В середине XIX века Бернхард Риман заложил основы нового взгляда на математические пространства, изменив ход геометрии и физики.
Когда мы гуляем по ровной местности, нам трудно осознать, что обитаем на шарообразной планете: её радиус столь велик, что из нашего узкого ракурса поверхность кажется идеально плоской.
Подобные «иллюзии плоскости» встречаются в разных формах — настолько, что их обитатели воспринимают окружение как обычное плоское пространство, хотя в целом оно может обладать сложной структурой. Математики называют такие объекты многообразиями. В середине XIX века Риман впервые формализовал понятие многообразия, превратив представление о пространстве из фона для других объектов в самостоятельную тему исследования.
Это открытие дало учёным инструмент для изучения пространств с любым числом измерений и положило начало современной топологии — науки о свойствах геометрических объектов, сохраняющихся при непрерывных деформациях. Сегодня теория многообразий пронизывает геометрию, динамические системы, анализ данных и физику.
Многообразия стали для математики тем же, чем алфавит для языка: базовым словарём, без которого невозможно разобраться ни в простейшем, ни в самом сложном. «Знание кириллицы не равняется знанию русского языка, но без неё русский изучить невозможно», — образно поясняет Fabrizio Bianchi из Университета Пизы.
Итак, что же представляют собой многообразия и почему они так важны?
От Евклида к Риману
Веками геометрия опиралась на евклидово пространство — привычную «плоскую» модель, где любая прямая между двумя точками наименьшая, а сумма углов треугольника равна 180 градусам. До начала XIX века «пространством» считали именно эту физическую плоскость или трёхмерный антураж реальности.
Однако в начале XIX века математики обратились к «изогнутым» пространствам, подобным сфере или седлу, где привычные аксиомы больше не работали: прямые могли пересекаться, а углы треугольника — складываться не по правилам евклида. Работы над этими вопросами шли непросто, так как новой парадигмы не хватало ясности.
Решающий шаг сделал Риман. Изначально планировавший посвятить себя богословию, он увлёкся математикой и в 1849 году, под руководством Карла Гаусса, защитил диссертацию, в которой обобщил геометрию поверхностей на произвольное число измерений и даже допустил бесконечное число коэффициентов кривизны.
Лекция 1854 года
Чтобы стать приват-доцентом в Гёттингене, Риман 10 июня 1854 года представил доклад «Основы геометрии», где изложил теорию многообразий. Гаусс был восхищён, но многие современники посчитали эти идеи излишне абстрактными. Публикация лекции увидела свет лишь в 1868 году, через два года после смерти автора.
К концу XIX века значение трудов Римана признали Анри Пуанкаре и другие учёные. А в 1915 году Эйнштейн использовал риманову геометрию в общей теории относительности, сделав её инструментом описания кривизны пространства-времени.
Понятие многообразия
Слово «многообразие» (нем. Mannigfaltigkeit) означает «множественность», «разнообразие». Интуитивно многообразие — это пространство, локально напоминающее обычное евклидово. Например, окружность — одномерное многообразие: при масштабировании любого участка она выглядит как прямая. Но в точке самопересечения «восьмёрки» локально получить прямую не получится, значит, «восьмёрка» многообразием не является.
Многообразия избавляют от неоднозначностей, связанных с внешним пространством: они изучают только внутреннюю геометрию. Разбивая сложный объект на перекрывающиеся «карты» (участки, у которых есть свои координаты), учёные получают «атлас», позволяющий сводить задачи к вычислениям в привычном евклидовом пространстве.
Так можно рассчитывать площади и объёмы, описывать движение или анализировать глобальные свойства многообразия, объединяя результаты по всем картам в атласе.
Применения сегодня
В общей теории относительности Эйнштейн трактовал пространство-время как четырёхмерное многообразие, а гравитацию — как кривизну этой структуры. Трёхмерное пространство, в котором мы живём, также локально похоже на плоскость, хотя глобальное устройство Вселенной остаётся предметом исследований.
Практически любое физическое явление можно описать геометрически. «Большая часть физики — это геометрия», — отмечает Джонатан Сорс из Принстона. Например, конфигурационный поток двойного маятника укладывается на тор (кольцо), и его поведение изучается как траектории на этом многообразии.
В математике решения сложных уравнений часто рассматривают как многообразия, а в анализе данных нейронную активность или любые большие наборы точек пытаются реконструировать с помощью многообразий более низкого измерения.
Использование многообразий стало настолько фундаментальным, что можно сказать: спросить «зачем они нужны?» всё равно что спрашивать «зачем нужны числа».
