История
История возникновения формулы производной начинается ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос — на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия — применяет её в своих трудах. Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.
Русский термин «производная функции» впервые употребил русский математик В.И. Висковатов (1780 — 1812).
Обозначение приращения (аргумента/функции) греческой буквой Δ (дельта) впервые употребил швейцарский математик и механик Иоганн Бернулли (1667 — 1748). Обозначение дифференциала, производной dxdx принадлежит немецкому математику Г.В. Лейбницу (1646 — 1716). Манера обозначать производную по времени точкой над буквой — x — идёт от английского математика, механика и физика Исаака Ньютона (1642 — 1727). Краткое обозначение производной штрихом — f′(x)- принадлежит французскому математику, астроному и механику Ж.Л. Лагранжу (1736 — 1813), которое он ввел в 1797 году. Символ частной производной ∂/∂x активно применял в своих работах немецкий математик Карл Г.Я. Якоби (1805 — 1051), а затем выдающийся немецкий математик Карл Т.В. Вейерштрасс (1815 — 1897), хотя это обозначение уже встречалось ранее в одной из работ французского математика А.М. Лежандра (1752 — 1833). Символ дифференциального оператора ∇ придумал выдающийся ирландский математик, механик и физик У.Р. Гамильтон (1805 — 1865) в 1853 году, а название «набла» предложил английский ученый-самоучка, инженер, математик и физик Оливер Хевисайд (1850 — 1925) в 1892 году.
Зачем нужна производная
На первый взгляд производные нужны чтобы забивать головы и без того перегруженных школьников, но это не так. Рассмотрим машину, которая ездит по городу. Иногда стоит, иногда едет, иногда тормозит, иногда разгоняется. Допустим, она проездила 3 часа и проехала 60 километров. Тогда по формуле из начальных классов мы поделим 60 на 3 и скажем, что она ехала со скоростью 20 км/ч. Правы ли мы? Ну, отчасти, правы. Мы получили «среднюю скорость». Но толку нам с ней? Машина может ехала с этой скоростью 5 минут, а все остальное время либо ехала медленнее, либо быстрее. Что же делать? А почему собственно нам обязательно нужно знать скорость за все 3 часа маршрута? Давайте разобьём маршрут на 3 части по одному часу и посчитаем скорость на каждом участке. Давайте. Допустим, получится 10, 20 и 30 км/ч. Вот. Ситуация уже более понятна — машина ехала в последний час быстрее чем в предыдущие. Но это опять в среднем. А вдруг она просто в последний час сначала полчаса ехала медленно-медленно, а потом вдруг разогналась и стала ехать быстро-быстро? Да, может быть и так. Как мы видим, чем больше мы разобьем наш промежуток в 3 часа — тем точнее получим результат. Но нам не нужен результат «точнее» — нам нужен совершенно точный результат. Значит, и разбивать время надо на бесконечное число частей. А сама часть — следовательно, будет бесконечно маленькой. Если мы поделим расстояние, которое машина проехала за наш бесконечно маленький промежуток времени на это самое время, то тоже получим скорость. Но уже не среднюю, а «мгновенную». И таких мгновенных скоростей тоже будет бесконечно много. Если вы поняли все вышеизложенное — то вы поняли смысл производной. Производная — это быстрота изменения чего-либо. Например, в нашем случае скорость — это быстрота изменения » проеханного расстояния» с течением времени. А может быть «быстрота изменения температуры с изменением долготы в сторону севера». Или «быстрота исчезания конфет из вазы на кухне». В общем если есть что-то, некая величина «Y», которая зависит от некоторой величины «X», то, скорее всего, есть и производная которая записывается dy/dx. И она как раз показывает — как изменяется величина y при бесконечно малом изменении величины x — как у нас расстояние изменялось при бесконечно малом изменении времени.
Как применять в механике
Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.
Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Таким образом,
Значит, чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x0 по определению, нужно:
Найти разность
Найти отношения
Найти предел этого отношения при
Механика. Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим прикладным применением производной является вычисление скорости. Скорость произвольно движущейся точки является векторной величиной, так как она определяется с помощью вектора — перемещение точки за промежуток времени, в течение которого это перемещение произошло.
