[Перевод] Математический дуэт составил карту бесконечной территории минимальных поверхностей

Пара математиков на основе малоизвестной математической теории 30-летней давности продемонстрировала, что минимальные поверхности, напоминающие мыльную плёнку, в большом количестве появляются на широком спектре фигур

В конце 2011 года Брайан Уайт периодически слышал стук в дверь своего стэнфордского офиса. Снаружи в эти моменты его ожидали двое юных математиков, Фернандо Кода Маркес и Андре Невис, у которых всегда был примерно один и тот же вопрос: не будет ли у Уайта несколько минут, чтобы помочь им разобраться в одной из непонятных частей малоизвестной диссертации на несколько сотен страниц, написанной тридцать лет назад?

В диссертации, написанной Джоном Питтсом, был представлен мощный механизм построения минимальных поверхностей – структур, похожих на мыльную плёнку и пузыри – внутри широкого ассортимента фигур. Когда на фигуре можно сконструировать минимальную поверхность, последняя даёт возможность изучать геометрию окружающего её пространства. Такие поверхности появляются в различных научных задачах, от изучения чёрных дыр до разработки биомолекул.

И всё же, все эти годы диссертация Питтса выпадала из области внимания учёных – возможно, потому, что её было невероятно трудно читать. Маркес и Невис были уверены в том, что в ней скрыт огромный потенциал. «Нам было очевидно, что эта теория была совершенно недооценена и прошла незамеченной», — сказал Невис, который сейчас работает профессором Чикагского университета.

Хотя Уайт ни разу не спросил у этой парочки, почему их интересует работа Питтса, они каждый раз заявляли, что их интерес «чисто академический», сказал Невис. Однако у них была определённая цель – доказать гипотезу Уилмора 50-летней давности, где рассматривается вопрос поиска наилучшей из возможных форм пончика (подробности позже). После трёх месяцев борьбы с идеями из диссертации Питтса, Маркес и Невис достигли своей цели, заслужив множество наград и положительных отзывов.

Но в последние несколько лет им удалось продвинуть идеи Питтса гораздо дальше. Питтс со своим куратором, Фредериком Алмгреном, нашли способ гарантировать, что у каждой фигуры в небольшом числе измерений есть не менее одной минимальной поверхности. Теперь Маркес и Невис при помощи когорты молодых математиков, собравшейся вокруг них, на основе идей Алмгрена и Питтса показали, что в общем случае эти формы должны содержать множество минимальных поверхностей – бесконечно много поверхностей, толпящихся и толкущихся во всех уголках фигур. «Это огромный прорыв», — написала нам в емейле известный геометр Карен Уленбек из Техасского университета.

«На создание единственной минимальной поверхности необходимо потратить множество усилий, — сказал Ричард Шоин из Калифорнийского университета в Ирвине, консультировавший Невиса около 15 лет назад. – То, что их существует так много, факт потрясающий».

Этот ренессанс теории Алмгрена и Питтса привёл к взрыву активности в последние пару лет. «Результаты появляются так быстро и в таком большом количестве, что за ними трудно уследить, — сказал Уайт. – Мне это кажется очень интересным и чудесным».

Размечая горный хребет

Опустите искривлённый провод в мыльный раствор, или выдуйте мыльный пузырь, и жидкость быстро сформирует поверхность наименьшей возможной площади. Геометрия этих минимальных поверхностей занимала математиков сотни лет. Они появляются в различных областях, от архитектуры, где минимальная поверхность вдохновляет дизайн крыш и других структур, до создания микрочастиц для доставки лекарств. Пять лет назад, когда команда учёных создала пористые молекулы, способные нести внутри себя лекарства или гормоны, они обнаружили, что некоторые молекулы приняли форму гироида, бесконечно повторяющейся поверхности, отдельные участки которой напоминают мыльную плёнку.

Технически математики считают поверхностями с минимальной поверхностью только мыльные плёнки на проволоке, но не мыльные пузыри, поскольку в абстрактном пространстве, где нет молекул воздуха, пузырь сдулся бы в точку. Однако и плёнка на проволоке не полностью удовлетворяет математиков. Её внутренняя часть представляет собой гладкую поверхность, но проволока её резко обрывает. Логично задуматься над тем, можно ли продлить эту поверхность за пределы проволочных границ так, чтобы она продолжала выглядеть, как мыльная плёнка на каждом отдельно взятом участке. Иногда это возможно, и поверхность растягивается до бесконечности. Иногда поверхность возвращается и неловко пересекается сама с собой, или встречается с другими трудностями.

Гироид – тип минимальной поверхности, возникший во время проектирования микрочастиц для доставки лекарств

В обычном пространстве этим исчерпываются все возможности. Но математики и другие учёные часто рассматривают и другие миры, отличные от привычного для нас бесконечного трёхмерного пространства – искривлённые или конечные, такие, как трёхмерные аналогии сферы или поверхности тора. У таких фигур появляются новые интересные возможности: минимальные поверхности, искривляющиеся сами на себя, и замыкающиеся в закрытую конечную фигуру, не требующую проволочной поддержки.

В теории относительности эти конечные минимальные поверхности играют роль горизонта событий чёрных дыр. И если их удаётся найти на какой-либо фигуре, это помогает математикам рассмотреть их геометрию с разных сторон: они дают шаблон для разрезания фигуры (или многообразия) на потенциально более простые кусочки, они указывают на области положительной кривизны в рамках многообразия – на участки, изгибающиеся вовнутрь, как сфера или чёрная дыра, в отличие от изгиба наружу.

«Нам мало что известно о многообразиях с положительной кривизной», — сказал Шоин.

Однако часто тяжело доказать существование минимальной поверхности в рамках фигуры. Чтобы понять, почему так, рассмотрим двумерный вариант этой задачи. Вопрос поиска минимальной поверхности имеет смысл в любом измерении: математики просто считают поверхностью форму, чьё измерение на единицу меньше пространства, в котором она живёт. Так что в двумерном мире минимальной поверхностью будут «геодезические» кривые, составленные из кратчайших путей, соединяющих близлежащие точки.

Для некоторых двумерных фигур легко найди геодезические кривые, замкнутые в конечную петлю. Возьмём поверхность тора – даже не обязательно ровного и симметричного, пусть у него будут неровности и выпуклости. Если мы обмотаем такой пончик резинкой, проходящей через его центр, можно представить, как мы её сильно затягиваем и сдвигаем в разные возможные положения. Одна из них окажется кратчайшей — она-то и будет геодезической кривой по определению.

Но если нашей фигурой будет сфера, такой подход уже не срабатывает. На идеально ровной сфере геодезическую кривую найти легко – это будет экватор и другие полные окружности. Но на неровной сфере, например, на поверхности Земли, неясно, куда идут геодезические кривые, и замыкаются ли какие-то из них в петлю. Можно представить, как мы оборачиваем Землю резинкой, как в случае с пончиком. Но если начать её двигать, пытаясь укоротить, она сожмётся до одной точки, поскольку в отличии от пончика, у сферы нет дырки, за которую цеплялась бы резинка.

Однако это фиаско с резинкой таит в себе зародыш успеха. Если экватор круглой сферы перехвачен резинкой, то единственным способом сдвигать его – добавить к нему волны – будет сделать его длиннее. Если двигать его по-другому, вверх или вниз на новую широту, он станет короче. Поэтому экватор с одной точки зрения будет кратчайшей кривой, а с другой – длиннейшей.

Это роднит экватор с седловиной горного перевала, высочайшей точкой с одной стороны (с пути через горы) и нижайшей с другой (с пути по близлежащим пикам). И это не просто слабая аналогия: как правило, минимальные поверхности оказываются такими седловинами, однако их горные гряды живут в мире, который гораздо тяжелее визуализировать.

Определяя минимальные поверхности фигуры, мы можем рассмотреть новый мир, состоящий из всех возможных конечных поверхностей, существующих внутри этой фигуры – назовём его «пространством поверхностей». Каждая точка пространства поверхностей соответствует всей поверхности целиком на оригинальной фигуре. Затем мы можем рассматривать площадь каждой поверхности как высоту соответствующей точки в пространстве поверхностей, в результате чего у нашего мира появится естественная топография. Поиск минимальных поверхностей на оригинальной фигуре становится поиском седловин в пространстве поверхностей.

В 1917 году Джордж Дейвид Биркгоф использовал этот подход, чтобы показать, что у любой сферы, бугристой или гладкой, обязательно найдётся одна замкнутая геодезическая кривая. Примерно шесть десятилетий спустя Алмгрен и Питтс мастерски расширили идеи Биркгофа, разметив топографию пространства поверхностей на все конечные фигуры в измерениях с трёх до семи, а потом использовали эту топографию, чтобы доказать, что у таких фигур всегда есть по меньшей мере одна замкнутая минимальная поверхность. Диссертация Питтса от 1981 года по этой теории «минмакса» – названной так оттого, что седловина одновременно является и точкой минимума, и точкой максимума – была «совершенно потрясающей», — сказал Невис.

Однако она была и чрезвычайно сложной. Мало кто понимал нюансы теории, а некоторые изучавшие её математики заявляли, что она не была полностью подтверждена, сказал Шоин. «Не думаю, что существовали сомнения в том, что она была чрезвычайно интересной и важной, — сказал он. — Но было неясно, насколько она полна».

Работа над теорией минмакса постепенно сошла на нет. «Работа Питтса была забыта математическим сообществом около 30 лет», — сказал Невис. Её не воскрешали до тех пор, пока Невис и Маркес не встретились в 2006 году в лифте математического здания Принстонского университета.

Через горный перевал

В тот момент Маркес прибыл в Принстон для прочтения лекции; Невис устроился туда на работу вскоре после защиты докторской. У обоих родной язык был португальский (Маркес родом из Бразилии, а Невис из Португалии), и они легко нашли общий язык. «Тогда я общался с ним впервые, но он беседовал со мной так, будто мы дружим уже лет 10», — вспоминает Маркес, сейчас работающий профессором в Принстоне.

Потом они обнаружили, что обсуждать математические идеи у них получается так же естественно. У них разные стили: Маркес более спокойный, а Невис более напряжённый. Но это послужило для них плюсом. «Очень редко находишь человека, который так хорошо тебя дополняет», — сказал Маркес.

Оба жаждали отыскать какую-нибудь сложную математическую задачу, в которую можно было бы погрузиться. Несколько лет парочка перебрасывалась идеями каждый раз, когда их пути пересекались, чтобы «посмотреть, что задержится», — сказал Невис. «У нас был миллион идей, и в итоге одна из них отфильтровалась и превратилось в нечто сформировавшееся».

Отфильтровавшейся задачей оказалась знаменитая проблема «гипотеза Уилмора». Она предлагает найти форму тора, минимизирующую величину, известную, как энергия Уилмора, которая, грубо говоря, измеряет различие между данной фигурой и круглой сферой. В 1965 году Уилмор предположил, что это будет самый круглый пончик особенно симметричного вида, известный, как тор Клиффорда, однако, несмотря на множество предпринятых попыток, гипотезу никому не удавалось доказать.

Маркес (слева) и Невис

Маркес и Невис разработали многообещающий подход, но чтобы он сработал, им нужен был последний ингредиент: теория минимакса. Они думали, что для овладения этой теорией и написания итоговой работы потребуется две-три недели – до тех пор, пока не открыли книгу Питтса. «Мы были шокированы – что это вообще такое? – сказал Невис. — Книга была невероятно сухой».

Отдельные теоремы разрастались на множество страниц – и это было только описание теорем, а не их доказательство. Основную теорему было просто трудно отыскать. «Помню, как Фернандо пришёл в мой офис и сказал: Я нашёл утверждение теоремы!» – сказал Невис.

Тор Клиффорда

Когда они застревали, они делали покерфейс и просили помощи у Уайта, одного из немногих людей, понимавших большую часть работы Питтса (хотя сам Уайт описывал эти разговоры, как «слепого, ведущего слепца»; сам Питтс, работающий профессором в Техасском университете A&M, закончил писать работы по теории минмакса несколько десятилетий назад). «Мы были невероятно мотивированными, и поэтому мы смогли пробиться, — вспоминает Невис. – Но это была задача не для слабых духом».

К тому времени, как Маркес и Невис закончили своё доказательство гипотезы Уилмора, они понимали теорию минмакса лучше, чем любой другой математик. Они были убеждены, что её потенциал простирается гораздо дальше, чем само утверждение гипотезы. «Мы знали, что у нас есть очень мощная теория, — сказал Невис. – Каждый раз, используя метод для доказательства некоего результата, долго остававшегося открытым, ты понимаешь, что в нём что-то есть. Это говорит о том, что стоит продолжать копать дальше».

Схема минмакса от Алмгрена и Питтса выдаёт не просто одну седловину, но бесконечное их количество. В теории это должно соответствовать бесконечному числу минимальных поверхностей оригинальной формы. Но Алмгрен и Питтс не смогли показать, что минимальные поверхности, получаемые подобным способом, были разными. Поэтому единственное, что можно было сказать определённо, это что у каждой фигуры была, по меньшей мере, одна минимальная поверхность.

После этого «развитие темы практически остановилось, — сказал Невис. – Это был лучший результат за период более 30 лет».

Требовался новый ингредиент, и Маркес с Невисом его нашли. Бесконечный список минмакс-поверхностей, как показали они в 2016, ведёт себя так же, как частоты у барабана.

Математик Герман Вейль в 1911 году показал, что фундаментальные частоты барабана имеют одно неожиданное свойство: грубо говоря, высокие частоты зависят только от объёма барабана, а не от его формы. Маркес и Невис совместно с Евгением Лёкумовичем из Массачусетского технологического института показали, что минмакс-поверхности удовлетворяют математическому закону, похожему на закон частот барабана. В частности, области поверхностей грубо определяются объёмом пространства, в котором они живут, а не его формой.

Этот результат, поставивший точку в гипотезе, выдвинутой несколько десятилетий назад, позволил Маркесу и Невису в 2017 году показать – на этот раз им помогал Кей Айри из Токийского университета – что для большинства фигур список минмаксов содержит бесконечное количество различных минимальных поверхностей. Более того, они показали, что эти поверхности являются «плотными»: они появляются рядом с каждой точкой окружающего пространства. Интуиция, поддерживающая этот вывод, состоит в том, что для того, чтобы объём пространства определил области нахождения минимальных поверхностей, последние должны каким-то образом «видеть» весь объём целиком. А это «говорит о том, что эти ребята находятся по всему многообразию», — сказал Маркес.

Пару месяцев спустя эта парочка, вместе с аспирантом Маркеса, Антуаном Суном, показала, что если пройтись по списку минмакс-поверхностей, будет видно, что они заполняют пространство равномерно – проявляется то, что математики называют «равнораспределением».

«Когда я услышал, что они равнораспределены, я был поражён, — сказал Уайт. – Казалось, что подобный результат люди не должны были суметь доказать ещё при моей жизни».

В последние пару лет к вопросу присоединилось ещё несколько математиков. К примеру, в январе Синь Чжоу из Калифорнийского университета в Санта-Барбаре, на основе предыдущей работы Маркеса и Невиса доказал, что для большинства фигур все минимальные поверхности в списке Алмгрена и Питтса отличаются друг от друга, что поставило приятную точку в этом вопросе. «Это действительно красиво закрывает эту тему, открытую ещё со времён работы Алмгрена и Питтса в 80-х», — сказал Уайт.

Это семейство результатов учитывает почти каждую фигуру в измерениях от трёх до семи – за исключением наиболее гладких форм, как бы это ни было контринтуитивно. Но в прошлом июне Сунн сумел доказать, что у каждой фигуры в этих измерениях, включая и самые округлые, есть бесконечно много закрытых минимальных поверхностей, что подтвердило ещё одну гипотезу возрастом в несколько десятилетий.

Пока неясно, будут ли плотность и равнораспределение вести себя так же равномерно, а также насколько теория минмакса работает не в компактных многообразиях, или в восьми и более измерениях (однако новая работа достигла определённых успехов и тут). Математики предсказывают, что на многие вопросы мы сумеем получить ответ раньше, чем казалось.

«Всё развивается чрезвычайно быстро, — сказал Невис. – Каждую неделю я смотрю на сайт с препринтами arxiv, и вижу там, как кто-то решил что-то ещё».

С одной точки зрения, эти работы отмечают конец – или окончание – истории, висевшей в незавершённом виде почти четыре десятилетия. Но также это и новое начало: математики лишь начинают понимать, что эти новые идеи, касающиеся минимальных поверхностей, смогут рассказать нам о пространствах, в которых живут.

«Я вполне могу предположить, что вскоре появятся и другие интересные способы применения этих знаний, но что именно, я точно не могу сказать, — сказал Шоин. – Уверен, что это будет одно из основных направлений в геометрии».