Случайность, казалось бы, усложняет доказательство теорем. Но на самом деле, часто её эффект получается противоположным.
Из всех доступных математикам инструментов случайность, казалось бы, имеет меньше всего преимуществ. Математика оперирует логикой и строгими понятиями. Её общие цели – поиск порядка и структуры в огромном море объектов. Вся математическая история кажется возможной именно потому, что мир математики не случаен.
И всё же недавняя статья «Случайные поверхности скрывают в себе замысловатый порядок» касалась нового доказательства, в котором всё решает случайность. Результат включает появление закономерностей типа шахматных клеток, появляющихся на геометрических пространствах, построенных случайным образом. Авторы доказательства обнаружили, что случайность в геометрическом пространстве упрощает описание этих закономерностей. «Довольно неожиданно, что добавление случайности позволяет вам сделать больше», чем без неё, сказал Николас Курьен, математик из университета Париж-юг XI, соавтор той работы.
И оказывается, что случайность помогает в математике множеством способов.
К примеру, математики часто хотят доказать, что существует объект с определёнными свойствами, к примеру, геометрическая фигура с определёнными симметриями. Наиболее прямой способ решить задачу существования – найти пример объекта, обладающего нужными вам свойствами. Однако попробуйте-ка это сделать. «Бывает очень сложно представить один конкретный объект с нужным свойством», — сказал Мартин Хэйрер, обладатель медали Филдса, работа которого связана со случайными процессами.
Если лобовая атака на проблему вряд ли увенчается успехом, можно попробовать зайти с фланга. К примеру, можно показать, что если бы мы рассмотрели все объекты определённого типа, и затем выбрали один из них случайным образом, то существует ненулевой шанс выбрать объект с нужным свойствам. Такой «вероятностный метод» первым применил математик Пал Эрдёш.
Случайность также можно использовать для поиска решений неслучайных задач. Так было сделано в недавнем доказательстве, касающемся шахматных закономерностей на решётке. Исследователи заинтересовались процессом под названием просачивание, когда вам нужно понять, при каких условиях можно пройти по точкам только одного цвета с одной части решётки до другой.
Рисуя такую закономерность по детерминистским правилам – по чётко определённым линиям правильной решётки – каждый следующий шаг на пути будет зависеть от каждого из предыдущих шагов. В случае сложной решётки это требование становится грузом. Это похоже на то, как легко разместить самые первые элементы в игре «Тетрис» – их можно класть куда угодно – но поздние размещать уже сложнее, поскольку им приходится удовлетворять положению всех предыдущих.
А когда ваш путь оказывается случайным, вам уже не нужно беспокоиться о предыдущих шагах. Каждый новый шаг становится в каком-то смысле первым: подкиньте монетку, чтобы решить, куда идти далее.
Математики пытаются использовать этот факт. Существует гипотетическая взаимосвязь, известная под названием уравнение Кардара-Паризи-Жанга (КПЖ), позволяющая математикам превращать результат, полученный на случайной решётке, в результат для детерминистской, и наоборот. «В теории это означает, что вы можете проводить вычисления и там и там», либо со случайной, либо с детерминистской стороны, сказал Оливье Бернарди, математик из Брандейского университета, и соавтор недавней работы. Эта работа соответствует предыдущим результатам (которые гораздо труднее доказать) по поводу просачивания по стандартной решётке, что подтверждает верность уравнения КПЖ.
Если бы математика была проще, математикам, возможно, не приходилось бы прибегать к случайности. Однако на наиболее важные математические вопросы математикам слишком сложно найти ответы. «Это может показаться очевидным, но полезно помнить, что в большинстве случаев при постановке задачи в математике или теоретической физике её невозможно решить»,- сказал Пол Бургад, математик из Нью-Йоркского университета. «У нас просто нет инструментов для её решения». В некоторых из этих ситуаций случайность упрощает ситуацию как раз достаточно для того, чтобы сделать решение возможным.
Источник
