В данной публикации представлен детальный разбор задачи, предложенной на Турнире математической химии (МХТ) 2023 года (источник №5):
Практически во всех биологических системах наблюдается кажущееся «отступление» от второго начала термодинамики, за которое живые организмы «расплачиваются» энергией молекул АТФ. Рассмотрим гипотетический сценарий: транспортный белок кинезин, используя энергию гидролиза АТФ, осуществляет перенос специфического субстрата из одной везикулы в другую. В исходном резервуаре это вещество находится в состоянии динамического равновесия с иным соединением. В процессе переноса порций вещества равновесие химической реакции смещается, что провоцирует выделение тепловой энергии в одной везикуле и её поглощение в другой. Жизнеспособен ли подобный «биологический холодильник» в условиях клетки? Каким образом его коэффициент полезного действия (КПД) будет соотноситься с типом выбранной реакции и концентрацией реагентов? Сопоставьте эффективность такого механизма с показателями бытового холодильного оборудования (составляющими около 60%).
Эта задача примечательна своей междисциплинарной природой, поскольку требует применения знаний из области клеточной биологии, термодинамики, химии, математического моделирования и программирования.
Ниже приведено предложенное мною решение:
Для начала сформируем физическую модель системы и представим её в виде схемы:
Для проведения численного анализа воспользуемся следующими усредненными параметрами из открытых научных источников:
1) Средний радиус основной везикулы (R) ≈ 500 нм;
2) Средний радиус транспортной везикулы (r) ≈ 75 нм;
3) Внутриклеточное давление (p) примем равным осмотическому — порядка 7 атм;
4) Температурный режим (T) соответствует физиологической норме человеческого тела (36.6 °C = 309.75 K);
5) Форма везикул аппроксимируется сферой (V = 4/3 * π * r³);
6) Энергетические затраты на один «шаг» молекулы кинезина эквивалентны гидролизу одной молекулы АТФ (A’ ≈ 60 кДж/моль);
7) Если в первой везикуле генерируется теплота Q1, а во второй поглощается Q2, то полезная работа (А полезная) составит Q1 — Q2, а совокупные затраты энергии (А затраченная) — Q2 + A’;
8) КПД вычисляется по стандартной формуле: (А полезная / А затраченная) * 100%.
(Источник №3)
Математический аппарат, использованный для расчётов:
1) Уравнение состояния идеального газа (Менделеева — Клапейрона): pV = νRT; закон Авогадро: N = Na * ν;
2) Энтальпия реакции: ΔHр-ции = ΣΔHобр.(продуктов) — ΣΔHобр.(реагентов);
3) Энтропия реакции: ΔSр-ции = ΣΔSобр.(продуктов) — ΣΔSобр.(реагентов);
4) Энергия Гиббса: ΔG = ΔH — TΔS; константа химического равновесия: K = ([D]ᵈ * [E]ᵉ) / ([A]ᵃ * [B]ᵇ);
5) Молярная концентрация: c = ν / V;
6) Плотность среды: ρ = m / V;
7) Масса вещества: m = M * ν.
Расчёт ключевых характеристик моделируемой системы:
1) Объем основной везикулы: V = 4/3 * π * (500 * 10⁻⁹)³ = 523.6 * 10⁻²¹ м³;
2) Объем транспортного контейнера: v = 1.767 * 10⁻²¹ м³;
3) Определяем количество вещества (ν1) через уравнение Менделеева — Клапейрона: ν1 = (p * V) / (R * T)
ν1 = (7 * 10⁵ * 523.6 * 10⁻²¹) / (8.31 * 310) = 1.4227 * 10⁻¹⁶ моль;
4) Соответственно для транспортной везикулы: ν2 = 0.48 * 10⁻¹⁸ моль;
5) Количество молекул в основном объёме: N1 = ν1 * Na ≈ 85 650 805 ед.;
6) В транспортной везикуле: N2 = ν2 * Na ≈ 289 070 ед.
(Источники №1 и №2)
В качестве демонстрационной модели рассмотрим обратимую реакцию синтеза йодоводорода: H₂ + I₂ ⇌ 2HI.
(Несмотря на то что данная реакция не протекает в живых клетках, она выбрана как классический пример для количественного моделирования равновесных систем).
Для нахождения оптимального баланса компонентов необходимо решить квадратное уравнение:
Поскольку ручной подсчет таких итерационных зависимостей крайне трудоемок, была разработана программа для автоматизации вычислений:
Входным параметром алгоритма служит исходное число молекул водорода в состоянии равновесия газовой смеси.
На выходе программа определяет равновесное количество молекул йода и йодоводорода, анализирует новое состояние равновесия после акта переноса и вычисляет итоговый КПД системы.
На основе варьирования входных данных была сформирована таблица зависимости эффективности системы:
Резюме: Величина КПД демонстрирует сильную зависимость от первоначального количества водорода в системе. В большинстве сценариев показатель эффективности оказывается крайне низким (в пределах 1%), что значительно уступает техническим аналогам.
Список использованной литературы:
1) Габриелян О. С. Химия. 11 класс: Учебник для общеобразовательных организаций.
2) Мякишев Г. Я. Физика. 10 класс: Учебник для общеобразовательных организаций.
3) Механизмы транспорта белков через эндоплазматический ретикулум
4) Основы химической термодинамики (электронный ресурс)
