Продолжаем знакомство с моделью числа и ее свойствами, а конкретно, с симметриями на разном уровне представления модели: областей строк, отдельных строк, элементов одной строки и элементов разных строк. Для читателей, ознакомившимися с моими предыдущими статьей 1(О разложении модели числа), статьей 2 (О симметриях…) и др. предлагается продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. Объект натуральный ряд чисел (НРЧ) настолько богат известными и совершенно новыми свойствами, что само их перечисление потребовало бы много места и времени.
Рассмотрение же конкретного свойства в деталях ограничивает автора с одной стороны располагаемыми знаниями, а с другой — ограниченным объемом публикации. Тем не менее, есть желание показать читателям развернутую картину проявлений такого свойства НРЧ, как симметрия в поведении элементов этого замечательного объекта.
Например, обращал ли кто-нибудь внимание на последовательности квадратичных вычетов (КВВ) элементов НРЧ по разным модулям, когда модель рассматриваем как фрагмент НРЧ или конечное числовое кольцо вычетов по модулю N. Эти квадраты следуют парами Rо, R1 и получают вид (21 пара) для N = 1961. Пары КВК 484 = 222; 529 =232 и
625 = 252; 676 =262 образованы смежными числами, для N = 1961 они окаймляют в 4-м слое средний вычет rcсс = 0; и для N = 2501 в 5-м слое средний вычет rcсс = 0.
Почему во втором случае N = 2501 квадраты следуют вначале с флексиями 0, затем с 12=1,
4= 22, 32, 42 ? Эти квадраты лежат в строках за пределами тривиальной области ТКВК и среди них нет кратных dб.
В табличках приведен порядок следования КВВ = КВК полных квадратов, объединенных в пары (верх\низ), всего 42 квадрата (для N = 1961) и 48 квадратов (для N = 2501). Каждый квадрат получен в некоторой точке хо и реализует решающий интервал (РИ), обеспечивающий получение решения задачи факторизации большого числа (ЗФБЧ) N, т.е. для вычисления делителей N. На основании закона распределения делителей можно записать соотношение di = хо ±√КВК и при необходимости воспользоваться алгоритмом Евклида НОД.
.
Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы. Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения
Введение
По мере изложения текста используются аббревиатуры (сокращения), которые я собрал в одном месте для удобства читателя. Эти сокращения мной используются во всех статьях по проблеме факторизации числа и информационной безопасности.
СММ – списочная многострочная модель числа;
ЗРД — закон распределения делителей числа;
НРЧ — натуральный ряд чисел;
ПНЧ — последовательность нечетных чисел;
ИБ — информационная безопасность;
КВВ — квадратичный вычет элемента кольца по модулю N;
КВК — квадратичный вычет – полный квадрат;
Идемпотент — идемпотентный элемент, элемент е кольца, полугруппы или группоида, равный своему квадрату: е2 = е.
Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — инволютивный элемент х кольца, квадрат которого х2 =1; преобразование, которое является обратным самому себе, а квадрат инволюции равен единице в кольце.
Ранее уже упоминалось, что в СМ-модели установлено, по меньшей мере, пять осей (позиций, линий) симметрии (по трем первым позициям материалы описаны, рассмотрены и опубликованы):
– нулевая (нижняя) строка модели;
– центральная строка модели;
– строка нетривиальных инволюций;
– линия раздела четверки смежных кратных пар строк;
– линия, разделяющая строки идемпотентов;
Каждая из перечисленных позиций, обеспечивает самостоятельный вариант компоновки строк с вычетами, в основу которых кладется определение номера исходной и дублируемой строки.
Линия раздела пар четверки кратных смежных строк
Задача в целом остается прежней – локализовать каждую строку СММ, используя новые симметрии. Первые два слоя окаймления линии образуют пары кратных строк В списке СМ-модели (в колонках с монотонно возрастающими значениями Хо , Х1) встречаются значения кратные делителям N без ограничения на четность коэффициента кратности. В колонках (Т, Тп) последовательных нечетных чисел (ПНЧ) также встречаются значения кратные делителям N, но уже только с нечетным коэффициентом кратности k. Генерирование элементов ПНЧ происходит путем суммирования пары смежных чисел, а для колонки Р – путем перемножения слагаемых. Т = {0 + 1 = 1, 1+ 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, …, n+(n+1) = 2n + 1}, Для таких двух последовательных сумм в Т и Тп одно из слагаемых всегда является общим. Например, для t = 5 и t = 7 имеем: 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, общее слагаемое 3. Переменная р = t1· tо равна произведению слагаемых, из которых один или оба сомножителя могут быть кратны делителю N. При этом один сомножитель (это может быть один из делителей N) остается общим для двух (строк) последовательных значений. Это делает пару последовательных значений Р, Rc кратными общему нечетному делителю. Такие значения t далее преобразуются в средние вычеты rc и в силу специфики преобразования пара смежных строк в позициях р и rc получает кратные одному из делителей значения rcв и rcн (верхнее и нижнее). Для другого делителя это также справедливо. Такие пары многочисленны и между ними в СММ может быть разное количество s некратных строк s = 0, 1, 2, …. Существует вариант размещения кратных разным делителям пар строк, когда две смежных пары кратных разным делителям строк образуют непрерывную четверку кратных смежных строк ( Если промежуток между кратными строками содержит нечетное число строк, то по ЗРД средняя строка промежутка имеет квадратичный вычет КВВ = КВК = rл полный квадрат, равный квадрату удаленности границ интервала от центра. Границами промежутка служат строки с элементами, кратными разным значениям делителей (элементы х1 и хо). Пример К. Задан модуль приведения N = 989. На рис.1 размещен фрагмент СММ, содержащий элементы, названные в тексте ранее. Одиночные кратные по х1 и хо делителям строки в модели имеют номера хо = 253 = 11∙23, хо = 258 = 6∙43, хо = 276 = 12∙23 (заливка голубым цветом). Между ними интервалы из 4-х и 17 некратных строк. Для большего интервала (17 строк) существует центральная точка (строка, ее номер хо = 267). В этой точке квадратичный вычет равен rл = 267 2(mod N) = 81 – полный квадрат. Аналогично, в хо = 277, КВК = 576 = 242, что означает удаленность границ РИ от центра из 24 строк; хо = 253 = 11∙23, хо = 301 = 7∙43. С кратными значениями по tп являются также две пары смежных строк первая пара с номерами хо = 264, хо = 265, где нижняя строка пары содержит элемент tп = 529 = 23∙23 и вторая с номерами хо = 279, хо = 280, где нижняя строка пары содержит элемент Интервал (промежуток) некратных строк между этими смежными парами нечетный (равен 13 строкам), т.е. имеет центральную точку (строку с номером хоц = 272). Значение Таблица А4 Такие пары являются смежными для столбца 1-го слоя и для всех остальных слоев. Для Локализация вычетов. Рассматривая КВВ таблицы СММ, обратим внимание на распределение строк-дублей, содержащих КВВ = Представление симметричных областей КВВ, связываемых со средними вычетами rссс СМ-модели, существенным образом отличается от рассмотренных ранее, как по устройству, так и по зависимостям элементов. Удобно выполнять описание с использованием таблицы областей аттракции КВВ строк, окаймляющих послойно (в 6-ти слоях) упорядоченные средние вычеты rссс Находим интервалы между парами кратных сдвоенных строк четной длины. Центр интервала определяется линией его раздела пополам, проходящей между строками верхней с номером хосл и нижней хосл.
Первая такая линия – линия раздела ЧКСС. Строки с такими КВВ окаймляют rccc = 0 в 1-ом слое. Номера этих строк хо1 = х1о –In = 495 –300 = 195 и хо1 = хоо –In = 494 –300 = 194. Колонка КВВ от этой линии (вверх\вниз) окаймляет все rccc в lex порядке строками 1 слоя. Вторая линия (для 2-го слоя окаймления) лежит между строками-дополнениями до модуля N, т.е. сверху хо2 = 300 –195 = 105 и снизу хо2 = 300 – 194 = 106. Третья линия увеличивает номера строк на In, т.е. хо3=300+105 = 405 и хо3= 300+106 = 406. Вообще правильнее будет записать условия так хо2 = 300 ± 105 и хо2 = 300 ± 106, где Главной особенностью строк-дублей таких отдаляющихся пар строк окаймления (см. таблицу А4) является то, что они становятся смежными (хо (rcсс) = ± 1 верхняя\нижняя) со строками, включающими вначале средние вычеты в строках-дублях в порядке монотонного возрастания среднего вычета rc = 0, 2, 6, 12, …, а после их исчерпания из ТССС, и для строк с другими вычетами. Рассмотрим подробнее свойство строк СМ-модели, которое проявляется с дублями строк, послойно окаймляющих линию, разделяющую пары строк четверки смежных, кратных делителям N строк. Каждая строка-дубля с rcсс ϵ ТССС в 5-м слое пар строк окаймления содержит КВВ=КВК, первые степени которых для rcсс = 0 смежные, а их сумма равна ½ (dм + dб) полусумме делителей N. Для N =2501 в строке с rcсс = 0 это КВК 252 и 262, а для rcсс = 2 это КВК 242 и 272, rcсс = 6 это КВК 232 и 282, rcсс = 12 это КВК 222 и 292 и т.д. Пример 8. (Симметрия линии раздела 4-ки смежных кратных делителям N пар строк). Пусть N = 2501 = 41·61. Этот вид симметрии в СМ-модели задается средней линией 4-ки кратных строк (Табл. В4, ВВ4, выделена заливкой). Ведущая роль у средних вычетов. Тройки вычетов строк 1-го слоя четверки дублируются в окаймляющих строках «нулевой» строки, содержащей rссс = 0. Эти средние кратные строки 4-ки содержат также элементы (блоки) хо = rс = 246 = 6·41 и Так средняя линия четверки (двух смежных пар строк, выделены заливкой) кратных разным делителям N строк задает симметрию положения (значение отдаленности от нее) других строк модели, дубли которых лежат в других областях СМ-модели и оказываются разделенными лишь единственной строкой, содержащей дубль-строку среднего вычета rc из тривиальной области вычетов сохраняющих свойство смежности сомножителей. При этом квадратичный вычет номера разделяющей строки окаймляется квадратичными вычетами номеров исходных симметрично (послойно) отдаленных строк, кратной четверки. В таблице В4 заливкой выделены две пары строк СМ-модели. Верхняя пара строк кратна меньшему делителю dм = 41, нижняя – кратна большему делителю dб = 61. 
Р = {0 · 1 = 0, 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 3 · 4 = 12, …, n· (n+1) = n2 + n}.
В какой-то мере аналогичное явление имеет место и для средних вычетов rccc. Также рассматриваются промежутки из некратных строк, но уже между сдвоенными (парами) смежных строк кратных разным делителям. Если промежуток содержит нечетное число некратных строк, то центральная (средняя) строка имеет средний вычет rccc со свойством сохранения смежности сомножителей. Поясним это описание числовым примером.
tп = 559 = 13∙43. Кратными делителям являются не номера строк, а значения Р и rс = 713 = 31∙23, rс = 253 = 11∙23 (оба кратны делителю d = 23) в верхней паре и значения rс = 946 = 22∙43,
rс = 516 = 12∙43 (оба кратны другому делителю d = 43) для нижней пары строк.
rccc = 56 = 7·8 – это произведение числа строк интервала до центра на число после центра, включая границы его самого. С другой стороны, это значение равно разности КВВ rл (272) строки и rло, т.е. 798 – 742 = 56. В таблице А4 выделены заливкой (зеленые) значения rccc строк пересечения тривиальных областей ТКВК ∩ ТССС = {42, 272}
Окаймление строк-дублей со средними вычетами вида (Rccc) парами строк (верх\низ)
rcсс = 0 это КВВ=443, КВВ=54; для rcсс= 2 это КВВ =834, КВВ = 656 в этом же 1-м столбце.
хо2 = 105 и хо2 = 106. Тогда для слоев 4-го и 6-го находим номера хо5 = 16 и хо5 = 17, хо4,6 = 300 ± 16 и хо4,6 = 300 ± 17, где хо5 = 272 = 16∙17 = rccc самый верхний средний вычет.
25+26 = 24+27 = 23+28 = 22+29 =½(41+61) = 51.
х1 = rс = 2257=37·61, такие же элементы содержатся в окаймляющих строках строки нетривиальных инволюций. Строки 2-го слоя (внешние строки четверки) содержат тройки вычетов строк, которые содержатся в окаймляющих строках среднего вычета rс = 2.
