[Перевод] Как сделать невозможные обои: история запрещённых симметрий

Слева – узор обоев с симметрией вращения шестого порядка вокруг каждой из коричнево-зелёных розеток. Справа – узор обоев с зеркальной симметрией относительно горизонтальных линий, проходящих через каждый эллиптический элемент орнамента витража.

На первый взгляд придумывать обои не сложнее, чем выполнять задания из детского сада. Дизайнеры могут выбрать любое сочетание цветов и форм для первоначального кусочка, и просто размножить его в двух направлениях. В зависимости от узора начального кусочка и выбора направлений могут появляться и дополнительные симметрии – к примеру, симметрия шестого порядка на первой картинке, или зеркальная на второй. Оба узора созданы математиком Фрэнком Фарисом [Frank Farris] из калифорнийского университета Санта-Клары.

Плитки Пенроуза демонстрируют множество примеров локальной симметрии пятого порядка, но у них не встречается повторений узора. При заполнении больших областей на плоскости отношение количества широких плиток к количеству узких приближается к золотому сечению.

Но, хотя можно сделать обои с вращательными симметриями второго, третьего, четвёртого или шестого порядков, невозможно создать обои с симметрией пятого порядка [порядок показывает, сколько раз при повороте на 360° произойдёт самосовмещение узора – прим. перев.]. Это ограничение известно математикам почти 200 лет как «кристаллографическое ограничение». Геометрия пятиугольника запрещает узоры с симметрией пятого порядка. То же верно для порядков семь и более.

Тем не менее, самые интересные узоры, такие, как плитки Пенроуза, проявляют локальную симметрию пятого порядка во многих местах и на разных масштабах, только без повторяющихся узоров. Используя отличающийся от подхода Пенроуза метод, Фаррис обуздал необычную геометрию симметрии пятого порядка и создал новый набор захватывающих изображений – псевдо-обои, не подчиняющиеся, на первый взгляд, кристаллографическому ограничению.

Рис. 4

4-й рисунок выглядит как контрпример для кристаллографического ограничения, обладая вращательной симметрией пятого порядка вокруг точки А, при том, что узор можно сдвинуть на плоскости в направлениях AB или AC. На самом деле Фарис пишет в своей статье для журнала Notices of the American Mathematical Society, что это картинка – всего лишь хитроумная подделка.

«Вы знаете, что наблюдаемая вами симметрия невозможна», говорит Стивен Кеннеди из Карлтонского колледжа в Миннесоте.

Вращательная симметрия пятого порядка вокруг точки А вроде бы выполняется. Но если присмотреться, то можно заметить, что колёсики вокруг точек В и С немного отличаются от А. Если бы мы могли отдалиться от узора, чтобы увидеть большее количество повторений, то видимые повторения узора были бы всё меньше и меньше похожими на узор в районе точки А, даже если бы всё более убедительные копии А появлялись бы в других местах, как на рис. 5. Фарис показал, что такие иллюзии можно создавать и на более крупных масштабах, удаляясь от узора и повторяя его определенное количество раз – а конкретно, количество раз, соответствующее числам из ряда Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… где каждое следующее число является суммой двух предыдущих), который тоже играет свою роль в геометрии плиток Пенроуза.

Рис. 5

«Разумом мы понимаем, что это какой-то обман», говорит Фарис. Тем не менее, как он пишет в статье, эти изображения «приглашают наш взгляд к их изучению и наслаждению почти идеальными повторами».

Фарис додумался до этих подделок, изменив технологию, при помощи которой он создавал настоящие обои с вращательной симметрией 3-го порядка, такие, как на рис. 6.

Для создания симметрии 3-го порядка Фарис начал работу в трёхмерном пространстве, у которого есть одно особенно естественное вращение, перебирающее три пространственные координаты, и вращающее точки в пространстве на 120 градусов вокруг диагонали. Затем Фарис создал трёхмерные узоры обоев, накладывая особым образом выбранные синусоиды и сочетая их с заранее выбранной палитрой цветов. Точки окрашивались в зависимости от их положения на наложенных синусоидах. Затем Фарис вывел плоские обои, ограничив этот окрас двумерной плоскостью, перпендикулярно пересекающей ось вращения изначального пространства.

Этот плавный, использующий синусоиду, подход к созданию узоров обоев отличается от традиционного метода копирования и вставки, говорит Кеннеди. «Это весьма новый способ создавать симметричные узоры».

Рис. 6

Та же самая процедура, проделанная в пятимерном пространстве, вроде было должна приводить к созданию узора с симметрией пятого порядка – если бы только мы не знали, что это невозможно. Интересно, задумался Фарис, в какой же момент эта система даёт сбой?

Теоретически, пятимерное пространство возможно, хотя его и трудновато себе представить. У него существует естественный аналог симметрии вращения пятого порядка, как и у трёхмерного пространства – симметрия третьего. В пятимерном пространстве можно выбрать одну из двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна оси вращения и другой плоскости. Каждую из них можно вращать вокруг точки на 72 или 144 градуса. Может показаться сложным представить себе две плоскости и прямую, перпендикулярные друг другу, но в пяти измерениях им всем хватает места.

Фарис понял, в чём проблема – если перпендикулярная плоскость аккуратно прорезает трёхмерное пространство, и содержит бесконечные обои с бесконечным числом точек, обладающих целочисленными координатами, то две перпендикулярные плоскости в пятимерном пространстве иррациональны, и вообще не содержат точек с целочисленными координатами (кроме точки отсчёта). Поскольку узор обоев, созданный из синусоид, повторяется через сдвиги на целые числа, такие плоскости не наследуют узоров у пространств высшего порядка.

«Вот так и появляется муха в супе», пишет Фарис в статье.

Тем не менее, на этих двух плоскостях появляется иллюзия структуры обоев, благодаря участию т.н. золотого сечения, иррационального числа, описывающего направления двух плоскостей, и чисел Фибоначчи.

Благодаря их взаимоотношениям, Фарису удалось показать, что хотя на двух плоскостях и нет точек с целочисленными координатами, каждая из них очень близко подходит к бесконечному рассеянию точек с целочисленными координатами, координаты которых представляют собой числа Фибоначчи. Каждый раз, когда плоскость приближается к одной из таких точек Фибоначчи, узор выглядит почти так же, как в точке отсчёта, что и создаёт иллюзию точной копии.

Также Фарис придумал, как совместить цвета и узоры фотографий природы с волновыми функциями, чтобы включить их в дизайн узоров, в результате чего можно получить огромное количество «ненастоящих» обоев. На приведённом рисунке можно разглядеть ветви деревьев, перекочевавшие с фотографии.