Аналитическое решение уравнений Максвелла: собственные моды оптоволокна (любителям «матана»)

Как-то мне понадобилась «собственная мода оптоволокна«. Но я нигде не нашел аналитического выражения электромагнитного поля. Ну и «сделал сам», раз не нашел, и оформил для всех тут, в статье. Так что, скорее всего, нигде больше вы такого не встретите — уникальнейшая вещь! В книжках это не пишут, потому что оно длинное — обычно пишут самое простое, а про общий случай упоминают вскользь. Ну вот он, общий случай, под катом.

Постановка задачи

Решить уравнения Максвелла с условиями:
— оптоволокно состоит из сердцевины радиуса $$ с диэлектрической проницаемостью $$ и оболочки бесконечного внешнего радиуса с диэлектрической проницаемостью $$,
— поле периодично по $$, пространственная частота всех компонент поля едина: $$,
— компоненты поля на оси $$ — без особенностей,
— компоненты поля при $$ интегрируемы с квадратом,
— тангенциальные компоненты поля на поверхности цилиндра $$ — непрерывны:

$$

$$

$$

$$

1. Преобразование уравнений Максвелла, вызванное периодичностью по $$

Подставив в уравнения Максвелла периодическую зависимость по $$:

$$

получаются уравнения на $$-компоненты поля:

$$

При этом остальные компоненты выражаются через $$-компоненты по закону:

$$

где $$ — единичный вектор вдоль оси $$, $$, $$.

2. Уравнения на $$-компоненты в полярных координатах

Уравнения на $$ имеют один вид, решения одинаковы, поэтому естественно переобозначение искомой функции:

$$

В полярных координатах уравнение имеет вид:

$$

3. Разделение переменных в уравнении

Подстановкой в уравнение зависимости $$ переменные разделяются:

$$

Обозначив константу равенства символом $$ выписываются обе части равенства:

$\$\$display\$\$-\; frac\{1\}\{v(varphi)\}frac\{partial^2\; \}\{partial\; varphi^2\}v(varphi)\; =\; nu^2,\$\$display\$\$$

$$

4. Решение первого уравнения

Первое уравнение имеет решения: $$.

Из периодического граничного условия $$, следует, что $$ — целое: $$ $$

5. Решение второго уравнения

Второе уравнение сводится либо к уравнению Бесселя, либо к модифицированному уравнению Бесселя:
1. Уравнение Бесселя:

$$

2. Модифицированное уравнение Бесселя:

$$

Уравнению Бесселя удовлетворяют функции Бесселя $$ и функции Неймана $$. Модифицированному уравнению Бесселя удовлетворяют функции Инфельда $$ и функции Макдональда $$.

В силу граничных условий: при $$ — функция без особенностей, при $$ — функция интегрируема с квадратом, при $$ — тангенциальные компоненты поля непрерывны, — в качестве решения предлагается следующая комбинация: при $$ — функция Бесселя $$, при $$.

Из предложенной комбинации следует, что сердцевина должна быть более оптически плотной, чем оболочка, $$6. Общий вид компонент $$

Введя обозначения: $$ компоненты $$ записываются в виде:

$$

$$

$$ (может принимать отрицательные значения), потому в индексах функций присутствует знак модуля (в уравнении Бесселя имеет место $$, знак индекса предполагается неотрицательный). Далее знак модуля в индексах функций опускается, но подразумевается.

Кроме того, введен индекс для магнитной проницаемости: $$ — в сердцевине, $$ — в оболочке.

7. Соотношения на константы $$

Используя закон

$$

находятся компоненты $$, имея при этом в виду, что $$.
Компоненты подставляются в граничное условие непрерывности тангенциальных компонент:

$$

$$

$$

$$

Получается система линейных уравнений, суть соотношения на константы $$, которая имеет вид:

$$

8. Дисперсионное соотношение

Для существования нетривиального решения системы линейных уравнений, определитель матрицы должен равняться нулю:

$$

В этой записи нулевого детерминанта использованы обозначения: $$ $$ и соотношения: $$, которые следуют из введенных ранее определений: $$.

Величины $$ — связаны еще одним равенством, следующим из двух последних определений и утверждения, что $$ — едина для всех компонент:

$$

9. Моды

Для нахождения $$ из системы уравнений:

$$

$$

необходимо задать: $$.

Связь $$ и $$ первым уравнением представляет собой серию линий на плоскости (граница раздела между синим и красным цветами, см. рис. ниже). Характер линий зависит от $$.

Связь $$ и $$ вторым уравнением представляет собой окружность с радиусом, линейно зависящим от $$. Точки пересечения линий являются решениями системы уравнений.

Набор решений составляет конечное число пар чисел $$. Каждой такой паре чисел соответствует конфигурация электромагнитного поля, называемой «собственной модой».

Моду оптоволокна принято обозначать следующим образом: две буквы ($$) — на первом месте буква с наибольшей $$-компонентой и два индекса: на первом месте $$, на втором номер ветви (на рисунке обозначена синим цветом).

Примеры обозначения:
$$ говорит о том, что $$ больше, чем $$, $$, выбрана пара (см.рис. выше) $$,
$$ говорит о том, что $$ больше, чем $$, $$, выбрана пара (см.рис. выше) $$ (третья синяя ветвь).

10. Порядок построения компонент поля

Подготовительные вычисления:

01. Задать $$;
02. Найти наборы $$, выбрать один, (п.9);
03. Вычислить $$, (п.8);
04. Вычислить $$, (п.7).

Выражения в цилиндрических координатах компонент поля:

$$

$$

$$:

$$

$$

При $$

$$

Далее

$$

При этом замыкающие соотношения стандартные:$$(индексы указывают на соответствующие среды).

Выражение поля в декартовой системе координат через цилиндрические для электрических компонент:

$$

Для магнитных компонент матрица та же.

11. Замечания

Выбирая $$ можно добиться единственности решения:

Такое оптоволокно называется одномодовым. Однако следует заметить, что «одномодовость» зависит от частоты — более высокие частоты распространяются в «одномодовом» волокне в виде набора мод.

Иногда говорят о сохранении поляризации в оптоволокне, имея в виду перпендикулярные компоненты поля моды $$: векторы компонент поля в плоскости практически соправлены. Однако, общая картина вращается во времени (см. видео ниже), — о сохранении поляризации в таком оптоволокне говорить не приходится.

Для интереса ниже показана эволюция в течении временного периода моды $$

и моды $$