Создание и восстановление проекторов для голограмм. Часть 1

Сегодня в 11:16

Предисловие

Создание и восстановление проекторов для голограмм. Часть 1 — Рис. 1. Поперечное сечение семейства пучностей в голографическом поле [1]

Всё началось в далёком 2004 году, когда я учился в СПб ГУ ИТМО на кафедре Прикладной и компьютерной оптики (ПиКО). Однажды на лекции по «Основам оптики» преподаватель рассказал о голографии. Эта тема меня сразу увлекла, и, несмотря на то, что многое тогда было непонятно, проявленный интерес не угас до сих пор. Помню, как лектор объяснял свойства голограмм, а так же привел схему связывающую параметры записи с типом получаемых голограмм: Габора, Лейта и Упатниекса, Денисюка и другие (рис. 1). Это был тот не редкий момент, когда: «Очень интересно и ничего не понятно».

Позже, в магистратуре, у меня сменился научный руководитель, и когда нам сообщили, что теперь мы будем заниматься голографией, я понял – это судьба. Мне повезло попасть к Сергею Николаевичу Корешеву, доктору технических наук, профессору, и я до сих пор помню нашу первую встречу в Государственном оптическом институте имени С. И. Вавилова (ГОИ). Он предложил несколько тем для диплома, но одна из них – «Синтез голограмм»– сразу привлекла моё внимание. Впрочем, Сергей Николаевич сразу предупредил: «Олег… или мы с Вами разругаемся через полгода, или Вы защитите кандидатскую работу». В итоге, в 2011 году я стал кандидатом технических наук.

Начало пути

Проект был разделён на два направления: теоретическое – определение оптимальных параметров схемы синтеза голограмм, и практическое – разработка программы для их синтеза.

Работа началась в 2006 году, когда GitHub ещё не существовало, а доступ к исходному коду и необходимым библиотекам был крайне ограничен. Приходилось искать информацию в книгах, научных статьях и редких публикациях.

Рис. 2 Фотоснимок изображения, восстановленного двоичной фурье-голограммой, синтезированной на вычислительной машине (1969 год) [2]

Однако в доступных материалах отсутствовали примеры кода, которые можно было бы использовать в качестве основы. Поэтому нам пришлось разрабатывать инструменты и алгоритмы практически с нуля, экспериментируя и проверяя каждую гипотезу.

Если вам интересны только промежуточные результаты, следующий раздел можно пропустить.

Алгоритм синтеза голограмм

Изначально предполагалось использовать плоские голограммы-проекторы в фотолитографии. Поэтому для создания алгоритма синтеза был выбран метод вычисления комплексного вектора электромагнитного поля – он давал меньше приближений по сравнению с методами Фурье и Френеля на малых расстояниях и при большой апертуре (см. схему «Границы применения моделей дифракции» [3]).

Метод описывает физические процессы при регистрации реальной голограммы. Его суть сводится к вычислению для каждой точки голограммы комплексной амплитуды голографического поля, формируемого всеми точками исходного объекта.

Рис. 3. Рассматриваемые схемы синтеза и восстановления голограмм

При синтезе в плоскости голограммы интерферируют волновой фронт от объекта и опорная волна. При этом, восстанавливающая волна должна направляться в «обратном направлении», чтобы на фоточувствительной пластине формировалось исходное изображение (см. подробнее о мнимом и действительном изображениях [2]).

Рассмотрим случай, когда виртуальный транспарант освещается когерентным пучком, падающим перпендикулярно его поверхности. Таким образом, транспарант можно представить в виде набора точечных когерентных источников света с одинаковой фазой. Тогда набег фазы от источника до точки голограммы (1) будет зависеть от расстояния между ними (l), описанного выражением (2):

$\varphi_{u,v,n,m} = \frac{2\pi l_{u,v,n,m}}{\lambda}, \hspace{1cm} (1)$ $l_{u,v,m,n} = \sqrt{(u-m)^2 +(v-n)^2 + h^2}, \hspace{1cm} (2)$

где λ – длина волны, u, v и x, y – коордиаты на голограмме и транспаранте соответственно, а h – расстояние между этими плоскостями.

Если предположить, что координаты точек объекта и голограммы u, v, n, m могут принимать лишь целочисленные значения, то можно получить выражение (3), описывающее комплексную амплитуду электромагнитного поля в произвольной точке на поверхности голограммы – g(u,v).

$g(u,v) = \sum^M_{m=0}\sum^N_{n=0} t(n,m) \left \{ sin(\varphi_{u,v,n,m}) - icos(\varphi_{u,v,n,m}) \right \}, \hspace{1cm} (3)$

где t(n,m) – коэффициент пропускания фотошаблона по амплитуде. На рис. 4 представлено графическое отображение данного выражения.

Рис. 4. Суммирование комплексных амплитуд

Представим опорную волну в виде параллельного пучка, падающего под углом Θ. Исходя из геометрии задачи (рис. 5), можно определить зависимость фазы опорного пучка на поверхности голограммы от координат и угла наклона (4):

$\varphi_{оп} = \frac{2\pi\Delta}{\lambda} = \frac{2\pi x sin(\theta)}{\lambda}, \hspace{1cm} (4)$

Далее для каждой точки голограммы складываются комплексные амплитуды электромагнитного поля опорного пучка и излучения, прошедшего через транспарант. В результате будет получен массив общих комплексных амплитуд для каждой точки голограммы необходимый для ее отображения и печати. После возведения каждого элемента выборки в квадрат, будет определен набор интенсивностей точек голограммы.

После расчета голограмма может быть нанесена на какой-либо физический носитель и восстановлена. При использовании генераторов изображений, отображающих только две градации, необходимо произвести бинаризацию. В данной работе она осуществляется способом, описанным выражением (5):

$\begin{cases} 1, & \quad I \geq t \\ 0, & \quad I< t \end{cases}, \hspace{1cm} (5)$

где t – уровень бинаризации. Преимущество бинарной голограммы в сравнении с серой голограммой заключается в возможности упрощения практического отображения голограммы на носителе, а также в большей дифракционной эффективности.

Для проверки созданного алгоритма и исследования влияния параметров синтеза на формируемое голограммой изображение был реализован алгоритм восстановления. Причем в первом прототипе для надежности был выбран другой алгоритм, нежели при синтезе.

Метод восстановления изображения с помощью преобразования Френеля является параксиальным приближением интеграла Рэлея–Зоммерфельда [3, 4]. Основой этого метода является вычисление интеграла Френеля, который описывает распределение интенсивности в плоскости изображений. Преобразование Френеля для двумерного объекта при этом принимает вид (6), а его дискретное представление – (7).

$G(\xi,\eta) = \iint_{-\infty} t(x,y) exp \left \{ -i\frac{\pi}{\lambda d} \begin{bmatrix} (\xi - x)^2+(\eta - y)^2 \end{bmatrix} \right \}d_{x}d_{y}, \hspace{1cm} (6)$ $G(\xi,\eta) = \sum^M_{m=0}\sum^N_{n=0} t(n,m) exp \left \{ -i\frac{\pi}{\lambda h} \begin{bmatrix} (\xi - n)^2+(\eta - m)^2 \end{bmatrix} \right \}, \hspace{1cm} (7)$

Промежуточные результаты

В результате была реализована программа, в которой с помощью изображения задавалась структура светящегося объекта, а так же такие параметры как расстояние между плоскостями голограммы и изображения, разрешение, угол падения опорного пучка и другие [4].

На рис. 6 представлен интерфейс программы с изображением синтезированной голограммы точечного источника света. Далее на рис. 7 приведен более сложный объект «уголки», а так же его голограмма в тоновом («сером») и бинарном виде.