Геометрическое представление кривизны пространства в метрике Шварцшильда

25.09.2020

… или два плюс два равно четыре.

Для понимания статьи достаточно школьного курса математики.

Форма множителя в метрике Шварцшильда давно не давала мне покоя своей изысканной двуличностью, и я решил уделить некоторое время изысканиям возможностей её преобразования. Сама метрика Шварцшильда получается в результате решения ОТО для вакуумного случая (тензор энергии-импульса равен нулю):

$ds^2 = - left(1- 2 frac{GM}{c^2 r}right) c^2 dt^2 + left(1- 2 frac{GM}{c^2 r}right)^{-1} dr^2 + r^2 cdot dtheta^2 + r^2 cdot sin^2theta cdot dphi^2$

Она описывает пространственно-временной континуум в окрестностях произвольного компактного массивного объекта. Компактного, значит, девиации формы незначительны в отношении к массе. Проще говоря, круглый и плотный. Обычно здесь приводят в пример чёрную дыру. Никто почему-то не приводит примеров некомпактных объектов. Герметичная палка из пенопласта в открытом космосе на бесконечном удалении от массивных объектов, например, некомпактный объект. Кубический конь на расстоянии, с которого можно разглядеть печаль в его глазах — тоже.

Через объём 3-сферы

Произведём замену:

$M=frac{E}{c^2}$

Тогда метрика станет такой:

$$$display$$ds^2 = – left(1- 2 frac{GE}{c^color{red}{4} r}right) c^2 dt^2 + left(1- 2 frac{GE}{c^color{red}{4} r}right)^{-1} dr^2 + r^2 cdot dtheta^2 + r^2 cdot sin^2theta cdot dphi^2$$display$$$

Замена была нужна только для того, чтобы обратить внимание на четвёртую степень у скорости света, потому что все циферки в формулах имеют значение. Об этом говорит вся история физики — любая эмпирически полученная формула со временем получает теоретическое основание, объясняющее значения всех математических форм, которые в ней содеражатся.
Обычно в представлении этой метрики часть, связанную с физическими константами и массой тела, создающего поле, выражают через радиус Шварцшильда:

$r_s = 2 cdot frac{GE}{c^4}$

потому что метрика имеет особенность в этой точке. Здесь время, буквально, останавливается.
Вот так, в таком случае, выглядит вся метрика:

$ds^2 = - left(1- frac{r_s}{ r}right) c^2 dt^2 + left(1- frac{r_s}{r}right)^{-1} dr^2 + r^2 cdot dtheta^2 + r^2 cdot sin^2theta cdot dphi^2$

Но в продолжение рассуждений о физической сути явлений эта двойка:

$r_s = color{red}{2} cdot frac{GE}{c^4}$

тоже должна быть осмыслена. Поэтому представим так:

$u = frac{GE}{c^4}$

Это просто половина гравитационного радиуса $inline$ , и размерность у него такая же. Получим:

$1 - 2frac{GE}{c^4r} = 1 - 2frac{u}{r}$

Напрашивается:

$= left( 1 - 2frac{u}{r} + frac{u^2}{r^2} right) - frac{u^2}{r^2} = left( 1 - frac{u}{r} right)^2 - frac{u^2}{r^2} = left( frac{r - u}{r} right)^2 - frac{u^2}{r^2} =$

$= frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} qquad qquad (1)$

Уже неплохо. Зарисуем. Представим $inline$ конечным отрезком, $inline$ — его частью, как показано на рисунке ниже. Очевидно, что $inline$ .

Любопытно, кстати, что из $inline$ следует, что точка $inline$ находится за (под) горизонтом событий объекта энергии $inline$ . Вот так легко она находится, а мы не можем.
Теперь покажем, что отношение вида $inline$ будет выполняться для всех точек, имеющих геометрическое место на перпендикуляре к $inline$ в точке $inline$ :

$frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = frac{b^2 - d^2}{r^2} qquad qquad (2)$

для любых $inline$ и $inline$ .
Говоря проще, разность квадратов $inline$ эквивалентна разности любых величин, проекциями которых на $inline$ являются $inline$ и $inline$ соответственно, при условии, что точка $inline$ у них общая.
Дальше предположим, что $inline$ и $inline$ , наоборот, проекции $inline$ на какие-то оси, то есть пифагорова сумма двух величин, в исходном виде перпендикулярных друг другу. Переводя это в требование, рассмотрим случай $inline$ , для которого верно:

$b^2 = r^2 - d^2 rightarrow (2) rightarrow frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2frac{d^2}{r^2} qquad qquad (3)$

Доработаем $inline$ аналогично начальной итерации:

$1 - 2frac{d^2}{r^2} = left( 1 - 2frac{d^2}{r^2} + frac{d^4}{r^4} right) - frac{d^4}{r^4} = frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$

$= frac{b^4 - d^4}{sqrt{b^2 + d^2}^4} = frac{b^4 - d^4}{r^4}qquad qquad (4)$

Вот и четвёртая степень. Формула объёма 3-сферы:

$V = frac{pi^2 cdot R^4}{2}$

Это я к тому, что если домножить и разделить $inline$ на $inline$ :

$frac{b^4 - d^4}{r^4} = frac{pi^2}{2} cdot frac{2}{pi^2} cdot frac{b^4 - d^4}{r^4} = frac{V_b - V_d}{V_r} qquad qquad (5)$

то множитель в метрике Шварцшильда превращается в разность объёмов двух 3-сфер, построенных вокруг двух радиальных проекций точки относительно центра поля, соотнесённой к объёму 3-сферы, образуемой полным расстоянием между точкой и центром поля.
С учётом того, что полный радиус задаётся проекциями, всю эту конструкцию весьма лаконично задают два параметра, один из которых связан с энергией, а второй — нет. Там точно две координаты.

Выводы

Замечательными следствиями такого представления являются:
1. Из формы множителя видно, что поведение фотона ограничивает видимую зону пятимерного пространства-времени. За её пределами можно спрятать нечто гравитирующее, но невидимое.
2. Наличие второй спрятанной координаты избавляет от парадокса нулевого времени.
3. Раз кривизна пространства вокруг массивного тела может быть всегда разложена на две компоненты, одна из которых связана с энергией тела, а вторая исключительно с пространством, то следующим шагом надо решить уравнения ОТО для вакуумного случая пятимерного пространства-времени. Об этом в следующей статье.

Бонус. Через угол

Очевидно, что можно выразить значимость поля в точке через плоский угол, выражающий отклонение траектории движения от плоского пространства (в отсутствие гравитационных полей).
Выразим величины $inline$ и $inline$ через угол $inline$ : $inline$ . Назовём его угол кривизны траектории. Тогда множитель можно выразить очень по-разному: