Вектор скорости β, направленный в целом вправо, по мере роста сначала пересекает эллипсоиды с сокращёнными длинами (n<1) волн света, а затем начинает пересекать эллипсоиды со всё более длинными (n>1) волнами.
Дело в том, что по мере приближения скорости источника к световой, прибавки скорости уже не ожидается. И за счёт набегания источника на излучаемые им же волны, их длина в среде распространения уже почти не сокращается. А вот собственное время источника при этом всё более замедляется, так что период излучаемых волн увеличивается. Вот свет и «краснеет». Покажем это, и даже в рамках школьной математики.
Если конец вектора скорости (годограф) для приближающегося источника упирается в точку B для n=1,618, как на рисунке, то, считая источник просто удаляющимся, мы тем самым предполагаем, что его конец упирается в точку B’. В этом случае, пытаясь определить скорость источника по величине его «красного» смещения, мы определим его скорость «удаления» существенно меньше, чем он в реальности имеет скорость приближения. Для источника со скоростью в точке C мы и вовсе можем предположить, что он неподвижен, т.е. как бы имеет скорость в точке C’. Разберёмся, как это получается, причём в дебри СТО погружаться не потребуется. И, кстати, все выведенные формулы можно использовать в реальной практике.
Пусть в какой-то момент Источник излучает электромагнитную волну 1′. А через промежуток времени T1 – волну 2. К этому времени фронт волны 1′ займет положение 1. Но за это же время Источник переместится в направлении Приёмника на расстояние V1X·T1, где V1X = V1·Cos(ψ). Таким образом, фронт волны 2 будет отстоять от фронта волны 1 на расстояние L1. Пусть Приёмник в некий момент принял волну 1. Волна 2 догонит его через промежуток времени T2, но за это время Приёмник переместится в направлении распространения волн на расстояние V2X·T2, где V2X = V2·Cos(φ).
Поскольку волна плоская и её фронт перпендикулярен лучу, то играет роль только наклон векторов скоростей к лучу света, а их круговая взаимная ориентация безразлична.
Указанные выше соотношения можно записать как систему уравнений (1).
Её решениями будут равенства (2). Отметим, что L1 это длина волны света (λ1), излучаемого источником в направлении приёмника в системе координат внешнего наблюдателя.
Интервалам времени T1 и T2 в ИСО наблюдателя будут соответствовать интервалы T10 и T20 в единицах собственного времени в ИСО Источника и Приёмника согласно соотношениям (3). Это как раз соответствует преобразованиям Лоренца в СТО. В собственных единицах движущейся ИСО справедливы соотношения (4). При этом мы используем, что в собственной ИСО скорость света равна c. Подставляя (3) и (4) в формулы (2) получим соотношение (5), в котором длины волн λ20 и λ10 указаны уже в собственных ИСО Приёмника и Источника.
Если принять, что ИСО Приёмника является условно неподвижной, то выражение (5) можно записать в виде (6). В таком виде формула доплер-эффекта полностью совпадает с её видом в СТО (Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц Теория поля, §48). Но там она выведена посредством пересчёта 4-вектора компонент электромагнитного поля к координатам ИСО движущейся в пространстве Минковского. А мы её вывели согласно евклидовой геометрии в ньютоновом пространстве просто допустив, что такие явления, как замедление времени и лоренцево сокращение, как бы реально осуществляются в движущихся телах. Этот «приём» позволяет рассматривать релятивистские явления как бы происходящие в тривиальном 3-х мерном пространстве, но, как говорят, «истина инвариантна относительно способа её получения».
Проведём замену переменных соответственно выражениям (7). Тогда выражение (6) запишется как выражение (8). Опуская промежуточные аналитические выкладки, от выражения (8) можно перейти к выражению (9).
Это уравнение семейства эллипсоидов, сжатых по оси X, имеющих общую точку в координатах {1,0}, и Y2max = n2/(n2+1) при X =1/(n2+1).
Ряд этих эллипсоидов при n = λ20/λ10 кратном отношению 1,618 (золотое сечение) приведён на первом рисунке.
Библиографический список:
1.Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц Теория поля, 4-е изд.,1962
