Учёная группа из Московского физико-технического института совместно с Институтом автоматизации проектирования РАН предложила передовой вычислительный метод, позволяющий проникнуть к сути усталостных разрушений материалов. Объединив характеристические расчёты на сетках с техникой перекрывающихся «химерных» сетей, они создали инструмент для поклеточного моделирования накопления повреждений под действием высокочастотных циклических нагрузок — критически важного для авиационной отрасли. Результаты, подтверждающие эффективность и точность метода, опубликованы в журнале Mathematical Models and Computer Simulations. DOI: 10.1134/S2070048224700819
Усталость материала — невидимый процесс, при котором многократные, хотя и относительно небольшие, нагрузки постепенно создают микротрещины, рост которых рано или поздно приводит к внезапному отказу детали. В лопатках турбин, элементах фюзеляжа и механизмах наземной техники этот «тихий убийца» действует незаметно, а моделирование его развития до последнего времени оставалось крайне трудоёмкой задачей.
Для достоверного описания процесса нужно одновременно учитывать быстрые волновые явления, возникающие при каждом цикле нагрузки, и медленное накопление дефектов на протяжении миллионов или миллиардов циклов. Традиционные подходы либо упрощают проблему, игнорируя постепенное нарастание урона, либо фокусируются на макротрещинах, упуская первые этапы зарождения дефектов. Полноволновое моделирование каждой фазы в деталях сложной формы было практически невозможным из-за колоссальной нагрузки на вычислительные мощности.
Цель учёных заключалась в создании численного инструмента, способного одновременно высокоточно описывать динамику напряжённо-деформированного состояния при каждом цикле и отслеживать эволюцию повреждений. В основе методики лежат уравнения линейной теории упругости, представляющие гиперболическую систему для расчёта полей скоростей и напряжений. Переход от одного цикла к другому обеспечивается дополнительным звеном, учитывающим изменчивость свойств материала.
Для моделирования деградации материала применяется функция повреждений Ψ, изменяющаяся от 0 (целостный материал) до 1 (полное разрушение), отражающая относительную плотность микротрещин. Скорость роста Ψ задаётся кинетическим уравнением, коэффициенты которого зависят от мгновенного напряжённого состояния и амплитуды циклической нагрузки. Метод охватывает режимы от High-Cycle Fatigue (HCF) до Very-High-Cycle Fatigue (VHCF) — вплоть до миллиардов циклов. При достижении Ψ критического значения в точке образуется макротрещина.
Для решения сопряжённой задачи — моделирования быстрых волновых процессов и медленного накопления урона — применён сеточно-характеристический метод, оптимальный для волновых расчётов. Однако стандартная схема плохо ложится на сложные формы, например пластину с отверстием, где концентрируются напряжения.
Чтобы обойти это ограничение, внедрены перекрывающиеся «химерные» сетки: фоновая, грубая кубическая сетка покрывает всю область, требуя минимальных ресурсов, а в зоне концентрации напряжений, вокруг отверстия, используется локальная, более плотная сетка, точно повторяющая форму. Обмен данными между сетками происходит через интерполяцию полей напряжений и скоростей.
Уравнения решаются схемой третьего порядка точности с операторным расщеплением для сохранения точности при переходе к многомерным задачам. Гибридный подход сочетает геометрическую гибкость и экономию ресурсов.
Валидация метода проводилась сравнением результатов динамического решателя (один цикл без учёта накопления урона) с расчётами в Ansys в статическом режиме. Сопоставление полей напряжений показало высокую степень совпадения, что подтвердило корректность базового моделирования перед оценкой скорости роста усталости.
Главная трудность при симуляции усталости — огромные расходы на трёхмерные динамические расчёты для каждого цикла.
Для повышения практичности, особенно на ранних этапах проектирования, предложена процедура масштабирования: трёхмерная задача переводится в эквивалентную двумерную, с использованием корректирующих формул для коэффициентов Ламе, что существенно сокращает время вычислений.
Анализ показал, что двумерная модель даёт приемлемую точность при значительной экономии ресурсов, хотя уступает полноразмерному 3D моделированию.
Наконец, учёные продемонстрировали работу методики на всём цикле: от начального накопления микроповреждений до образования «квази-трещин» в пластине с отверстием.
Схожесть глобальных закономерностей разрушения в статических и динамических подходах подтверждает универсальность метода. Небольшие расхождения связаны с различиями в сетках и отсутствии учёта размера зерна материала в динамических симуляциях (метод считается валидным при условии, что размер зерна меньше минимального шага сетки).
Василий Голубев, профессор кафедры вычислительной математики и информатики МФТИ: «Главное преимущество нашего метода — поклеточное отслеживание эволюции микроповреждений под высокочастотными нагрузками. Мы не ограничиваемся подсчётом числа циклов до разрушения, а моделируем динамическую деградацию материала, учитывая волновые эффекты в каждом цикле, что открывает глубокое понимание механизмов усталостного разрушения».
Халид Валид, аспирант МФТИ: «Сочетая сеточно-характеристический метод с перекрывающимися сетками, мы концентрируем вычислительные ресурсы в зонах наибольших напряжений. Специализированная процедура перехода из 3D в 2D даёт дополнительный прирост скорости оценки усталостной долговечности, экономя время и мощности суперкомпьютеров».
Результаты могут существенно повысить надёжность и долговечность ответственных компонентов в авиастроении, энергетике и автопроме, позволяя на этапе цифрового прототипирования выявить слабые места и оптимизировать материалы, а также сократить объём дорогостоящих физических испытаний.
В будущем авторы планируют адаптировать метод для сложных геометрий и исследовать усталостную стойкость композитов и материалов с неоднородностями.
Источник: Khalid W., Golubev V., Nikitin I., Stratula B. Simulation of Cycling Damage under High-Frequency Loading with Grid-Characteristic Method on Overlapping Meshes. Math Models Comput Simul, Vol. 16, Suppl. 1, S66–S75, 2024. https://doi.org/10.1134/S2070048224700819
