Разбираемся в физике частиц: 1) шар на пружине, ньютоновская версия

Гармонический осциллятор (он же – шар на пружине)

У шара на пружине есть положение равновесия; если вы поместите туда шар и отпустите его, пружина не будет толкать его ни в одном из направлений, и шар останется недвижимым. Это голубая линия на рис. 1. Если вы потянете шар в сторону от положения равновесия (зелёные стрелки), пружина будет тянуть шар обратно с силой F (красные стрелки). Чем дальше вы оттягиваете шар, тем сильнее пружина тянет его обратно (по крайней мере, пока вы не порвёте пружину или не сломаете её давлением).

Колебательное движение (прыжки)

Назовём направление перемещения шара «направлением z», и определим ось z так, что z = z₀ соответствует положению равновесия шара на пружине. Допустим, мы тянем шар от этого положения, держим за него, чтобы он не двигался, до позиции z = z₀ + A; затем, в определённый момент времени t = 0 мы его отпускаем. Шар начнёт прыгать туда и сюда – см. рис. 2. Величина прыжков – амплитуда колебаний – равна A. Она может быть сколь угодно большой или малой; только вы выбираете, насколько оттягивать шарик от положения равновесия. Но то, как часто происходят прыжки туда и сюда – частоту колебаний ν – вы не контролируете. Она оказывается одинаковой, вне зависимости от величины А. Она определяется только свойствами шара и пружины, а не тем, что вы делаете.

В научных целях крайне важно описать наблюдения через математическую формулу. Положение шара z – функция от времени t, записываемая нами, как z(t), принимает вид:

$\$\$display\$\$\; z(t)\; =\; z\_0\; +\; A\; cdot\; cos\; [\; 2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu \; cdot\; t\; ]\; \$\$display\$\$$

Где, как обычно, cos – это косинус, π – число пи из геометрии круга, z₀ — положение равновесия шара, A и ν (ню) – амплитуда и частота колебаний. Функция косинуса колебательная, поэтому эта формула описывает колебательные движения с амплитудой А и частотой ν. Примеры колебательного движения шара на пружине с различными значениями начального отклонения и итоговой амплитудой А показаны на рис. 2, из которого также видно, что для заданного шара на пружине частота ν не зависит от амплитуды А.

Мелкий шрифт: амплитуда и частота больше нуля. Если А будет отрицательным, тогда амплитуда будет равна –А. По сути, амплитуда на самом деле |A|, то есть, модуль величины.

Рис. 2

Что очень важно помнить об амплитуде и частоте шарика и пружины (в классической доквантовой физике):
• амплитуду А можно выбрать любой;
• частоту ν определяют шар и пружина, и для того, чтобы выбрать другую частоту, вам придётся заменить пружину или шарик.

Период каждого колебания (сколько времени шарику нужно на то, чтобы пройти вперёд и назад ровно один раз) мы назовём T, и этот период равен просто обратной величие частоты: T = 1/ν. Если период – 5 секунд, тогда частота – раз в пять секунд, или 1/5 секунды (что часто называют 1/5 Герц или Гц).

Ещё мелкий шрифт: у любой реальной системы из пружины и шара, которую вы встретите в повседневной жизни, трение приведёт к тому, что А будет постепенно уменьшаться и в итоге дойдёт до нуля, когда движение остановится. Формулы, учитывающие трение при движении, оказываются не намного сложнее, но нам они не понадобятся. Поэтому я всегда предполагаю, что трение мало, А уменьшается очень медленно, и мы просто можем использовать упрощённые формулы, игнорирующие трение. Но важно знать: трение уменьшает А, но, если только оно не чрезвычайно сильное, не влияет на ν и T! Частота колебаний остаётся той же самой даже при уменьшении амплитуды. Поэтому нота, которую выдаёт гитарная струна после того, как вы её дёрнете, не меняется, даже когда получающийся звук постепенно затухает.

Ещё одно: существует красивая формула для хранящейся в колеблющейся пружине энергии. Она пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты:

$\$\$display\$\$\; E\; =\; 2\; cdot\; \pi ^2\; cdot\; \nu ^2\; cdot\; A^2\; cdot\; M\; \$\$display\$\$$

Частично это энергия движения шара (кинетическая), а частично – энергия взаимодействия (потенциальная), хранящаяся в пружине, и когда шар качается туда и сюда, доли этих энергий в общей энергии постоянно меняются. Но общая энергия Е остаётся постоянной.

Мелкий шрифт: существует ещё энергия массы шара, Мc², но мы её не отслеживаем, поскольку она есть всегда, движется при этом пружина, или нет.

Та же формула колебаний применима практически ко всему, что дрожит или прыгает, только если эти прыжки не слишком велики. Шарик, катающийся по дну чаши; машина, прыгающая на плохих амортизаторах; вибрирующая струна скрипки или гитары; брусок ксилофона после удара по нему; и т.п.

Уравнение колебательного движения (математика прыжков)

Теперь давайте вспомним основные формулы, объясняющие нам, почему шарик на пружине колеблется.

Как мы упоминали вначале (рис. 1), шар на пружине обладает положением равновесия, которое мы назвали z = z₀. Допустим, в какой-то момент времени (либо мы потянули за шар, либо он колебался) он находится в другой позиции, z. Если z > z₀, то есть если смещение от положения равновесия z — z₀ больше нуля, тогда пружина будет создавать силу, направленную в отрицательном направлении z, чтобы тянуть шар назад к точке равновесия. И наоборот, если z < z₀, то есть смещение от равновесия z — z₀ отрицательное, тогда пружина будет создавать силу, направленную в положительном направлении z, чтобы опять-таки тянуть шар назад к точке равновесия. И чем дальше будет шар от положения равновесия, тем сильнее тянет пружина. Сила F, создаваемая пружиной, связана со смещением шара от равновесия уравнением

$\$\$display\$\$\; F\; =\; –\; K\; (z\; –\; z\_0)\; \$\$display\$\$$

Где K – положительная величина, зависящая от определённой пружины, называемая константой пружины.

Отметим, почему эта формула верна:
• Если шар находится в положении равновесия, F = 0. Пружина не создаёт силы, и если шар не двигался в положении равновесия, он там и останется.
• Если отклонение больше нуля, сила отрицательна.
• Если отклонение отрицательно, сила положительна.
• Чем больше отклонение, тем больше сила.

Затем мы обратимся ко второму закону движения Ньютона, гласящему, что под воздействием силы F шар массы М будет двигаться с ускорением а, где F = M a. Подставим это в формулу и получим

$\$\$display\$\$\; M\; a\; =\; –\; K\; (z\; –\; z\_0)\; \$\$display\$\$$

или

$\$\$display\$\$\; a\; =\; –\; K/M\; (z\; –\; z\_0)\; \$\$display\$\$$

Это почти нужное нам уравнение, из которого можно вывести уравнение колебаний. Нам нужно только вспомнить о взаимоотношении a и z. Для этого важно вспомнить отношения между a и скоростью v, и между v и z. Это отношение – одно из двух изменений по времени:
• Скорость – это изменение положения во времени, v = dz/dt
• Ускорение – это изменение скорости во времени, a = dv/dt

Сложим и получим

$\$\$display\$\$\; a\; =\; d(dz/dt)/dt\; =\; d^2z/dt^2\; \$\$display\$\$$

Ускорение – это изменение во времени изменения положения во времени.

Мы можем переписать нашу формулу уравнения движения

$\$\$display\$\$\; d^2z/dt^2\; =\; –\; K/M\; (z\; –\; z\_0)\; quad\; (*)\$\$display\$\$$

Где z – это краткая запись для z(t). А теперь можно проверить, что колебательное движение z(t)= z₀ + A cos[ 2 π ν t ] будет решением для этого уравнения движения. Нам нужно сначала подсчитать скорость частицы как изменение её положения во времени:

$\$\$display\$\$\; d/dt\; (z\_0\; +\; A\; cdot\; cos[\; 2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu \; cdot\; t\; ])\; =\; –\; (2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu )\; cdot\; A\; cdot\; sin[\; 2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu \; cdot\; t\; ]\; \$\$display\$\$$

(dz₀/dt = 0, поскольку положение равновесия z₀ не меняется со временем, а d/dt(cos wt) = -w sin wt); и затем мы подсчитаем ускорение частицы, как изменение её скорости во времени:

$\$\$display\$\$\; d/dt\; [–\; (2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu )\; cdot\; A\; cdot\; sin[\; 2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu \; cdot\; t\; ]\; ]\; =\; –\; (2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu )^2\; cdot\; A\; cdot\; cos[\; 2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu \; cdot\; t\; ]\; \$\$display\$\$$

(поскольку d/dt(sin wt) = w cos wt). В результате

$\$\$display\$\$\; d^2z/dt^2\; =\; –\; (2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu )^2\; cdot\; A\; cdot\; cos[\; 2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu \; cdot\; t\; ]\; =\; –\; (2\; cdot\; \pi \; cdot\; \nu )^2\; cdot\; (z\; –\; z\_0)\; \$\$display\$\$$

Где на последнем шаге я использовал формулу z(t)= z₀ + A cos[ 2 π ν t ] для колебательного движения. Итоговое уравнение получается таким же, как наше уравнение движения [ $\$inline\$\; d^2z/dt^2\; =\; –\; K/M\; (z\; –\; z\_0)\; \$inline\$$], учитывая, что (2 π ν)² = K/M, если частота колебаний равна

$\$\$display\$\$\; \nu \; =\; frac\{\; sqrt\{K/M\}\; \}\{2\pi \}\; \$\$display\$\$$

И мы, в самом деле, обнаружили, что наше уравнение движения подразумевает, что пружина будет колебаться с указанной частотой, что эта частота не зависит от А – она зависит только от свойств пружины (К) и шара (М) – и что вне зависимости от величины А для уравнения есть решение. Поэтому мы можем выбирать любую А, в зависимости от того, как далеко мы оттягиваем шар от положения равновесия перед тем, как отпустить его.

В следующий раз: квантовый шар на пружине

Это поведение шара на пружине в классической, доквантовой, физике. Квантовая механика меняет многие понятия, но самое важное будет вот что: мы всё ещё можем выбирать А, но А не может быть любой величины. Она может принимать только определённые значения, пропорциональные квадратному корню из целых чисел.