Данный материал расширяет тему, затронутую в основной статье «Симметрия кубика Рубика», где был детально разобран метод формирования двусторонних инверсивных зеркальных паттернов — Mirror Dual-Sided Inverse (MDSI). В этой части мы сосредоточимся на аналитическом обосновании того, почему на противоположных гранях головоломки можно воссоздать любую цветовую комбинацию MDSI (от 2 до 6 цветов). Для доказательства этой гипотезы вводится концепция «среднего зеркального слоя» и применяется фундаментальный закон четности перестановок.
При детальном анализе геометрии куба легко выделить «инверсивные пары» — это элементы, имеющие противоположные цвета в классической расцветке. Это касается центров, ребер и углов. К примеру, ребро с бело-зелеными цветами будет инверсивно желто-синему, а угловой элемент бело-оранжево-синего цвета — желто-красно-зеленому.
Механика вращения грани затрагивает ровно 8 подвижных частей: 4 реберных и 4 угловых элемента. Девятый фрагмент — центральный — лишь вращается вокруг своей оси, сохраняя статичное положение относительно других центров. Поскольку число 8 четное, любые манипуляции с кубом подчиняются строгому правилу: количество элементарных перестановок (пермутаций) всегда должно быть четным.
Под «пермутацией» мы понимаем обмен местами двух элементов. Если куб находится в состоянии, где для сборки требуется лишь одна перестановка (как показано на Рис. 1а), собрать его вращением граней невозможно — это «незаконное» состояние, возникающее только при физическом извлечении и неправильной вставке деталей. В естественном разобранном состоянии (Рис. 1б) количество необходимых перестановок всегда будет кратно двум. Это и есть принцип четности перестановок (Permutation Parity Rule), который в равной степени применим как к ребрам, так и к углам.
Конструкция любого MDSI-паттерна вовлекает 8 ребер, 8 углов и 2 центральных элемента. При этом 4 ребра среднего слоя остаются свободными от формирования двустороннего узора (Рис. 2а). Этот промежуточный слой я называю «зеркалом». Поскольку положение этих четырех ребер для итогового паттерна не критично (Рис. 2б), они служат своего рода «буфером». Если для расстановки нужных инверсивных пар требуется совершить нечетную перестановку, мы просто задействуем два ребра из этого «зеркального» слоя, восстанавливая общий паритет.
Аналогичная логика работает и с ориентацией элементов. Разворот одного ребра на 180 градусов невозможен сам по себе — только в паре с другим. Если нам нужно изменить ориентацию единственного ребра в паттерне, мы выполняем эту операцию совместно с любым ребром из «зеркального» слоя, чей разворот никак не влияет на внешний вид готового узора.
Таким образом, сочетание принципа четности и наличие четырех свободных элементов в «зеркальном» слое математически доказывает, что при сборке MDSI-паттернов:
- можно симметрично расположить инверсивные ребра;
- можно корректно расставить инверсивные углы;
- достижима правильная ориентация всех задействованных ребер;
- возможна точная ориентация всех угловых элементов.
Следовательно, реализация любого полноцветного MDSI-паттерна на кубике Рубика является гарантированно возможной задачей.
