Не хочу прерывать желание читателей, ознакомившихся с предыдущей статьей (О разложении модели числа), продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. При написании статей хочу обеспечить читателям понимание ограничений и возможностей, применения, конструирования ими своих моделей чисел и устройств, способствующих образованию, приобретению навыков работы с объектами материального и идеального (с числами) мира.
Хотя речь в публикациях идет о достаточно просто устроенных математических моделях, но таких простых деталей набирается много и, что не следует считать простым, так это взаимодействие элементов моделей разного уровня: областей строк, отдельных строк, частей одной строки и разных строк.
Очевидно, что взаимодействия распределяются по уровням и это всегда имеет место в сколь-нибудь интересных системах биологических (живых) или технических. Простейшие взаимодействия элементов модели – это объединение, пересечение, дополнение, симметрия, отождествление и др. Иногда взаимодействия и действия приводят к неожиданным результатам, которые оказываются даже полезными.
Модулярная арифметика содержит много неожиданностей, а прогнозирование результатов вычислений порой весьма затруднительно. Так, например, корни квадратичных сравнений учебники высшей алгебры (Глухов и др.) предлагают находить перебором вариантов, так как в теории этот вопрос разрешения еще не получил. Но в предыдущей моей публикации о разложении модели числа в подмодели он получил неожиданное для меня автоматическое решение.
Полученные в разложениях подмодели устроены так, что множество их строк первой половины и второй половины имеют совпадающие последовательности (rл, rс, rп) троек вычетов. Если вторую (нижнюю) половину пристроить справа к верхней, то общие строки половин будут содержать все четыре корня сравнений, так как КВВ этих строк совпадают. Перебор и поиск корней уже не потребуются. Более того, это решение получается (как бы избыточным) сразу для всех КВВ, хотя это не всегда требуется.
Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы. Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения
Введение
По мере изложения текста используются аббревиатуры (сокращения), которые я собрал в одном месте для удобства читателя. Эти сокращения мной используются во всех статьях по проблеме факторизации числа и информационной безопасности.
Идемпотент — идемпотентный элемент, элемент е кольца, полугруппы или группоида, равный своему квадрату: е2 = е.
Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — инволютивный элемент х
кольца, квадрат которого хх =1; преобразование, которое
является обратным самому себе, а квадрат инволюции равен единице в кольце.
.
Общие положения о симметриях
Симме́три́я, в широком смысле — соответствие, неизменность объекта, проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы. Соразмерность, пропорциональность частей чего-н., расположенных по обе стороны от середины, центра. Симметрия — основополагающий принцип самоорганизации материальных форм в природе и формообразования в искусстве. Остановимся, хотя можно и продолжать. В таблице А размещены ключевые строки СМ-модели с их начальным окаймлением другими строками. В столбцах Т и Тп можно увидеть зеркально отраженные элементы уникальной четверки (603, 601, 599, 597) и ниже в столбце Тп окаймления инволюций (597, 599, 601, 603). Окаймление «нулевой» строки-дубля в столбце Т содержит (691, 689, 687), а в столбце Тп содержит (297, 299, 301) и перекрестно-зеркально отражается в этих же столбцах для окаймления идемпотентов Т (297. 299, 301); в Тп (687, 689, 691). И еще много чего в этой модели симметризуется. Известным является и следующий факт: номера строк идемпотентов, которые в СММ располагаются в смежных строках, в сумме равны нечетной инволюции. Известный факт о том, что разность идемпотентов всегда равна четной инволюции, так как идемпотенты всегда имеют одинаковую четность, а разность двух четных или двух нечетных чисел – четна. Известно также, что пара центральных (ортогональных) идемпотентов имеет кратные разным делителям значения. Из этого свойства следует ортогональность идемпотентов и представление нечетной инволюции линейной формой (композицией). Для нашего примера N = 989 идемпотенты лежат в строках с номерами больший хо = 344, а меньший хо = 345. Номера этих строк в сумме равны нечетной нетривиальной инволюции Четверка смежных кратных в СММ уникальна (единственна) и также связана с идемпотентами через окаймление строки-дубля последней строки СММ. Пример 1. Для N = 1163999 нетривиальные инволюции лежат в строке хо = 570144 и имеют значения Inб = IN = 593855 = 296427 + 296428 = 263·1129 + 288·1031, Уникальная четверка смежных кратных строк, номера которых можно найти через tп Это множество строк окаймляется относительно линии, разделяющей четверку на две пары (верхняя\ нижняя); в 24 слое строками с номерами хо = 11831 и хо = 11880, содержащими КВК = rл (11880) = 290521 = 5392 и КВК= rл (11831) = 292681 = 5412. Так как будт-то между этими строками в центре лежит квадрат числа 540. Интерес представляет также информация о строке-дубле «нулевой» последней строке СММ. Ее номер равен половине четной инволюции, а КВВ = rл (х1о =582000) = 291000. В 1-ом слое эту строку окаймляют строки, содержащие в позициях rс части из окаймления 1-го слоя инволюций, т.е. верхняя строка rс = 593856 и нижняя строка rс = 570145. Обсуждать далее особенно нечего – это основа концепции списочной многострочной модели. Результатом, подтверждающим симметрию этой линии, может служить и упорядоченное множество разностей t = х1 – хо частей разбиваемого на две части числа N. Номером хоц этой центральной строки является правый вычет нулевой строки В таблице Б порядок нумерации строк сохраняется по возрастанию сверху вниз. Числа в примечаниях указывают для строк номер слоя центральной строки. Таблица Б представляет собой фрагменты-вырезки из списка СММ, которые подобраны так, чтобы стало ясным понятие окаймление и связанные с ним закономерности. Слои окаймляющих строк задаются номерами хо строк-границ слоя, относительно строки центра хо = 247 с rл = 680. В таблицу включены и строки-дубли для слоев с номерами 150, 151, 152 (исходные строки этих слоев с номерами хо = 95, 96, 97, 397, 398, 399). В слое 246 лежат первая и предпоследняя строки с номерами хо =1 и хо= 493, а их строки-дубли получают номера хо= 300 и хо= 450, разность которых Δ =|300 – 450| = 150, осталась без изменений. Предпоследняя строка-дубль содержит rл = 744 = 742 + 2 и rссс = 2. Среди нынешних подходов к решению задачи факторизации большого числа (
Будем отождествлять начальный отрезок НРЧ, дополненный нулем слева, с алгебраической структурой с одной или даже с двумя операциями (с конечным числовым кольцом вычетов (законе распределения делителей (
689 = 344 + 345 = 8·43 +15·23.
Inm = In = 570144; идемпотенты лежат в смежных строках хо=296927 и хо= 296928,
ID = 867072; Id = 296928; Их разность ID – Id = 867072 – 296928 = 570144.
Использованы обозначения для больших IN, ID инволюций и идемпотентов; In, Id— для малых
rс = 546436 = 484·1129,
rс = 570145 = 505·1129, tп = 23709 = 21·1129 = 11854 + 11855 — слагаемые номера строк,
rс = 593856 = 576·1129,
rс = 617569 = 599·1129, tп = 23713 =23·1031 = 11856 + 11857 — слагаемые номера строк.3. Центральная строка СМ-модели
Рассмотренный пример 1 иллюстрирует проявление определенной зависимости, но не объясняет, как это может быть использовано при исследованиях чисел. Ниже будет показано, что полезного можно извлекать из обнаруживаемых свойств модели.
Заключение
