Удивительное экспериментальное открытие, связанное с поведением жидкостей, запустило волну математических доказательств
Сложные потоки жидкости в чашке чая вдохновили учёных на несколько важных доказательств
Научный прогресс не всегда движется по прямой. Исследователи начинают заниматься какими-то вопросами, а потом бросают их. Результаты перестают вдохновлять. На формирование теории могут уйти десятилетия.
Но иногда накопление научных знаний идёт прямой дорой, и одно открытие порождает другое, будто падение костяшек домино.
Подобное недавно произошло в области, изучающей при помощи математики механику жидкостей. Удивительное экспериментальное открытие 2013 года запустило серию математических доказательств, разрушивших вековые представления.
«Это была очень динамичная и удивительная история», — сказал Александр Киселёв, математик из Университета Дьюка, соавтор одного из доказательств.
В основе открытий лежат уравнения Эйлера, сформулированные Леонардом Эйлером в 1757 году. Математики и физики использовали их для моделирования поведения жидкостей во времени. Если бросить в пруд камень, как будет двигаться жидкость через пять секунд? Уравнения Эйлера помогут ответить на этот вопрос.
Но не буквально. Уравнения Эйлера описывают идеализированный мир, в котором у жидкости есть несколько свойств, не встречающихся в реальности. К примеру, уравнения предполагают отсутствие у жидкостей вязкости (внутренние потоки не создают трения), а также несжимаемость (нельзя впихнуть жидкость в объём меньший, чем она уже занимает).
В этом идеализированном мире эти уравнения используют законы движения Ньютона для предсказания будущего состояния жидкости. Математикам, изучающим уравнения Эйлера, в итоге нужно понять, всегда ли они работают. Есть ли сценарии, заставляющие уравнения сломаться и не дающие им описывать поведение жидкости в будущем?
В 2013 году пара математиков решила найти такой сценарий. Томас Хоу из Калифорнийского технологического института и Гуо Луо из городского университета Гонконга, отрабатывали на компьютере цифровые симуляции. Они давали численное описание начального состояния жидкости и давали компьютеру команду применить уравнения Эйлера для определения движения этой жидкости в будущем.
Хоу и Луо сконцентрировались на определённом сценарии, который можно практически точно повторить даже дома. Перед тем, как заняться обсуждением удивительно сложных способов, которыми могут двигаться жидкости, давайте проведём эксперимент, который может повторить каждый.
Представьте себе цилиндрическую кружку с плоским дном, в которую налит чай. Некоторые чайные листья покоятся на дне. Помешайте чай по часовой стрелке. Сначала вся жидкость начнёт вращаться как единое целое, и захватит с собой чаинки.
Однако через некоторое время после начала движения, центробежная сила вращающейся жидкости начнёт взаимодействовать со стенками чашки, создавая, как говорят физики, «вторичный поток» – более сложное движение, возникающее в ответ на изначальное помешивание. Эти вторичные потоки, идущие вниз вдоль стенок цилиндра и вверх в центре, хорошо демонстрируют чаинки: они собираются в центре у дна чашки и остаются практически неподвижными, несмотря на то, что чай вокруг них продолжает вращаться.
Это явление, наблюдавшееся много веков, называется «парадоксом чайного листа«. В 1926 году Альберт Эйнштейн дал первое математическое объяснение такого поведения.
Представим чашку с плоским дном полную чая. На дне имеется несколько чаинок, которые остаются там, так как оказываются тяжелее вытесняемой ими жидкости. Если с помощью ложки заставить жидкость вращаться, то чаинки быстро соберутся в центре дна чашки. Объяснение этого явления заключается в следующем: вращение жидкости приводит к появлению центробежных сил. Эти силы сами по себе не могли бы привести к изменению потока жидкости, если бы последняя вращалась как твёрдое тело. Но по соседству со стенками чашки жидкость удерживается благодаря трению, так что угловая скорость, с которой она вращается, оказывается меньше чем в других местах, близких к центру. В частности, угловая скорость вращения, а следовательно и центробежная сила, будет меньше вблизи дна, чем вдали от него. Результатом этого является круговое движение, подобное изображённому на рисунке, которое возрастает до тех пор, пока под действием трения не станет стационарным. Чаинки сносятся в центр круговым движением, чем доказывают его существование.
— Альберт Эйнштейн (из доклада на собрании Прусской академии наук 7 января 1926 года)
Сценарий, рассмотренный Хоу и Луо, немного сложнее. Снова представим жидкость в цилиндре. Но теперь жидкость в верхней части цилиндра вращается по часовой стрелке, как в чашке чая, а в нижней – против часовой. Такое движение создаёт несколько вторичных потоков. Появляются водовороты, движущиеся вдоль стенок цилиндра вверх и вниз.
«Сверху жидкость по спирали движется вниз, а снизу – закручивается в противоположном направлении», — сказал Хоу.
Запустив числовую симуляцию, Хоу и Луо увидели, как в середине чашки, где встречаются конфликтующие потоки, происходит нечто неожиданное. Уравнения Эйлера говорят о том, что завихрённость жидкости в этом месте чрезвычайно сильно возрастает. Их симуляция показала, что, согласно уравнениям Эйлера, завихрённость в этом месте растёт так быстро, что становится бесконечной за конечное время.
Подобные бесконечные значения называют сингулярностями. Если уравнения Эйлера выдают сингулярность, они ломаются – или, как говорят математики, «взрываются» – и уже не могут описывать будущее движение жидкости. Уравнения не вычисляются с бесконечными значениями.
Открытие Хоу и Луо вызвало сенсацию. Более 200 лет математики охотились за сценариями, ломающими уравнения Эйлера. Многие проводили численные симуляции, которые, по их мнению, должны были привести к сингулярностям, однако ни одна из них не выдержала проверки на быстрых компьютерах. Хоу и Луо, кажется, наконец нашли такой сценарий.
«Многие исследователи считают этот сценарий получения сингулярности наиболее убедительным из всех», — сказал Владимир Сверак из Миннесотского университета.
Однако компьютерная симуляция – это просто свидетельство. Это не доказательство.
«Компьютеры ограничены в том плане, что не умеют оперировать бесконечно малыми величинами, — сказал Киселёв. – Результаты могут выглядеть убедительно, но мы не можем быть уверенными в них. Возможно, если взять суперкомпьютер получше, то можно будет увидеть, как всё рушится».
Поэтому математики поторопились проверить, можно ли доказать, что результат Хоу и Луо верен с математической точки зрения.
Томас Хоу, математик из Калифорнийского технологического института
Киселёв и Сверак узнали об этой симуляции в 2013 году во время презентации Хоу на летней конференции в Стэнфорде. Это побудило их начать работать над одной из важных нерешённых задач, касающейся скорости роста завихрённости в двумерных жидкостях. Им удалось доказать давнюю гипотезу, касающуюся свойств скорости роста, рассматривая сценарий, который Хоу и Луо использовали в своей симуляции.
«Мы будто получили цель, к которой можно было стремиться, — сказал Киселёв. – Одно дело, когда ты охотишься и не видишь цель. И совсем другое, когда знаешь, где она».
Последовавшие доказательства расширили математическое понимание формирования сингулярностей в уравнениях Эйлера. В 2019 году Тарек Элгинди из Калифорнийского университета в Сан-Диего опубликовал два доказательства, описывающих условия, в которых уравнения Эйлера выдают сингулярности. И более ранняя работа Киселёва и Сверака была одной из его отправных точек.
В доказательствах Элгинди используются особые условия, и они не дают полного понимания формирования сингулярностей в уравнениях Эйлера, нужного математикам. И всё же это одни из самых сильных результатов, достигнутых в этой области.
Как водовороты в потоке изменяют его свойства, так и работа Элгинди побудила учёных к новой волне математических открытий. В октябре 2019 года Хоу и Цзяцзе Чэнь адаптировали некоторые из методов Элгинди для создания строгого математического доказательства сценария, тесно связанного с тем, что использовался в эксперименте 2013 года. Они доказали, что в немного изменённом варианте сценария сингулярность в уравнениях Эйлера действительно появляется.
«Они взяли идеи Элгинди и применили их к сценарию 2013 года», — сказал Сверак. Круг замкнулся.
Конечно, предстоит ещё много работы. Определённые технические свойства нового доказательства Хоу не дают ему определить существование сингулярности точно в такой ситуации, которую он смоделировал в 2013-м. Но после выдающегося шестилетнего периода работы и с новой поддержкой, Хоу считает, что вскоре сможет преодолеть и эти сложности. «Мне кажется, мы уже очень близко», — сказал он.
