Это определение было дано Бурбаки мимоходом, в одном из комментариев в «Теории множеств»:

(гл. III, пар. 3, п. 2, стр 188.

Бурбакиевская Единица. Красота сверхдистанционной абстракции

Информация об издании

В издании 1970 года были сделаны некоторые изменения, которые существенно удлинили длину терма. Оценка длины, приведенная в аннотации, была сделана с учетом этого изменения. В моем случае я ссылаюсь на следующее издание:

Пояснение знаков и терминов

Для построения любых знакосочетаний теории, Бурбаки вводят лишь следующие символы:

буквы (в нашем примере — )
знаки

знак связи (не потребуется в нашей статье)

Все остальное, что вы видите в приведенном определении единицы — сокращения.

Пояснение некоторых знаков:

$\tau$ — тау оператор, или оператор выбора, или $\epsilon$ оператор Гильберта — это самый загадочный объект, и мы посвятим ему существенную часть статьи.

$\vee$ — логический оператор «или».

$\lnot$ — логическое отрицание.

= — равно.

$\in$ — принадлежность.

Для оставшихся двух знаков не могу найти latex функции, но они нам и не потребуются в статье.

Есть также знак связи (рисуется между $\tau$ оператором и значком квадрата), который нам тоже не потребуется.

Знакосочетание обычно выглядит как-то так:

(Не пытайтесь понять смысл — его нет, это просто пример формальной записи).

При этом Бурбаки сразу же оговариваются, что если следовать формальным правилам, используя только эти введенные знаки, то это приведет к «типографическим и умственным затруднениям» (в силу безумной длинны), поэтому вводятся сокращения — скобки, кванторы, и все остальное, с чем мы привыкли работать в математике.

Примеры некоторых сокращений:

$\exists$ — квантор существования. $\exists u$ читается, как «существует такое «.

$\forall$ — квантор всеобщности. $\forall u$ читается, как «для любого «.

$\wedge$ — логическое «и».

$\Rightarrow$ — импликация; оборот «если … , то …».

$\Leftrightarrow$ — эквивалентность.

$\varnothing$ — пустое множество.

1 — единица.

— пара.

$\times$ — символ прямого произведения множеств.

… ( я привел только те, что мы будем использовать в данной статье)

Так, например, пустое множество имеет следующее представление:

Сначала шокирует, правда?

Терм:

Бурбаки делят знакосочетания на термы, соотношения и теоремы. В «Теории множеств» даются точные правила, как их различить, но не будем усложнять. Просто примем тот факт, что запись единицы — это терм.

Давайте разбираться. В принципе, в вышеприведенном отрывке все уже объяснено, я лишь соберу всю информацию воедино.

Сначала немного поменяем вид записи, чтобы было ясно видно шесть соотношений, объединенных логическим «и» ( $\wedge$ ), и структурность, определяемую скобками.

$\tau_Z\Biggl((\exists u)(\exists U)\biggl( u=(U,\{\varnothing\},Z)\wedge$

$U \subset \{\varnothing\} \times Z \wedge$

$(\forall x)\Bigl((x \in \{\varnothing\})\Rightarrow (\exists y)\bigl ((x,y) \in U\bigl)\Bigl)\wedge$ .

$(\forall x)(\forall y)(\forall y') \biggl(\Bigl((x,y) \in U \wedge (x,y') \in U\Bigl)\Rightarrow (y=y')\biggl)\wedge$

$(\forall y)\Bigl((y \in Z) \Rightarrow(\exists x)((x,y) \in U)\Bigl)\wedge$
$(\forall x)(\forall x')(\forall y)\biggl(\Bigl((x,y)\in U \wedge (x',y) \in U\Bigl)\Rightarrow(x=x')\biggl)$
$\biggl)\Biggl)$

Комментарий:
Последнее соотношение было добавлено переводчиком из формальных соображений — оно не учитывается при расчете длины терма.

Бурбаки вводят понятие единицы через кардинальные числа, поэтому это наш следующий пункт.

Кардинальные числа

Обычно для конечных множеств кардинальное число или мощность множества вводится как количество элементов в множестве. Так, кардинальное число множества, состоящего из трех элементов $\{a,b,c\}$ равно 3: $Card \{a, b, c\} = 3$ . Но в нашем подходе натуральные числа еще не определены, и подход как раз обратный — натуральные числа вводятся через кардинальные числа. Поэтому данное простое определение нам не подходит.

Бурбаки вводят определение кардинального числа следующим образом:

$Card(X) = \tau_Z(Eq(X,Z))$

Ниже в статье мы попытаемся «понять» смысл этой записи. Вся «глубина» кроется в символе $\tau$ .

Так вот, единица вводится, как кардинальное число множества, состоящего из пустого множеств.

$1 \equiv Card(\{\varnothing\}) = \tau_Z(Eq(\{\varnothing\},Z))$

Все остальные натуральные числа вводятся подобным образом, например, для 2

$2 \equiv Card(\{\varnothing, \{\varnothing\}\}) = \tau_Z(Eq(\{\varnothing, \{\varnothing\}\},Z))$ .

Равномощность

Если отложить понимание $\tau$ оператора, то остается только понять смысл $Eq(\{\varnothing\},Z)$ .

— это утверждение равномощности множеств и .

Для конечных множеств это просто значит, что количество элементов в множестве X ровно такое же, как и в множестве Y. Но, опять-таки, мы же еще не умеем считать. Поэтому Бурбаки идут другим путем — они идут через взаимно однозначные соответствия. Действительно, если мы можем установить взаимно однозначное соотношение между элементами двух множеств (для каждого элемента), то понятно, что эти множества будут иметь и одинаковое количество элементов. Формально, чтобы определить понятие равномощности, Бурбаки последовательно определяют следующие поняти.

график

соответствие

функция (отображение)

биекция

равномощность

Давайте и мы пройдем этим же путем.

График

(гл. II, пар. 3, п. 1.

Определение:
Говорят, что G есть график, если каждый элемент в G есть пара, иначе говоря, если справедливо соотношение:

$(\forall z)(z \in G \Rightarrow (z$ есть пара

Пара обозначается как . При этом вводится понятие проекции.

Проекция 1:

Проекция 2:

Здесь все просто. График — это набор пар вида . Проекция 1 — есть первый элемент в паре ( в нашем примере), а проекция 2 — второй (y).

Далее Бурбаки вводят понятие соответствия.

Соответствие

(гл. II, пар. 3, п. 1)

Определение:
Соответствием между множеством A и множеством B называется тройка $\Gamma = (G,A,B),$ где G — график, такой, что $pr_1 G \subset A$ и $pr_2 G \subset B$ . Мы говорим, что G есть график соответствия $\Gamma$ , — область отправления, и — область прибытия соответствия.

Проще показать на примере:

Следующая тройка является соответствием:

$A = \{a_1,a_2,a_3\}$ — область отправления соответствия

$B = \{b_1,b_2,b_3\}$ — область прибытия соответствия

$G = \{(a_1,b_1), (a_1,b_2), (a_2,b_1)\}$ — график соответствия

Обратите внимание, что множество всех проекций 1 графика ( $\{a_1, a_2\}$ в нашем примере) является подмножеством области отправления ( $\{a_1,a_2,a_3\}$ в нашем примере), как и множество проекций 2 ( $\{b_1, b_2\}$ ) — подмножество области прибытия ( $\{b_1, b_2, b_3\}$ ).

Функция (отображение)

(гл. II, пар. 3, п. 4)

Теперь мы можем дать определение функции:

При этом также говорят об f, как об отображении множества в множество .

Функциональный график — это о том же, о чем и хорошо известное со школы определение функции (однозначной). А далее говорится, что в случае функции область отправления должна быть ровно той же, что и область определения (множество всех проекций 1).

Например, вот это будет функцией :

$A = \{a_1,a_2,a_3\}$

$B = \{b_1,b_2,b_3\}$

$F = \{(a_1,b_1), (a_2,b_1), (a_3,b_2)\}$

Биекция

(гл. II, пар. 3, п. 7)

Определение:
Пусть — отображение в . Мы скажем, что есть инъекция, или инъективное отображение, если любые два различных элемента из имеют различные образы относительно . Мы скажем, что есть сюръекция, или суръективное отображение, если . Мы скажем, что есть биекция, или биективное отображение, если одновременно и инъективно и сюръективно.

Теперь это действительно взаимно однозначное соответствие для всех элементов, как области отправления, так и области прибытия. Например, следующее отображение является биекцией (а все, приведенные выше, не являются биекцией):

$A = \{a_1,a_2,a_3\}$

$B = \{b_1,b_2,b_3\}$

$F = \{(a_1,b_1), (a_2,b_3), (a_3,b_2)\}$

Равномощность

(гл.3, пар.3, п.1)

Определение:
Мы будем говорить, что множество равномощно множеству если существует биекция на . Соотношение « равномощно множеству » мы будем обозначать как .

Теперь мы готовы к пониманию, что же у нас написано в определении единицы.

Собираем все воедино

Первая строчка:

$(\exists u)(\exists U)(u=(U,\{\varnothing\},Z)$ …

Это значит, что существуют такие и , что равно тройке $(U,\{\varnothing\},Z)$ . При этом в рамках введенных ранее обозначений на первом месте в тройке ( в данном случае) — график, на втором и третьем $(\{\varnothing\},Z)$ — множества. Свойства этой тройки объясняются в следующих строчках.

Вторая строчка:

$U \subset \{\varnothing\} \times Z$

Перемножение множеств $A \times B$ — это набор всевозможных пар , где $a \in A$ и $b \in B$ . Но тогда вторая строчка всего лишь значит, что — это график, а $u=(U,\{\varnothing\},Z)$ — это соответствие (с графиком , областью отправления $\{\varnothing\}$ и областью прибытия ), которое … (смотрим следующие строчки).

Третья строчка:

$(\forall x)\Bigl((x \in \{\varnothing\})\Rightarrow (\exists y)\bigl ((x,y) \in U\bigl)\Bigl)$

Выглядит немного странно, потому что у нас только один элемент в множестве, но формально это значит, что область отправления соответствия равна области определения .

Четвертая строчка:

$(\forall x)(\forall y)(\forall y') \biggl(\Bigl((x,y) \in U \wedge (x,y') \in U\Bigl)\Rightarrow (y=y')\biggl)$

Это утверждение, что график функционален, то есть для каждого элемента $x \in \{\varnothing\}$ (да, звучит опять-таки странно, потому что только один элемент), существует не более, чем один объект, соответствующий этому x относительно . Вместе со строчкой 3 это дает то, что есть функция, отображающая $\{\varnothing\} \rightarrow Z$ .

Пятая строчка и шестая строчки (шестая строчка добавлена переводчиком) являются зеркальным отражением ( $Z \rightarrow \{\varnothing\}$ ) третьей и четвертой, что говорит о биекции

$(\forall y)\Bigl((y \in Z) \Rightarrow(\exists x)((x,y) \in U)\Bigl)$

$(\forall x)(\forall x')(\forall y)\biggl(\Bigl((x,y)\in U \wedge (x',y) \in U\Bigl)\Rightarrow(x=x')\biggl)$

Таким образом действительно, эти шесть строчек (пока не рассматриваем $\tau$ ) — это просто логическая запись того, что было определено Бурбаки, как равномощность между множеством и множеством $\{\varnothing\}$ : $Eq(\{\varnothing\},Z)$ .

Теперь давайте поймем смысл выражения $\tau_zEq(\{\varnothing\},Z)$ .

Тау символ Бурбаки и эпсилон оператор Гильберта

Пытаясь понять точный смысл $\tau$ оператора, я постоянно приходил к противоречию. Я не смог понять значение этого оператора у Бурбаки и обратился к другим источникам. Так, например, возьмем википедию.

Читаем, что $\tau$ символ Бурбаки является эквивалентом $\epsilon$ оператору Гильберта и обозначает то же самое («is equivalent to the Hilbert notation and is read the same»). Хорошо, продолжаем читать википедию, пытаясь понять, что же представляет собой эпсилон оператор Гильберта.

Предполагаемая интерпретация $\epsilon_x A$ — это некоторый , который удовлетворяет , если он существует. Другими словами, $\epsilon_x A$ возвращает некий терм такой, что истинно, в противном случае он возвращает какой-либо терм по умолчанию или произвольный терм. Если более, чем один терм может удовлетворять , то любой из этих термов (которые делают истинным) может быть выбран недетерминистически.

(«The intended interpretation of $\epsilon_xA$ is some that satisfies , if it exists. In other words, $\epsilon_x A$ returns some term such that is true, otherwise it returns some default or arbitrary term. If more than one term can satisfy , then any one of these terms (which make true) can be chosen, non-deterministically.»)

Применив это к нотации Бурбаки, имеем, что $\tau_xA(x)$ это просто КАКОЙ-ТО элемент , который делает истинным (если он есть). И этот элемент выбирается недетерменированно, но тогда для меня это значит, что это ЛЮБОЙ случайно выбранный элемент делающий A истинным (возможно, я не понял определение, данное в википедии). Я встречал подобное определение и в других источниках. Но если мы примем именно такое понимание символа $\tau$ , то мы не сможем понять ни определение единицы, ни многое другое в Бурбаки.

Аксиома S7

Так, например, аксиома S7 гласит:

Но почему?

Давайте рассмотрим пример.

Предположим, что у меня в кармане лежат 3 одинаковых монетки, и что-то еще, например, блокнот и ручка. Пусть утверждение : » — это круглый предмет, и он находится в моем кармане», а утверждение : » — это металлический предмет, и он находится в моем кармане». Тогда для этих монеток выполняется условие ( $\forall x$ ) ( $R \Leftrightarrow S$ ). Действительно, любой металлический предмет в моем кармане — это монетка, а значит она круглая и, наоборот, любой круглый элемент в моем кармане металлический (да, мы считаем что монетки круглые и металические). Но тогда в соответствии с аксиомой $\tau_x(R)=\tau_x(S)$ . Но, если я выбираю элемент случайно, мне не понятно, почему это должен быть один и тот же элемент. Почему случайно выбранный круглый объект в моем кармане является тем же самым, что и случайно выбранный металлический предмет в моем кармане?

Но, если мы прочитаем пояснение Бурбаки, то мы увидим, что речь идет не о КАКОМ-ТО СЛУЧАЙНОМ, а о ПРИВИЛЕГИРОВАННОМ предмете.

Но что значит «привилегированный»?

Формально, никто не должен ничего объяснять (чему и следуют Бурбаки). Бурбаки ввели аксиому S7, и таким образом определили поведение $\tau$ оператора. То, что эта аксиома «все больше отдаляется от обычной интуиции» ( что означает лишь то, что понять это невозможно) не является определяющим или блокирующим фактором для математика. Не важно, понятно это или нет публике, да и самим математикам, если это не приводит к противоречиям, значит это допустимо. Ну, впрочем, физикам не привыкать — квантовую теорию, например, сложно назвать интуитивно понятной.

Но все-таки математики (в том числе и Гильберт) пытаются объяснить.

Исторически сначала Гильберт ввел именно $\tau$ символ и определил его следующим образом:

Обратите внимание, что здесь появилось описание того, как находится этот привилегированный объект — в данном случае это самый «неподходящий» или самый «худший» для данного предиката элемент. И если уж для него утверждение верно, то оно верно и для всех остальных объектов. В дальнейшем смысл оператора был несколько изменен, также изменился и символ. Вместо $\tau$ стали использовать $\epsilon$ .

Вот как объясняет этот $\epsilon$ оператор J.L. Bell в статье «Hilbert’s $\epsilon$ operator and classical logic «:

Вот оно! Выделенный элемент в данной интерпретации — это ИДЕАЛЬНЫЙ элемент. Наш привилегированный элемент — это самый подходящий, идеальный элемент относительно утверждения. Бурбаки взяли именно это определение, но оставили из типографических соображений символ $\tau$ (вместо $\epsilon$ ). Седьмая же аксиома Бурбаки соответствует 2-й эпсилон аксиоме введенной Аккерманом в 1938 году.

Но все же вернемся к нашим монеткам. Почему самое металлическое должно равняться самому круглому? Могу повторить только слова Бурбаки о том, что как-то это становится совсем неинтуитивным. Получается так, что не важно, по какому признаку мы определили множество, $\epsilon$ оператор выбирает один элемент из этого множества, который идеально представляет это множество. Я могу это понять только в такой интерпретации. Тогда, действительно, это будет один и тот же элемент.

Но вернемся к нашему определению.

$Eq(\{\varnothing\},Z)$ . Это лишь значит любое множество , состоящее из одного элемента. Но, т.к. термин единица пока не введен, то берется множество $\{\varnothing\}$ (которое состоит из одного элемента) и ставится условие, что равномощно этому множеству. Например, если вы представили одну овцу, то ваша мысленная овца тоже удовлетворяет этому условию, а также представляемый вами один абстрактный предмет (если вы способны это сделать) — тоже часть этого множества.

$\tau_Z(Eq(\{\varnothing\},Z))$ — это идеальные множество из всех множеств, состоящих из одного элемента (равномощных $\{\varnothing\}$ ) , элемент, который наилучшим образом отражает суть всех этих множеств, отбрасывая частности и представляя только суть, заключающуюся в том, что это множество состоит из одного элемента (равномощно $\{\varnothing\}$ ). Так, например, все более абстрагируясь, мы можем в качестве предела представить совсем абстрактное множество, единственным свойством которого будет только то, что это множество состоит из одного элемента. Это множество и будет нашим идеальным элементом. Но ведь это уже можно принять за единицу.

Красиво, не права ли.

Как я понял из моего короткого исследования, эта тема по-прежнему будоражит математико-философские умы. Так, например, в статье Boniface, J. (2004). «Hilbert et la notion d’existence en mathématiques» исследуется вопрос, является ли $\epsilon_x$ идеальным элементом или идеей (в Платоновском смысле). В контексте этого анализа подумалось, что, может быть, было бы честнее ввести еще одну функцию , которая возвращала бы платоновскую идею, взятую от идеала и определить единицу, как

$1 \equiv idea(\tau_Z(Eq(\{\varnothing\},Z))$
Но здесь мой мозг уже начинает закипать.

Источник