Математическое обеспечение АСУ ТП: методика построения аналитических моделей двух переменных
В процессе проектирования автоматизированных систем управления технологическими процессами (АСУ ТП) ключевое внимание уделяется разработке математического обеспечения (МО). Под этим термином понимается комплекс алгоритмов, математических методов и моделей, обеспечивающих функционирование системы. Современная АСУ ТП — это прежде всего инструмент оптимизации, задача которого заключается в поддержании идеальных условий для протекания технологического процесса с целью достижения максимальной эффективности. Разработчик МО должен не только глубоко понимать физику процесса, но и виртуозно владеть методами математического моделирования в статике и динамике, а также алгоритмами оптимального управления.
Особую специфику имеет сфера энергетики. Электрическая энергия — наиболее универсальный и востребованный ресурс, однако её невозможно аккумулировать в промышленных масштабах. Это диктует необходимость генерации энергии ровно в том объеме, который потребляется в данный момент. Оборудование электростанций (ТЭС, АЭС, ГЭС) вынуждено работать в режиме переменной нагрузки. Следовательно, математические модели в энергетике всегда включают дополнительный параметр — текущую нагрузку, что значительно усложняет расчеты. Наиболее востребованными здесь являются функции двух переменных, где одним из аргументов выступает именно нагрузка.
Поскольку теоретические расчеты не способны учесть все нюансы конкретного оборудования, важнейшие характеристики уточняются в ходе пусконаладочных работ и экспериментальных испытаний. Ниже представлена универсальная методика создания аппроксимирующей функции двух переменных на базе табличных данных, полученных опытным или расчетным путем.
Фундаментальные понятия и способы представления данных
С точки зрения геометрии, функции различаются по сложности визуализации:
- Функция одной переменной Y(x) — это линия на плоскости (2D-график).
- Функция двух переменных Z(x, y) — это поверхность в трехмерном пространстве (3D-график).
- Функция трех переменных не имеет прямой геометрической проекции в 3D, но может быть представлена дискретно как совокупность вложенных поверхностей.
Любая функция должна иметь строгую структуру: имя, перечень аргументов и тело функции (например, Z(x, y) = 5x³ + 1,12y² – xy – 2x + 18). В практике АСУ ТП зависимости фиксируются тремя способами: в таблицах, графиках или формулах. Аппроксимация — это процесс трансформации табличных или графических данных в аналитическую форму (формулу), пригодную для реализации в микропроцессорных контроллерах.
Алгоритм аппроксимации на практическом примере
Рассмотрим методику на примере построения эколого-экономической характеристики (ЭЭХ) системы селективного некаталитического восстановления (СНКВ) оксидов азота на мощном котле (1050 т/ч). Система СНКВ снижает токсичные выбросы путем впрыска карбамида.
Исходные переменные:
- D — нагрузка котла (расход пара, т/ч);
- K — расход карбамида (г/с);
- ΔC — уровень снижения концентрации NOx (мг/м³);
- Z — текущие эксплуатационные затраты (руб/ч).
Процесс построения функции Z(D, ΔC) разделяется на следующие этапы:
- Визуализация сечений: Строится семейство графиков Z(ΔC) для нескольких фиксированных значений нагрузки D. Это позволяет перевести трехмерную поверхность в набор плоских линий.
- Выбор структуры модели: На основе анализа графиков выбирается вид уравнения. Для СНКВ, где кривизна линий невелика, оптимален полином второй степени:
a · ΔC² + b · ΔC + c(1),
где коэффициенты a, b, c являются функциями от нагрузки D. - Верификация модели: Для каждой линии рассчитываются коэффициенты путем решения системы уравнений. Погрешность аппроксимации не должна превышать точность исходных данных (обычно около 2%). Если приборы имеют класс точности ±5%, избыточная точность формулы не имеет смысла.
- Анализ коэффициентов: Строятся графики зависимостей a(D), b(D) и c(D).
- Вторичная аппроксимация: Подбираются аналитические выражения для самих коэффициентов a, b, c как функций от D.
- Сборка итоговой формулы: Полученные выражения подставляются в общую структуру:
Z(D, ΔC) = a(D) · ΔC² + b(D) · ΔC + c(D)(2). - Финальный контроль: Проверка точности формулы во всех расчетных точках.
Перспективы и применение методики
Данный подход позволяет создавать точные 3D-модели без использования тяжеловесных математических пакетов на стороне исполнения. Методика прозрачна и дает инженерам-наладчикам понимание «внутренней механики» моделирования, что часто скрыто за автоматизированным софтом.
Логику двухфакторной аппроксимации легко масштабировать на системы с тремя и более переменными. Например, если выясняется, что характеристика зависит от третьего фактора z, коэффициенты итогового уравнения просто переводятся в ранг функций от z. Это увеличивает объем вычислений, но сохраняет понятный алгоритм решения.
В практическом плане полученная модель Z(D, ΔC) интегрируется в ПО расчетных станций ТЭС. Это позволяет в режиме реального времени управлять экологическими параметрами энергоблоков, минимизируя затраты на реагенты и соблюдая строгие природоохранные нормативы.
Автор: Парчевский В.М., НИУ «МЭИ», кафедра АСУ ТП
