Синтез линейной и геометрической алгебры: разбираем на простом примере. Часть 1

Геометрия параллелограмма через призму матриц 2×2

Решение классических задач на поиск сторон, углов и высот параллелограмма часто превращается в рутинный процесс вычислений. Однако всю полноту геометрических характеристик этой фигуры можно инкапсулировать в одну компактную матрицу 2×2. Достаточно составить её из двух векторов-столбцов, чтобы получить доступ ко всем метрическим свойствам объекта.

В этой статье мы разберем, как извлекать данные о площади, углах и проекциях сторон непосредственно из матричных структур, а также коснемся базиса Клиффорда для матриц второго порядка.

<h4>Содержание:</h4>
<ul>
    <li>1. Определитель как индикатор ориентированной площади</li>
    <li>2. Матрица Грамма: универсальный справочник длин и углов</li>
    <li>3. Аналитический прием: получение скалярного произведения через детерминант</li>
    <li>4. Метрические характеристики диагоналей</li>
    <li>5. Матричный расчет проекций и высот</li>
    <li>6. Геометрическая интерпретация базиса Клиффорда</li>
</ul>

<h3>Подготовка данных</h3>
<p>Представим стороны параллелограмма как два вектора, выходящие из начала координат. Мы будем интерпретировать матрицу по столбцам: первый столбец — вектор \( V_1 \), второй — \( V_2 \).</p>
<div class="formula-container" style="text-align: center; margin: 20px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/6/62/621/621cab2bb1ad14738afcf7c8ce823568.svg" alt="A = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix}, \quad V_1 = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}, \quad V_2 = \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}" />
</div>

<h3>1. Определитель: фундаментальная характеристика</h3>
<p>Детерминант матрицы несет в себе информацию об <strong>ориентированной площади</strong> параллелограмма:</p>
<div class="formula-container" style="text-align: center; margin: 20px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/e/e4/e41/e411e0f7c29c851155d7a876d8e7bb93.svg" alt="det(A) = x_1 y_2 - x_2 y_1 = |V_1||V_2|\sin(\varphi)" />
</div>
<p>Знак определителя указывает на взаимное расположение векторов. В двумерном пространстве это понятие заменяет модуль векторного произведения, позволяя также вычислить синус угла \( \varphi \) между сторонами.</p>

<details style="background: #f9f9f9; padding: 15px; border-radius: 5px; margin-bottom: 20px;">
    <summary style="cursor: pointer; font-weight: bold;">Математическое уточнение</summary>
    <p>В трехмерном пространстве детерминант соответствует величине нормали, полученной через векторное произведение. Для плоскости мы используем термин «ориентированная площадь», который учитывает порядок следования векторов (правую или левую систему координат).</p>
</details>

<div style="text-align: center; margin: 20px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/upload_files/abd/276/15e/abd27615e9b52edfdbf3e60f27e38c60.png" alt="Визуализация векторов из начала координат" style="max-width: 100%; height: auto;" />
    <p><small><i>Рис 1. Геометрический базис в начале координат</i></small></p>
</div>

<h3>2. Матрица Грамма: метрика в одной таблице</h3>
<p>Если определитель связан с синусом («перпендикулярностью»), то матрица Грамма (\( G = A^T A \)) описывает «прижатость» векторов (косинус) и их линейные размеры.</p>
<div class="formula-container" style="text-align: center; margin: 20px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/3/32/32c/32c91c79cc73fa84004ddb4939644122.svg" alt="G = A^T A" />
</div>
<p>Структура матрицы \( G \):</p>
<ul>
    <li><strong>g<sub>11</sub>, g<sub>22</sub></strong> — квадраты длин соответствующих векторов.</li>
    <li><strong>g<sub>12</sub>, g<sub>21</sub></strong> — скалярное произведение сторон (\( |V_1||V_2|\cos\varphi \)).</li>
</ul>
<p>Это позволяет мгновенно вычислить косинус угла:</p>
<div style="text-align: center; margin: 15px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/a/a2/a2b/a2b4a13a467a4c54e91a5fc3c44d5bd0.svg" alt="\cos\varphi = g_{12} / (|V_1||V_2|)" />
</div>

<h4>Анализ диагоналей</h4>
<p>Векторы диагоналей представляют собой сумму и разность столбцов матрицы \( A \):</p>
<div style="text-align: center; margin: 15px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/0/04/047/047796ece5876b5845611305a12a1c1a.svg" alt="Vs = V1 + V2, Vd = V1 - V2" />
</div>
<p>Их длины выражаются через компоненты матрицы Грамма без избыточных вычислений:</p>
<div style="text-align: center; margin: 15px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/6/68/685/6856545faabc256a864bea88fe160080.svg" alt="|Vs| = \sqrt{g11 + g22 + 2g12}" />
</div>

<h3>3. Проекции сторон и высоты</h3>
<p>Матричное исчисление позволяет автоматизировать поиск высот, опущенных на диагонали, и длин отрезков, на которые эти высоты делят основание (проекций).</p>
<p><strong>Проекции на направления диагоналей:</strong></p>
<div style="text-align: center; margin: 15px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/f/fa/fa4/fa45cdb084af811c519afe0fa9321908.svg" alt="Pc = [V1 V2]^T * [Vs Vd] * diag(1/|Vs|, 1/|Vd|)" />
</div>
<p><strong>Расчет высот (проекции на перпендикуляры):</strong></p>
<p>Для определения высот мы проецируем векторы сторон на направления, ортогональные диагоналям. Это достигается путем умножения на матрицу с повернутыми компонентами.</p>
<div style="text-align: center; margin: 15px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/c/cd/cda/cda9f63ebda1b9cf39a46464fd466230.svg" alt="Po computation" />
</div>

<div style="text-align: center; margin: 20px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/upload_files/60e/e49/d53/60ee49d531586479f7595bc18cdb51fa.png" alt="Схема проекций на диагонали" style="max-width: 100%; height: auto;" />
    <p><small><i>Рис 2. Визуализация проекций векторов на первую диагональ</i></small></p>
</div>

<h3>4. Базис Клиффорда для матриц 2×2</h3>
<p>Любую матрицу 2×2 можно разложить по специальному базису из четырех матриц, имеющих глубокий геометрический смысл. В физике они известны как матрицы Паули, но в контексте геометрии они представляют собой элементарные ортогональные преобразования.</p>
<p>Матрицу \( A \) можно представить как сумму двух функциональных частей:</p>
<ul>
    <li><strong>Кватернионная часть (q):</strong> отвечает за вращение и масштабирование.</li>
    <li><strong>Векторная часть (r):</strong> отвечает за отражения.</li>
</ul>
<p>Геометрически это означает, что сложная фигура параллелограмма раскладывается на суперпозицию четырех единичных «квадратов», развернутых под углом 45° к стандартным осям. Такой подход значительно упрощает работу с трансформациями пространства.</p>

<div style="text-align: center; margin: 20px 0;">
    <img src="https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/upload_files/671/263/1b4/6712631b4cbac406b068b4a805607ad1.png" alt="Параллелограмм в разных базисах" style="max-width: 100%; height: auto;" />
    <p><small><i>Рис 3. Сравнение классического описания и разложения Клиффорда</i></small></p>
</div>

<h3>Заключение</h3>
<p>Мы рассмотрели, как элементарная матрица 2×2 становится мощным инструментом для решения планиметрических задач. Использование определителя и матрицы Грамма избавляет от необходимости громоздких тригонометрических построений, переводя геометрию на язык эффективных алгоритмов.</p>
<p>В следующей публикации мы углубимся в сингулярное разложение (SVD) и функции от матриц, раскрывая их прикладное значение в геометрии.</p>

 

Источник