Как Осборн Рейнольдс пришёл к своему числу. Часть 2

20.09.2022

12. Эксперименты с противоположными потоками в трубке.

На рисунке 6 показана стеклянная труба длиной 1.5 метра, диаметром 30.5 мм. Её концы слегка загнуты. Сначала она была наполовину заполнена сероуглеродом, затем заполнена до краёв водой, после чего концы были закупорены. Сероуглерод был выбран, т.к. он прозрачный, слегка тяжелее воды и совершенно не растворим. Чётко видна граница раздела жидкостей. Если труба расположена горизонтально, то сероуглерод из-за своего веса оказывается снизу, и граница проходит по оси трубы. Если же один конец слегка приподнять, то вода потечёт к нему, а сероуглерод – к противоположному концу. Получаем противоположные потоки в верхней и нижней половинах трубы. При этом уровень границы раздела в середине трубы не изменяется.

Целью этого исследования было установить, существует ли критическая скорость, при которой на границе раздела появляются волны или завихрения. Надо сказать, эксперимент получился очень красивый, и полностью ответил на этот вопрос.

Если быстро поднять один конец, то противоположные скорости жидкостей оказываются максимальны в середине трубы. Их значения определяются наклоном трубы. При небольшом наклоне волны или вихри не наблюдались. При некоторой величине наклона появлялись волны (почти стационарные), очень похожие на ветровые. Сначала они были очень маленькими и имели одинаковую длину, сравнимую с диаметром трубы.

С увеличением наклона волны сохраняли длину, но увеличивали амплитуду. При достаточно большом наклоне они стали завихряться и распадаться, при этом жидкости перемешивались, образую упорядоченные вихри.

По какой-то причине между водой и сероуглеродом медленно образовывалась плёнка, которая вела себя как масляная плёнка на воде. Вышеизложенные результаты получены, когда её ещё не было. Когда она появилась, волны пропали. Вместо них граница была возмущена так, будто над и под ней находились неупорядоченные вихри, совсем как масляная поверхность воды.

В этом эксперименте скорости жидкостей не измерялись; очевидно, однако, что критическая скорость, при которой появлялись волны, была во много раз меньше, чем при течении в одну сторону в трубе того же размера. Также критическая скорость практически не зависела от возмущений в жидкостях. Таким образом, этот эксперимент показал, что:

Для противоположных потоков существует критическая скорость, при которой течение становится нестабильным.
Нестабильность развивается постепенно и не зависит от величины возмущений. Другими словами, для этого класса течений ответ на вопрос 6 – положительный.

Таким образом, причины неустойчивости для одностороннего и противоположных потоков несколько отличаются.

13. Продолжение исследования уравнений движения.

Получив эти данные, я попытался объяснить их с помощью уравнений движения. Я видел только один способ объяснить неустойчивость – предположить, что наиболее общий случай это неустойчивость невязкой жидкости. Я нашёл метод интегрирования уравнений движения применительно к невязкой жидкости. Чтобы установить, устойчиво ли какое-либо конкретное течение к малым возмущениям, я проинтегрировал их для случая параллельного потока. Сразу получилось, что течение в одну сторону устойчиво, а противоположные потоки неустойчивы. Это было не то, что я искал. Я потратил много времени, пытаясь найти выход из этой ситуации. Возможно, дело было в моём методе интегрирования.

В какой-то момент я обнаружил, что когда я ещё занимался вязкой жидкостью, я не до конца учитывал граничные условия, которые получаются из трения между жидкостью и твёрдой границей. Поэтому в конце 1882-го года я перестал заниматься невязкой жидкостью, и вернулся к вязкой. Я попробовал применить этот метод интегрирования к ней.

Получилось, что, хотя вязкость стремится сделать прямое или стационарное течение устойчивым, если учесть граничное условие, которое получается из трения на твёрдой поверхности, то течение становится неустойчивым, причём независимо от вязкости. Не погружаясь в математику, отметим лишь, что интегрирование показало, что эта неустойчивость определяется тем же соотношением $U \sim \mu\rho/$ , которое было получено ранее.

Это объясняло все экспериментальные парадоксы, в том числе отсутствие вихрей под чистой поверхностью воды при наличии ветра. В этом случае поверхность свободна, поэтому граничное условие отсутствует. Если же есть масляная плёнка, то благодаря её сдвиговой жёсткости граничное условие включается. Одно это казалось достаточным подтверждением теоретического результата.

Также получило объяснение то, что в эксперименте с цветными полосами вихри появлялись внезапно, и то, что возмущения уменьшают критическую скорость. Если само течение устойчиво, то неустойчивость определяется только влиянием границы, но как только появляются вихри, устойчивость пропадает.

Таким образом, значение экспериментальных результатов было уточнено; связь между четырьмя основными свойствами и условиями, которые их определяют, присутствует для течений воды в параллельном канале.

Но так как в случае одностороннего движения критическая скорость не зависит от причины неустойчивости, то должна существовать другая критическая скорость, при которой ранее существовавшие вихри погибают, и ниже по потоку течение в трубе становится устойчивым. Этот вывод получил подтверждение.

14. Результаты экспериментов по сопротивлению трубок.

Проверить, существует ли вышеупомянутая критическая скорость, можно только следующим образом. На входе в трубку вода должна быть сильно возмущена, и на достаточном расстоянии ниже по потоку вихри должны погибнуть.

Метод цветных полосок здесь неприменим. Вместо этого был исследован закон сопротивления, в соответствии с вопросами 1 и 2 в разделе 8. Результаты получились очень убедительные.

Использовались свинцовые трубки № 4 и 5, каждая длиной 4.88 метра и диаметром 6.35 и 12.7 мм соответственно. До первого замерного отверстия вода протекала расстояние много больше 3-х метров, а второе отверстие находилось ещё через 1.5 метра. Результаты получились очень красноречивые, как видно на рисунке 8 или более подробно на диаграмме 1 в разделе 35.

При небольших скоростях давление пропорционально скорости. Скорости, при которых этот закон нарушается, обратно пропорциональны диаметрам трубок.
До этих критических скоростей расход через трубки согласуется с законом Пуазейля для капилляров.
При превышении критической скорости связь между скоростью и давлением имеет сложный характер.
Самое интересное, что не только при критической скорости, а во всём диапазоне законы сопротивления зависят от скоростей с коэффициентом пропорциональности $\mu/\rho c$ .

Чтобы показать последний результат нагляднее, приведём данные в логарифмическом виде, как в моей работе по тепловой транспирации. Пусть – это сопротивление на единицу длины, выраженное в весе водяных кубиков, а – скорость. По абсциссе отложим , по ординате – .

В таком представлении каждой трубке соответствует своя кривая. Как видно на рисунке 9, все эти кривые имеют одинаковую форму и отличаются только положением.

Трубка	Материал	Диаметр, м
№ 4	Свинец	0.00615
№ 5	Свинец	0.0127
A	Стекло	0.0496
B	Чугун	0.188
C	Чугун	0.5
D	Лак	0.196

Любую кривую можно сдвигом совместить с другой кривой. Горизонтальные расстояния между кривыми это разница логарифмов $D^3/\mu^2$ , а вертикальные – разница логарифмов $D/\mu$ . Эксперименты проводились при номинально одной и той же температуре, но она слегка менялась, так что видно влияние изменения $\mu$ .

15. Сравнение с экспериментами Дарси.

Убедительность этих результатов, и то, что они согласуются с законом Пуазейля, а также новая форма закона сопротивления, которая чётко прослеживается при превышении критической скорости – всё это заставило меня сравнить их с известными экспериментами Дарси в трубках диаметром 0.014–0.5 м.

Я не использовал эмпирические законы, которые Дарси вывел из своих результатов. У меня были логарифмические графики, построенные по его опубликованным данным. Если мой закон универсальный, то, как и мои, его кривые, должны были совпасть, если каждую сдвинуть горизонтально на и вертикально на .

При расчёте этих величин было несколько нюансов. Сечения трубок Дарси изменялись до 20% на длине между замерными отверстиями, а также температура была приведена не точно. Поэтому точного совпадения ожидать не приходилось. Скорее нужно было искать отсутствие систематического расхождения. После сдвига кривых получилось хорошее согласование. Систематическое расхождение было лишь в наклоне верхних участков кривых. В обеих моих трубках он был 1.722 к 1; в трубках Дарси, в зависимости от материала, он менялся от моего значения для свинца до 1.92 к 1 для чугуна.

Это означает, что свойства поверхности трубки влияют на закон сопротивления, если скорость выше критической.

16. Критические скорости.

Во всех экспериментах получилось, что критическая скорость и критический перепад давления в метрах и градусах Цельсия. Далее мы увидим, что это значение гораздо меньше (в 43.7/278 раз), чем критическая скорость разрушения устойчивого движения.

17. Общий закон сопротивления.

Все логарифмические кривые состоят из двух прямых участков. Нижний участок наклонён под 45°, а верхний как n по горизонтали к 1 по вертикали. Также есть маленький участок, когда скорость чуть выше критической, который мы не рассматриваем. Если продлить участки до их пересечения, они пересекаются в точке с давлением, несколько меньшим критического. Если исключить небольшой участок кривой выше этой точки, далее можно считать, что работает верхний участок. Тогда получается следующий закон сопротивления для всех трубок и скоростей $AD^3i/\theta^2=(BDv/\theta)^n$ где n=1, если один из членов меньше 1, или принимает значение наклона n к 1 для данной поверхности трубки.

В метрах и градусах Цельсия: $P =(1+0.0336T+0.000221T^2)^{-1}$ .

Таким образом, за исключением области непосредственно выше критической скорости, это уравнение описывает закон сопротивления трубок Пуазейля, данной работы и Дарси в диапазоне диаметров от 0.000013 (Пуазейль, 1845) до 0.5 м (Дарси, 1857) и скоростей от 0.0026 до 7 м/с (1883).

Эта формула показывает, что эксперименты полностью подтверждают теоретические выводы.

A, B, P и n – эмпирические константы. Первые три зависят только от размерных параметров жидкости, то есть вязкости. Последняя должна определяться свойствами поверхности канала.

Эксперименты обязаны своим успехом стараниям и высокой квалификации мистера Фостера из колледжа Оуэнса, который построил установку и помогал мне в их проведении.

Продолжение следует.

Источник