В этой части «Наноматериалов и …» будем рассматривать многообразие математических основ устройства материальных тел и веществ. В первую очередь сюда относятся геометрические и алгебраические структуры, обеспечивающие строгое описание и моделирование твердых тел (кристаллов). Уже упоминалось ранее, что построение атомных (геометрических) решеток тел подчинено кристаллографическим законам, которые включают 230 кристаллографических групп, открытых (1890) российским ученым Федоровым Е.С. и немецким А. Шёнфлисом.
Здесь замечу, что вопросы устройства веществ напрямую касаются создания элементов (транзисторов, резисторов и др.) в наноэлектронике, фотонике и спинтронике, которые определяют не только настоящее, но и будущее IT-технологий. По-видимому, непонимание этого положения движет минусаторами в комментариях к моим статьям.
В спинтронике альтермагнетики могут иметь значительные применения в области разработки твердотельных аккумуляторов и компьютерной памяти. В то же время они могут обеспечить преимущества ферромагнетиков, которыми не обладают антиферромагнетики. До недавнего времени реализация такой комбинации свойств считалась невозможной, и открытие альтермагнетизма предоставляет новые возможности для исследований и технологического развития. Интересно, что совсем недавно ученые открыли другую новую странную форму магнетизма – «кинетический ферромагнетизм».
Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, облегчить самостоятельное овладение фундаментальными представлениями и понятиями, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы. Масштабность темы требует ввести разумные ограничения.
Введение
Все 230 кристаллографических групп можно разделить на 32 класса (точечных групп). При этом в каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество групп в классах изменяется от 1 до 28. Точечные группы описывают симметрию конечных объектов пространства, в то время как пространственные группы — бесконечных.
Сами классы можно разделить на меньшее число систем (на сингонии). Существует 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.
Классы. Для обозначения кристаллографических классов приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m)
n — ось симметрии n-го порядка.
n¯ — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
m — плоскость симметрии.
nm или nmm – ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё
n/m — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная.
n2— ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
n/mmm — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
n¯2m или n¯m2 (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n/2 плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n/2 осей второго порядка, к ней перпендикулярных.· n¯m (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
Основы теории симметрии
Операции симметрии. Любой объект может быть описан координатами своих точек При m переменных рассматривается область их изменения как пространство m измерений с координа-тами точки в нем X = < х1,…,хi, …, хm>. Пусть операция g некоторое преобразование координат точек Х пространства g [х1,…,хi, …, хm] = х’1,…,х’i, …, х’m; g[X] = X’.
Назовем F симметричным объектом (функцией, фигурой), а g – операцией или преобразованием симметрии, если F не меняется при действии g на исходные переменные:
F [х1,…,хi, …, хm] = F(g [х1,…,хi, …, хm]) = F( х’1,…,х’i, …, х’m)
F(X) = F[g(X)] = F(X’).
Заметим, что для каждого преобразования симметрии g(1), переводящего точки Х в Х’, имеется обратное преобразование g –1, переводящее точки Х’ в Х: g –1 [X’] = X, которое согласно соотношению также есть преобразование симметрии.
Аналитическая запись преобразования симметрии
Выберем в пространстве декартову систему координат Х1, Х2, Х3 – правую, т.е. такую, в которой, если смотреть с конца оси Х3, поворот от Х1 к Х2 будет поворотом против часовой стрелки. Преобразование симметрии g[Х] трехмерного пространства описывается линейными уравнениями Х’ = g[X]
x’1 =a11x1+a12x2+a13x3+a1,
x’2 =a21x1+a22x2+a23x3+a2,
x’3 =a31x1+a32x2+a33x3+a3.
Кратко в матричной форме записывается так x’i = aijxj+ai , (i, j = 1, 2, 3), или в операторной форме X’ = DX + t, матрица D описывает преобразования точечной симметрии, т.е. простые или зеркальные повороты, а t – трансляция, которая задается компонентами аi. Имеется важная теорема о группах.
Теорема. При любом n имеется лишь конечное число n-мерных кристаллографических групп, рассматриваемых с точностью до эквивалентности (что является решением 18-й проблемы Гильберта).
Перечисление точечных групп
Теорема позволяет дать следующее описание строения кристаллографических 32 групп как абстрактных групп. Пусть L — совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группе Г. Тогда L – нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная Zn и совпадающая со своим централизатором в Г. Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группе Г является и достаточным условием того, чтобы группа Г была изоморфна кристаллографической группе.
Подгруппа N группы G называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента n из N и любого g из G сопряженный элемент
gng-1 лежит в N
Группа G линейных частей кристаллографической группы Г сохраняет решётку L; иными словами, в базисе решетки L преобразования из G записываются целочисленными матрицами.
Группа симметрий квадрата (точечная группа)
Примеры этой части статьи заимствованы из [16]. Типичные примеры точечных групп- группа поворотов (вращений), группа линейных преобразований (умножений на матрицы), зеркальные симметрии. Преобразованиям подвергаются точки, положения которых взаимозаменяемы при дейтвии операций симметрии.
Фигура квадрат имеет четыре оси симметрии и центр симметрии (рис. 1). Это означает, что существует пять движений плоскости: четыре осевые симметрии и одна центральная, при которых квадрат отображается на себя. При этом некоторые вершины поменяются местами, а некоторые останутся неподвижными. Поставим более общую задачу: перечислить все движения, отображающие квадрат на себя. Легко увидеть, что таких преобразований 8. Кроме выше указанных четырех осевых симметрий есть еще четыре поворота вокруг центра O (на 0о, ± 90о, 180о). Сюда вошли и тождественное преобразование e=Rо, центральная симметрия, z=Rо.
Имеется более общее понятие, чем множество преобразований фигуры в себя — группа симметрий фигуры. Это такое множество преобразований, отображающих фигуру на себя, которые можно перемножать так, чтобы выполнялись привычные свойства умножения чисел.
Произведение преобразований a и b (ab) — это преобразование, полученное в результате последовательного выполнения преобразований a, b.
При таком определении умножения преобразований выполняются свойства.
1. Существует «единица» умножения — это тождественное преобразование e такое, что преобразования ea и ae совпадают с преобразованием a.
2. Каждое преобразование a имеет обратное a-1 такое, что aa-1 = a-1a = e.
3. При умножении трех преобразований a, b и c преобразования можно объединять попарно разными способами, то есть выполняется ассоциативный закон (ab) c = a (bc).
Отсюда, при умножении нескольких множителей скобки можно не ставить. В отличие от умножения чисел коммутативный закон для умножения преобразований не обязательно выполняется.
Пример. Пусть a и b (рис. 2) — осевые симметрии (для краткости в дальнейшем слово осевая будем опускать). Преобразование ab отображает:
A(ρ) D (ρ) B, B (ρ) C(ρ)С.
Сторона AB перешла в BC; центр О остался неподвижным. ab — это поворот вокруг центра О на 90о. Аналогично проверяется, что преобразование ba есть поворот в обратную сторону, на -90о, то есть ab ≠ ba.
Таким образом, перечисленные выше 8 преобразований образуют некоммутативную группу симметрий квадрата(G2).
Четыре поворота вокруг центра О на 0о, ± 90о, 180о также образуют группу — это подгруппа
группы симметрий квадрата, так как при умножении поворотов снова получается поворот, угол поворота которого равен сумме углов поворота сомножителей (с точностью до 360о). Эта подгруппа порождается поворотом на 90о ( R090 = r):
Это циклическая группа Z4 {r, r2, r3, r4 = e}.
Она образована степенями одного порождающего ее элемента. Очевидно, r2 есть центральная симметрия z, r3 = r -1. Симметрия a (рис. 2) порождает подгруппу Z2 {a, a2 = e}. Две симметрии a и c, оси которых перпендикулярны (рис. 3) порождают нециклическую подгруппу из четырех элементов: двух осевых симметрий и одной центральной: {a, c, ac = z, a2 = e}.
В силу того, что умножение двух симметрий дает поворот на удвоенный угол между осями, можно проверить, что правила умножения для этой группы таковы. Произведение любых двух симметрий равно третьей симметрии, а квадраты их равны тождественному преобразованию (табл. 1). Группу с такой таблицей умножения называют четверной группой Клейна (K4) (Феликс Клейн (1849 — 1925) — немецкий математик). Эта группа так же, как и циклическая (Z4)
коммутативна.
Замечание. Группа симметрий квадрата G2 порождается двумя симметриями a, b (рис. 2).
G2 {a, b, ab, ba, aba, bab, abab, a2 = e }, где aba, bab — симметрии, abab — центральная симметрия z. Используя равенства a2 = b2 = e, abab = baba, можно упростить любое произведение, составленное из сомножителей a и b.
Пример, ababa = (baba) a = (bab) a2 = bab — симметрия c.
Коммутатор. Коммутант
Произведение aba-1b-1 называют коммутатором преобразований a и b. Обозначается [ab].
Если ab = ba, то коммутатор [ab] = aba-1b-1 = (ba)a-1b-1 = b(aa-1)b-1 = beb-1 = bb-1 = e. Если преобразования a и b не перестановочны, то [ab] ≠ e.
Коммутаторы всех пар преобразований группы порождают группу, которая называется коммутантом группы. Для коммутативной группы коммутант тривиален, он состоит из единицы группы. Таким образом, коммутант в некотором смысле является «мерой некоммутативности» группы.
Вычислим коммутант группы симметрий квадрата (G2). Чтобы не перебирать все пары, пойдем по такому пути, который будет использован в дальнейшем при исследовании группы симметрий куба. С квадратом ABCD жестко свяжем два вектора e1, e2 (рис. 4). При любом преобразовании квадрата пара векторов (e1, e2) займет новое положение, обозначим его символом:(± ei, ±ej)
(i, j = 1,2; i ≠ j). Имеется всего восемь символов: (± e1, ± e2); (± e2, ± e1).
Каждому преобразованию квадрата отвечает свой символ.
Пример: тождественному преобразованию e — (e1, e2), центральной симметрии z — (-e1, -e2), симметриям b, c — (e2, e1), (-e1, e2), повороту r — (e2, -e1).
Способ умножения символов покажем на примере.
1. (-e1, e2) (-e2, -e1).
В первом преобразовании e1 (ρ) -e1. Во втором преобразовании e1 (ρ) -e2, тогда -e1 (ρ) e2.
Аналогично e2 (ρ) e2 (ρ) -e1. Окончательно (-e1, e2) (-e2, -e1) = (e2, -e1).
2. (e2, e1) (e2, -e1).
В первом преобразовании e1 (ρ) e2, а во втором преобразовании e2 (ρ) -e1. Аналогично e2 (ρ) e1 (ρ) e2. Окончательно (e2, e1) (e2, -e1) = (-e1, e2).
Легко убедиться, что равенства 1 и 2 ниже выполняются
1. (± e1, ± e2) (α, β) = (± α, ± β),
2. (± e2, ± e1) (α, β) = (± β, ±α), где (α, β) — символ любого из восьми преобразований квадрата.
Из этих примеров следует, что при умножении четного числа преобразований (± e2, ± e1) в произведении получается символ с натуральным порядком индексов векторов, а при нечетном — получается символ с обратным порядком векторов. Число минусов в результате будет иметь такую же четность, как сумма числа минусов всех сомножителей.
Равенства 1 и 2 ниже выполняются
1. (± e1, ± e2)-1 = (± e1, ± e2),
2. (ε2e2, ε 1e1)-1 = (ε 1e2, ε 2e1), где ε i = ± 1.
Отсюда вывод, что символ обратного преобразования имеет то же число минусов, что и данное, и такую же последовательность индексов.
Вернемся к коммутатору [ab] = aba-1b-1. С учетом следствий, вытекающих из предыдущих упражнений, число символов вида (± e2, ± e1) в коммутаторе всегда четно. Отсюда следует, что в символе коммутатора индексы векторов идут в натуральном порядке и имеется либо два минуса, либо ни одного. А это значит, что коммутаторами группы симметрий квадрата могут быть только (e1, e2) и (-e1, -e2).
Например, в силу коммутативности произведения симметрий a, c (рис. 4) их коммутатор [ac] = e, то есть (e1, e2). Легко проверить, что [ab] = z (рис. 4), то есть (-e1, -e2).
Множество из коммутаторов {(e1, e2); (-e1, -e2)} уже образует группу, поэтому по определению оно является коммутантом G’2 группы симметрий G2. Коммутант G»2 от полученного коммутанта, в силу коммутативности группы G’2 eсть единица e.
Группа, обладающая свойством, что последовательность ее коммутантов приводит к группе, состоящей из одной единицы, называется разрешимой. Таким образом, группа симметрий квадрата разрешима.
Группа симметрий куба (пространственная группа)
В публикации многие сложные моменты и тонкости опущены, а все обсуждение нацелено, главным образом, на выявление взаимосвязи между пространственными группами симметрии и координатами атомов, с одной стороны, и трехмерной кристаллической структурой, – с другой.
Кристаллы могут иметь следующие закрытые элементы симметрии: поворотные оси 1, 2, 3, 4 и 6, инверсионные оси 1—,2—,3—,4— и 6— и плоскости зеркального отражения m (они эквивалентны оси 2—), причем, могут присутствовать как один какой-нибудь элемент симметрии, так и несколько различных сочетаний. Присутствие тривиальных элементов (осей) симметрии не отмечается. Так, через центры противоположных граней куба проходят три оси 4, четыре объемные диагонали куба — это оси 3, через середины противолежащих ребер проходят шесть осей 2 (всего 13 осей).
Пространственные группы симметрии возникают при добавлении к симметрическим операциям, входящим в точечную группу, поступательного перемещения (трансляции), используют закрытые и открытые элементы симметрии.
Рассмотрим теперь группу симметрий куба и выясним, разрешима она или нет?
Для этого используем символику, введенную в предыдущем параграфе. С кубом жестко свяжем три вектора e1, e2, e3 (рис. 5). При любом преобразовании куба тройка векторов (e1, e2, e3)
займет новое положение ( ± ei, ± ej, ± ek) (i, j, k = 1, 2, 3; i ≠ j ≠ k, i ≠ k). Каждому преобразованию куба отвечает свой символ, верно и обратное. Одни из них будут обозначены символом, полученным перестановкой четного числа векторов (циклической).
Это: (e3, e1, e2) — соответствует повороту вокруг оси DB1 на 120о (рис. 6) (две перестановки: e2 с e3 и e3 с e1); (e2, e3, e1) — соответствует обратному повороту (на -120о) (две перестановки: e1 с e3 и e3 с e2); (e1, e2, e3) — тождественному преобразованию (нуль перестановок). Другие преобразования будут обозначены символом, полученным нечетным числом перестановок. Это символы, соответствующие плоскостным симметриям: рис. 5-8
Пример, (e2, e1, e3) — симметрия относительно плоскости BB1D1D (рис. 7) (одна перестановка:
e1 и e2). В соответствии с числом перестановок будем называть символы (e1, e2, e3),(e3, e1, e2),(e2, e3, e1) четными, а символы (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) — нечетными. Но в каждом символе могут присутствовать знаки минус (-) (один, два или три).
Пример:
(e1, e2, e3) — тождественное преобразование e,
(-e1, -e2, -e3) — центральная симметрия относительно центра,
(-e1, e2, e3), (e1, -e2, e3), (e1, e2, -e3) — плоскостные симметрии относительно плоскостей
a, b, c (рис. 8),
(-e1, -e2, e3), (-e1, e2, -e3), (e1, -e2, -e3) — осевые симметрии относительно осей, параллельных соответственно векторам e3, e2, e1.
Итак, для трех векторов существует 6 перестановок и в каждой перестановке можно 8-ью способами расставить знаки (+), (—). Таким образом, вся группа движений куба содержит 6х8 = 48 элементов.
Умножение символов из трех векторов будем производить так же, как и умножение символов из двух векторов. Для вычисления коммутаторов потребуются обратные преобразования, поэтому отметим следующее. Так как преобразования куба, обозначенные символами (ε1e1, ε2e2, ε3e3) (εi = ± 1, i = 1, 2, 3), а также нечетными символами (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) есть симметрии, то каждое из них совпадает со своим обратным преобразованием:
(ε1e1, ε2e2, ε3e3)-1 = (ε1e1, ε2e2, ε3e3),
(e1, e3, e2)-1 = (e1, e3, e2), (e3, e2, e1)-1 = (e3, e2, e1), (e2, e1, e3)-1 = (e2, e1, e3).
Для поворота вокруг оси в данном направлении обратным является поворот вокруг той же оси в противоположном направлении на такой же угол, поэтому (e3, e1, e2)-1 = (e2, e3, e1) и наоборот (e2, e3, e1)-1 = (e3, e1, e2).
Пример. Убедитесь в справедливости следующих равенств:
1. (e3, e1, e2) (e2, e3, e1) = (e1, e2, e3).
2. (e3, e1, e2) (e2, e1, e3) = (e3, e2, e1).
3. (-e3, -e2, e1) (-e2, e1, -e3) = (e3, -e1, -e2).
4. (-e1, -e2, -e3) (-e1, -e3, e2) = (e1, e3, -e2).
5. (-e2, -e1, e3) (-e3, -e2, e1) = (e2, e3, e1).
Из рассмотренных примеров следует, что умножение двух четных символов дает четный символ (пр. 1), умножение двух нечетных символов — четный символ (пр. 3, 5), умножение четного и нечетного — нечетный символ (пр.2, 4). Из примеров 3, 4, 5 ясно, что по-прежнему, как и при умножении символов из двух векторов, четность числа минусов в произведении совпадает с четностью числа суммы минусов сомножителей.
Выясним теперь, разрешима ли группа симметрий куба (G3)?
Коммутатор [ab] – есть результат умножения четырех сомножителей aba-1b-1.
Поэтому в силу предыдущих замечаний и следствий, вытекающих из примеров, любой
коммутатор группы симметрий куба задается четным символом (таких три), имеющим
четное число минусов (либо два, либо ни одного). Вычисление показывает, что коммутант G’3 группы симметрий куба состоит из следующих преобразований:
Таблица 7________________________
(e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1),
(e1, -e2, -e3), (e3, -e1, -e2), (e2, -e3, -e1),
(-e1, e2, -e3), (-e3, e1, -e2), (-e2, e3, -e1),
(-e1, -e2, e3), (-e3, -e1, e2), (-e2, -e3, e1).
_______________________________
Найдем коммутант G»3 от полученного коммутанта ( G’3 ). Элементы первой строки табл. 7 образуют коммутативную группу поворотов вокруг оси DB1, поэтому все коммутаторы группы G’3 без учета знаков сводятся к единице (e1, e2, e3). С учетом же знаков коммутаторами будут преобразования первого столбца табл.7 (число минусов коммутатора может быть по-прежнему только четным):
(e1, e2, e3), (e1, -e2, -e3), (-e1, e2, -e3), (-e1, -e2, e3).
Эти четыре элемента образуют коммутативную группу с таблицей умножения такой же, как у группы Клейна (K4) (табл. 3). Таким образом, коммутантом G»3 группы G’3 является коммутативная группа Клейна, а ее коммутант G»’3 есть единица. Так как последовательность коммутантов группы приводит к единице:
G’3 ⊃ G»3 ⊃ G»’3 = e,
то группа симметрий куба разрешима.
Аналогично тому, как от квадрата (двумерного куба) мы перешли к трехмерному кубу, можно от трехмерного куба перейти к четырехмерному и пятимерному. Представить эти фигуры трудно, но можно дать им следующее описание. Три взаимно-перпендикулярных вектора, отложенных от центра трехмерного куба, задают прямоугольную систему координат Oxyz (рис. 5) трехмерного пространства.
Координаты восьми вершин куба в этой системе координат есть наборы троек чисел вида: (± 1, ± 1, ± 1). В четырехмерном пространстве система координат содержит четыре взаимно-перпендикулярных вектора (e1, e2, e3, e4). Тогда четырехмерный куб можно задать 16-ью вершинами с координатами (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Аналогично можно получить пятимерный куб. Тогда движения этих кубов можно также задать символами из четырех и пяти векторов:
(± ei, ± ej, ± ek, ± et);
i, j, k, t = 1, 2, 3, 4;
i ¹ j ¹ k ¹ t; j ¹ t ¹ i ¹ k;
и пяти векторов:
(± ei, ± ej, ± ek, ± et, ± ep);
i, j, k, t, p = 1, 2, 3, 4, 5;
i ¹ j ¹ k ¹ t ¹ p; j ¹ t ¹ i ¹ k ¹ p; i ¹ p ¹ j.
Если рассмотреть группы симметрий четырехмерного куба (G4) и пятимерного куба (G5), то проводя аналогичные рассуждения, можно доказать, что группа G4 разрешима, а группа G5 — не разрешима.
Коммутаторами этих групп ( G’4 и G’5 ) по-прежнему будут преобразования, обозначенные четными символами с четным числом минусов. Так в G’4 входят преобразования, символы которых, без учета знаков получаются из (e1, e2, e3, e4):
1) если один вектор остается на месте, а три переставлены четное число раз; например,
(e1, e4, e2, e3) или
2) путем перестановки векторов в двух парах, таких без учета знаков — три:
(e2, e1, e4, e3); (e3, e4, e1, e2); (e4, e3, e2, e1).
Например, символ (e2, e1, e4, e3) получится из (e1, e2, e3, e4), если переставить векторы
в паре e1, e2 и в паре e3, e4. Если к последней строке добавить единицу (e1, e2, e3, e4), то опять будем иметь группу Клейна. Читатель может проверить, что коммутант группы G»4
состоит из элементов этой группы Клейна, взятых с четным числом минусов (нуль, два, четыре).
Коммутант G»’4 состоит из восьми элементов. Все они записываются символом с натуральным порядком векторов и имеют четное число минусов. Группа G»’4 — коммутативная, поэтому ее коммутант состоит из одной единицы. Из чего следует, что группа симметрий четырехмерного куба G4 разрешима.
Группа G5 неразрешима, так как G’4 = G»5 = G»’5 =… ≠ e, так же, как и группа Gn для n>5.
Добавим, что проблема разрешимости группы связана с проблемой разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Так уравнения выше 4-ой степени не разрешимы в радикалах. Это означает, что существуют уравнения n-ой степени (n>4), корни которых нельзя выразить через коэффициенты этого уравнения с помощью алгебраических действий и извлечения корней n-ой степени.
Заключение
В статье рассмотрены математические основы структурного построения материальных объектов в кристаллической форме. Выбор ограничения физической формы автор сделал сознательно, так как другие формы редко используются для синтеза электронных приборов, обеспечивающих функционирование IT- систем и IT-технологий.
В публикации приведены подробные (не самые сложные) примеры реализации таких математических основ при вычислениях, необходимых на разных стадиях синтеза. Дело в том, что, задавая в перечне требований к приборам определенные свойства, исследователь знает, что свойство во многом определяется химическим составом и структурой материала, ее параметрами и сознательно формирует необходимые композиции и комбинации.
Читатель получает представление о том, как и где используется математика в разработке
технологии синтеза материи на микро и нано (атомно-молекулярном) уровнях.
Литература
1. Винберг Э.Б. Курс алгебры – М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.
3. International Tables for Crystallography (2006). Volume A, Space-group symmetry.
4. Сережкин В.Н., Пушкин Д.В., Сережкина Л.Б. Точечные группы симметрии: учебное пособие. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. – 52 с.
5. Порай-Кошиц М.А. Основы структурного анализа химических соединений. М.: Высшая школа, 1989. –180 с.
6. Groom C.R., Allen F.H. // Angewandte Chemie International Edition. 2014. V. 53 (3). P. 662–671.
7. Macrae C.F., Bruno I.J., Chisholm J.A., Edgington P.R., McCabe P., Pidcock E., Rodriguez-Monge L., Taylor R., van de Streek J., Wood P. A. Mercury CSD 2.0 – new features for the visualization and investigation of crystal structures. // J. Appl. Cryst., 2008. V. 41. P. 466–470.
8. Борисенко Виктор Евгеньевич, Данилюк Александр Леонидович, Мигас Дмитрий Борисович. Спинтроника : учебное пособие. — 2-е. — М.: «Лаборатория знаний», 2021. — 232 с. — ISBN 978-5-93208-558-5.
9. Рязанов В. В. Джозефсоновский π-контакт сверхпроводник-ферромагнетик-сверхпроводник как элемент квантового бита. УФН, 1999. Т.169. № 8. С.920.
10. Иванов В. А., Аминов Т. Г., Новоторцев В. М., Калинников В. Т. Спинтроника и спинтронные материалы. Изв. АН (Сер.хим.) № 11, 2004, С.2255-2303.
11. Воронов В.К., Подоплелов А.В. Физика на переломе тысячелетий: конденсированное состояние, М., ЛКИ, 2012, ISBN 978-5-382-01365-7.
12. Prinz G.A. Spin-polarized transport. Physics Today, 1995. Vol.48..№ 4. P.353.
13. Maekawa S. (Ed) Concepts in Spin Electronics, 2006.
14. Вилесов Ф. И., Ермолаев В. Л., Красновский А. А. Молекулярная фотоника. — Л., Наука, 1970. — 438 с.
15. Энциклопедический словарь нанотехнологий. — Роснано. — 2010.
16. Котий О.А., Агафонова Т.Л. Группы симметрий квадрата и куба.
17. Проблемы рассеяния лазерного излучения в фотонике и биофотонике. Квантовая Электроника, Специальный выпуск, Том 36, № 11-12, (2006).
.
