Симметрии числовых моделей. Часть 2

Не хочу прерывать желание читателей, ознакомившихся с предыдущей статьей (О разложении модели числа), продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. При написании статей хочу обеспечить читателям понимание ограничений и возможностей, применения, конструирования ими своих моделей чисел и устройств, способствующих образованию, приобретению навыков работы с объектами материального и идеального (с числами) мира.

Хотя речь в публикациях идет о достаточно просто устроенных математических моделях, но таких простых деталей набирается много и, что не следует считать простым, так это взаимодействие элементов моделей разного уровня: областей строк, отдельных строк, частей одной строки и разных строк.

Очевидно, что взаимодействия распределяются по уровням и это всегда имеет место в сколь-нибудь интересных системах биологических (живых) или технических. Простейшие взаимодействия элементов модели – это объединение, пересечение, дополнение, симметрия, отождествление и др.  Иногда взаимодействия и действия приводят к неожиданным результатам, которые оказываются даже полезными.

Модулярная арифметика содержит много неожиданностей, а прогнозирование результатов вычислений порой весьма затруднительно. Так, например, корни квадратичных сравнений учебники высшей алгебры (Глухов и др.) предлагают находить перебором вариантов, так как в теории этот вопрос разрешения еще не получил. Но в предыдущей моей публикации о разложении модели числа в подмодели он получил неожиданное для меня автоматическое решение.

Полученные в разложениях подмодели устроены так, что множество их строк первой половины и второй половины имеют совпадающие последовательности (r_л, r_с, r_п) троек вычетов. Если вторую (нижнюю) половину пристроить справа к верхней, то общие строки половин будут содержать все четыре корня сравнений, так как КВВ этих строк совпадают. Перебор и поиск корней уже не потребуются. Более того, это решение получается (как бы избыточным) сразу для всех КВВ, хотя это не всегда требуется.

Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы.  Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения

Введение

По мере изложения текста используются аббревиатуры (сокращения), которые я собрал в одном месте для удобства читателя. Эти сокращения мной используются во всех статьях по проблеме факторизации числа и информационной безопасности.
Идемпотент — идемпотентный элемент, элемент е кольца, полугруппы или группоида, равный своему квадрату: е² = е.
Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — инволютивный элемент х
кольца, квадрат которого хх =1; преобразование, которое
является обратным самому себе, а квадрат инволюции равен единице в кольце.
.

Общие положения о симметриях

Симме́три́я, в широком смысле — соответствие, неизменность объекта, проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы. Соразмерность, пропорциональность частей чего-н., расположенных по обе стороны от середины, центра. Симметрия — основополагающий принцип самоорганизации материальных форм в природе и формообразования в искусстве. Остановимся, хотя можно и продолжать.

Будем отождествлять начальный отрезок НРЧ, дополненный нулем слева, с алгебраической структурой с одной или даже с двумя операциями (с конечным числовым кольцом вычетов (Симметрии СМ-модели

1. Симметрии строк в слоях и их строк-дублей

Задача локализации строк. Как в СММ распределяются строки, содержащие тройки связанных вычетов (r_л – левый, r_с – средний, r_п – правый)? Прежде всего, это касается номеров строк, содержащих такие тройки, и их дублируемых квадратичных и других вычетов. Другими словами, интерес представляет решение следующей задачи: в строке известен один, два или все три из тройки вычетов.

Как определить номера строк (оригинала и дубля), в которых эта тройка вычетов содержится? Важная роль при распределениях вычетов отводится симметриям. В списке строк СММ имеются некоторые линии, строки, которые играют в ней роль осей (точек) симметрии. Например, задана строка СММ. Если определен ее слой относительно центра, то для парной строки этого слоя разность левых вычетов будет равна номеру слоя.
 

Это более сложная тема, чем в предшествующей статье, поэтому пришлось разбить тему на части. Тема сложна не только для читателей, но и для автора. Чтобы изложить доступно для понимания читателями материал, автору приходится серьезно потрудиться.  Он впервые заметил явление и у кого-то другого спросить, посмотреть описание явления не представляется возможным.

Статья о разложении модели написана простым языком на доступном для понимания уровне, что отмечается и комментаторами, но как раз ими она и не была понята. Это следует из нашего диалога. Двое из них начали с оскорблений и диалог пришлось прервать. Спустя время они опомнились и перешли к вопросам, но для меня они уже не собеседники.

Я стараюсь положения статьи «доносить» до сознания и тех читателей, у которых оно заполненного личными представлениями о предмете, которые крепко усвоены, но порой ошибочны. Они мешают читателю вникнуть в авторский текст. Такая же ситуация была 10 лет назад, после публикации статьи о законе распределения делителей (2. Нижняя строка СМ-модели

Относительно нижней строки СММ (это центральная строка развернутого списка КЧКВ до его сворачивания вдвое) выполнено складывание полного списка строк вдвое (по образцу ленточного портновского метра, т.е. складывание числовых осей номеров строк и

В таблице А размещены ключевые строки СМ-модели с их начальным окаймлением другими строками. В столбцах Т и Тп можно увидеть зеркально отраженные элементы уникальной четверки (603, 601, 599, 597) и ниже в столбце Тп окаймления инволюций (597, 599, 601, 603). Окаймление «нулевой» строки-дубля в столбце Т содержит (691, 689, 687), а в столбце Тп содержит (297, 299, 301) и перекрестно-зеркально отражается в этих же столбцах для окаймления идемпотентов Т (297. 299, 301); в Тп (687, 689, 691). И еще много чего в этой модели симметризуется.

Известным является и следующий факт: номера строк идемпотентов, которые в СММ располагаются в смежных строках, в сумме равны нечетной инволюции. Известный факт о том, что разность идемпотентов всегда равна четной инволюции, так как идемпотенты всегда имеют одинаковую четность, а разность двух четных или двух нечетных чисел – четна.

Известно также, что пара центральных (ортогональных) идемпотентов имеет кратные разным делителям значения. Из этого свойства следует ортогональность идемпотентов и представление нечетной инволюции линейной формой (композицией). Для нашего примера N = 989 идемпотенты лежат в строках с номерами больший х_о = 344, а меньший х_о = 345. Номера этих строк в сумме равны нечетной нетривиальной инволюции
689 = 344 + 345 = 8·43 +15·23.

Четверка смежных кратных в СММ уникальна (единственна) и также связана с идемпотентами через окаймление строки-дубля последней строки СММ.

Пример 1. Для N = 1163999 нетривиальные инволюции лежат в строке х_о = 570144 и имеют значения Inб = IN = 593855 = 296427 + 296428 = 263·1129 + 288·1031,
Inm = In = 570144; идемпотенты лежат в смежных строках х_о=296927 и х_о= 296928,
ID = 867072; Id = 296928; Их разность ID – Id = 867072 – 296928 = 570144.
Использованы обозначения для больших IN, ID инволюций и идемпотентов; In, Id— для малых

Уникальная четверка смежных кратных строк, номера которых можно найти через t_п
r_с = 546436 = 484·1129,
r_с = 570145 = 505·1129,  t_п = 23709 = 21·1129 = 11854 + 11855 — слагаемые номера строк,
r_с = 593856 = 576·1129,
r_с = 617569 = 599·1129,  t_п = 23713 =23·1031 = 11856 + 11857 — слагаемые номера строк.

Это множество строк окаймляется относительно линии, разделяющей четверку на две пары (верхняя\ нижняя); в 24 слое строками с номерами х_о = 11831 и х_о = 11880, содержащими КВК = r_л (11880) = 290521 = 539² и КВК= r_л (11831) = 292681 = 541².  Так как будт-то между этими строками в центре лежит квадрат числа 540. Интерес представляет также информация о строке-дубле «нулевой» последней строке СММ.

Ее номер равен половине четной инволюции, а КВВ = r_л (х_1о =582000) = 291000. В 1-ом слое эту строку окаймляют строки, содержащие в позициях r_с части из окаймления 1-го слоя инволюций, т.е. верхняя строка r_с = 593856 и нижняя строка r_с = 570145.

Обсуждать далее особенно нечего – это основа концепции списочной многострочной модели. Результатом, подтверждающим симметрию этой линии, может служить и упорядоченное множество разностей t = х₁ – х_о частей разбиваемого на две части числа N.

3. Центральная строка СМ-модели

Номером х_оц этой центральной строки является правый вычет нулевой строки

В таблице Б порядок нумерации строк сохраняется по возрастанию сверху вниз. Числа в примечаниях указывают для строк номер слоя центральной строки. Таблица Б представляет собой фрагменты-вырезки из списка СММ, которые подобраны так, чтобы стало ясным понятие окаймление и связанные с ним закономерности. Слои окаймляющих строк задаются номерами х_о строк-границ слоя, относительно строки центра х_о = 247 с r_л = 680. В таблицу включены и строки-дубли для слоев с номерами 150, 151, 152 (исходные строки этих слоев с номерами х_о = 95, 96, 97, 397, 398, 399).

 В слое 246 лежат первая и предпоследняя строки с номерами х_о =1 и х_о= 493, а их строки-дубли получают номера х_о= 300 и х_о= 450, разность которых Δ =|300 – 450| = 150, осталась без изменений. Предпоследняя строка-дубль содержит r_л = 744 = 742 + 2 и r_ссс = 2.
Рассмотренный пример 1 иллюстрирует проявление определенной зависимости, но не объясняет, как это может быть использовано при исследованиях чисел. Ниже будет показано, что полезного можно извлекать из обнаруживаемых свойств модели.

Заключение

Среди нынешних подходов к решению задачи факторизации большого числа (