Квантовая теория поля открывает пути к решению математической головоломки

20.02.2023

В январе Карен Фогтманн и Майкл Борински опубликовали доказательство того, что в до сих пор недоступном математическом мире, называемом пространством модулей, существует множество математических структур — графов, которые Фогтманн и его коллеги впервые описали в середине 1980-х.

«Это сверхсложная задача. Удивительно, что у них получилось», — считает Дэн Маргалит, математик из Технологического института Джорджии.

Фогтманн и Борински начали с вопросов, которые Фогтманн, математик из Уорикского университета, задавала себе на протяжении десятилетий. Затем с помощью методов квантовой теории поля учёные перевели задачу на язык физики.

Доказательство показывает, что в пространстве модулей существуют структуры, но не раскрывает явно, что это за структуры. Новый научный результат подобен металлоискателю: он предупреждает, что нечто интересное где-то скрывается, даже если не может полностью это нечто описать.

Пространства модулей графов можно представить как фигуры с неким оформление. Встав в любую точку такой фигуры, вы увидите парящий над вами граф — множество соединенных ребрами точек (вершин). В разных точках пространства модулей графы изменяются, длина их ребер сокращается или растет, а иногда исчезают. Из-за этих особенностей Борински, физик-математик из Швейцарского федерального технологического института в Цюрихе, описывает пространства модулей как «большое море графов».

«Ранг» графа — это количество петель в нем; пространство модулей существует для каждого ранга. Размер этого пространства быстро растет: если зафиксировать длины ребер, то получится.

три графа ранга 2;
15 — ранга 3;
111 — ранга 4;
2 314 204 852 — ранга 10.

В пространстве модулей длина ребер графа может варьироваться, а это усложняет задачу. Ниже примеры графов, связанных с пространством модулей:

Квантовая теория поля открывает пути к решению математической головоломки
Ранг каждого графа определяется количеством петель. Математики также классифицируют графы по количеству вершин, которые они имеют. С ростом ранга быстро растет и количество возможных графов с этим рангом.

Форма пространства модулей для графов данного ранга определяется отношениями между графами. Когда вы ходите по пространству модулей, близлежащие графы должны быть похожими, а также должны плавно переходить один в другой. Но эти отношения сложны, оставляя пространство модулей с математически тревожными особенностями, например областями, где три стены пространства модулей проходят друг через друга.

Структуру пространства или формы Математики могут изучать через так называемые классы когомологий. Они способны помочь понять устройство пространства. Например, рассмотрим одну из любимых фигур математиков — бублик. На бублике классы когомологий — это просто петли.

На поверхности бублика можно нарисовать несколько разных петель: петля 1 окружает центральное отверстие бублика; петля 2— нить через отверстие; третья «тривиальная» петля находится сбоку от бублика.

Тор рода 1 с одной дыркой имеет только два нетривиальных класса когомологий, а тор рода 2 — шесть.

Однако не все классы когомологий одинаковы. Петля, расположенная снаружи бублика, как и третья петля, всегда может скользить или сжиматься, чтобы не пересекаться с другой петлей. Это делает его «тривиальным» классом когомологий.

А вот петли 1 и 2 говорят о структуре бублика гораздо больше — они существуют только благодаря дырке. Чтобы различить рода математически, можно использовать пересечения, объясняет Маргалит. Петли 1 и 2 могут скользить по поверхности бублика, но если вы не заставите их полностью оторваться от поверхности, они всегда будут пересекаться друг с другом. У этих двух петель есть партнеры, которых они не могут не пересекать, поэтому их называют «нетривиальными» классами когомологий.

Но математики не могут найти классы когомологий в пространствах модулей графов, просто нарисовав картинку, как с бубликом. По словам математика из Копенгагенского университета Натали Валь, при таком огромном количестве графов с пространствами модулей трудно разобраться. «Скорость большая, компьютер беспомощен», — рассказала она. Действительно, явно вычислен только один класс нетривиальных когомологий нечетной размерности (в 11 измерениях) и несколько четных.

Фогтманн и Борински доказали, что существует огромное количество классов когомологий, лежащих в пространстве модулей графов заданного ранга, хотя мы и не можем их найти. «Мы знаем, что их много, но известна лишь одна», — рассказал Уол и назвал такое положение дел «смехотворным».

Вместо того, чтобы работать непосредственно с классами когомологий, Борински и Фогтманн изучали число, называемое эйлеровой характеристикой. Это число обеспечивает тип измерения пространства модулей. Вы можете изменить пространство модулей определенным образом, не изменяя его эйлеровой характеристики, что сделает эйлерову характеристику более доступной, чем сами классы когомологий. Именно это и сделали Борински и Фогтманн. Вместо того, чтобы работать непосредственно с пространством модулей графов, они изучали «корешок» — по сути, скелет всего пространства. Спайн имеет ту же эйлерову характеристику, что и само пространство модулей, и с ним легче работать. Вычисление эйлеровой характеристики на позвоночнике сводилось к подсчету большого набора пар графов.

Идея Борински заключалась в том, чтобы использовать методы подсчета диаграмм Фейнмана, которые представляют собой графы, отображающие способы взаимодействия квантовых частиц. Когда физики хотят рассчитать, скажем, вероятность того, что при столкновении электрона и позитрона возникнет два фотона, им нужно суммировать все возможные взаимодействия, которые к этому приводят. Это означает усреднение по многим диаграммам Фейнмана.

«Я понял, что задачу такого рода можно сформулировать как некую игрушечную Вселенную квантовой теории поля», — объясняет Борински.

Борински представил графы как представляющие физические системы в простой версии Вселенной, в которой, помимо прочих допущений, существует только один тип частиц. Структура квантовой теории поля нуждалась в некоторой корректировке, чтобы Борински и Фогтманн получили правильный подсчет. Например, в квантовой теории поля два графа, являющиеся зеркальным отражением друг друга, по словам Борински, неразличимы. Формулы для сложения диаграмм Фейнмана включают факторы, гарантирующие, что эти графы рассчитаны без переоценки. Но когда дело доходит до расчета Эйлеровой характеристики, эти графы считаются разными. «Мы должны поиграть немного с симметриями графов», — считает Борински.

Программист-физик Йос Вермасерен Борински и Фогтман преодолели эту трудность. В своей январской статье они доказали, что эйлерова характеристика пространства модулей графов ранга n становится все более отрицательной по мере увеличения n. Это означает, что в каждом пространстве модулей предстоит открыть очень много нетривиальных классов когомологий.

Хотя статья Борински и Фогтманна не содержит дальнейших намеков на эти классы когомологий, это обнадеживающий результат для исследователей, которые стремятся их найти, и, возможно, это добавляет азарта охоте. «Те, что нам известны — настоящие драгоценные камни. И красив каждый такой камень», — делится ощущениями Дэн Маргалит.