Жара стояла невыносимая, солнце безжалостно сжигало пыльную деревенскую дорогу. Люди не могли думать ни о чём, кроме спасительной тени или живительной прохлады расположенной неподалёку реки. Среди бредущих по дороге изнурённых жарой путников выделялся один худощавый человек на велосипеде — сельский учитель, который, казалось, не замечал ни зноя, ни удушающей пыли. Он неторопливо крутил педали, а лицо его выражало радость и целеустремлённость. Да и какое ему было дело до всех невзгод, когда он размышлял о числах, о строгом и идеальном мире математики. В тот день его разум занимало только одно число — 6174…
Ненадолго оставим нашего героя и поговорим про это самое число. Что же в нём такого особенного? Казалось бы, обычное натуральное чётное четырёхзначное число. Не лучше и не хуже, чем, скажем, соседние 6173 и 6175. Оно даже не является простым. Тем не менее, это число имеет своё собственное название — постоянная Капрекара.
Далеко не у всех чисел есть свои собственные названия — математики их просто так не раздают. Тем более, с приставкой «постоянная». Интересно, сколько вы навскидку сможете назвать математических постоянных не заглядывая в справочники?
Давайте разбираться, чем же число 6174 заслужило такую честь. Для этого мы займёмся некоторыми несложными вычислениями.
Невидимая стена
Для начала возьмём любое четырёхзначное число, которое больше 1000 и меньше 9999. Главное условие — нельзя, чтобы все цифры в числе были одинаковыми. Например, 5555 не подходит. А ещё оно должно быть в десятичной системе счисления.
Проделаем с числом следующие действия:
-
Расставим все цифры в числе по убыванию — от наибольшей к наименьшей.
Например, 5707 преобразуем в 7750. Так мы получим новое число A. -
Теперь сделаем наоборот: расставим все цифры в числе по возрастанию — от наименьшей к наибольшей.
Например, 5707 преобразуем в 0577 или просто 577. Так мы получим новое число B. -
Вычитаем из числа A число B.
В нашем примере: 7750 − 577 = 7173. -
Повторяем все шаги с полученным результатом вычитания.
На первый взгляд может показаться, что можно просто бесконечно повторять эти действия. Так себе задачка, ну разве что, потренируемся в устном счёте. Но не тут-то было! Довольно быстро мы получим число 6174, а дальше внезапно упрёмся в невидимую стену. Ведь разность 7641 и 1467 будет равна тому же самому заколдованному числу 6174.
Вы спросите, неужели всегда? В том-то и дело, что всегда!
Например, возьмём исходное число 3871.
-
8731 − 1378 = 7353
-
7533 − 3357 = 4176
-
7641 − 1467 = 6174
На третьем шаге мы уже получили 6174. Количество шагов для разных чисел будет разным, но результат будет неизменным. Долго считать не придётся — вам потребуется сделать не более 7 итераций (например, для числа 6810).
Если не хочется считать самостоятельно, то при желании всегда можно написать несложную программу. Или просто взять готовую из огромного количества вариантов на разных языках программирования.
Сколько бы мы не запускали программу, мы неизменно будем получать результат 6174. Эту удивительную закономерность в 1949 году обнаружил тот самый человек на велосипеде из начала нашей статьи — индийский математик Даттарая Рамчандра Капрекар, в честь которого число 6174 и получило своё название.
Число радости
Здесь есть ещё один очень интересный момент — 6174 также является одним из так называемых чисел харшад. С санскрита это переводится как «числа великой радости». Так Капрекар назвал числа, которые делятся на сумму своих цифр без остатка.
6174 / (6 + 1 + 7 + 4) = 6174 / 18 = 343
Все числа от 1 до 10 по определению являются числами радости. Дальше они встречаются реже: 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, …
Сам Капрекар всю свою жизнь проработал скромным учителем в государственной начальной школе. Математика была его страстью, волшебным источником радости и смысла жизни. Он много публиковался, писал на такие темы, как повторяющиеся десятичные дроби, магические квадраты и целые числа со специальными свойствами. В Индии Даттара Капрекар был известен как популяризатор математики и теории чисел.
Поначалу индийские математики относились к Капрекару скептически, за пределами своей страны он вообще не был известен. В 1975 году Мартин Гарднер написал заметку об этом скромном индийце в колонке «Математические игры» в Scientific American Today. С тех пор имя Капрекара получило мировую известность. Современные математики продолжают изучение свойств чисел, которые впервые обнаружил простой учитель из Индии.
Неподвижные точки
Теперь давайте вернёмся к загадочной постоянной 6174 и попробуем выйти за границы четырёх цифр. Как там обстоят дела с числами, у которых другое количество разрядов?
Оказывается, что у постоянной Капрекара существуют аналоги. Их называют «неподвижными точками». Для трёхзначных есть своя «стена», на которой размашисто начертано число 495. С шестизначными числами сложнее — для них есть две неподвижные точки: 549 945 и 631 764.
А вот для двузначных, пятизначных и семизначных чисел неподвижной точки не существует. В большинстве случаев мы в своих вычислениях рано или поздно начнём бесконечно ходить по кругу, не останавливаясь на каком-то одном числе. Глухая стена превращается в замкнутый лабиринт, из которого нет выхода.
Можно продолжить поиски и для чисел с бо́льшим количеством разрядов. Мы получим такой результат:
-
8 разрядов — 63 317 664 и 97 508 421;
-
9 разрядов — 554 999 445 и 864 197 532;
-
10 разрядов — 6 333 176 664, 9 753 086 421 и 9 975 084 201;
Кстати, возможно, вы обратили внимание на то, что первые числа для 8 и 10 разрядов подозрительно похожи? Это так называемая универсальная неподвижная точка — число вида 6[3]17[6]4. В квадратных скобках может быть любое количество троек и шестёрок, но важно, чтобы это количество было одинаковым. Например: 6[333]17[666]4. Проверим: 7666643331 − 1333466667 = 6333176664. Но, конечно, далеко не каждую неподвижную точку можно записать в таком виде.
Вопрос вопросов
Так в чём же фокус? Почему вообще существуют неподвижные точки постоянных Капрекара, к которым результаты наших вычислений стекают как масло к горлышку воронки? Почему они есть не для всех разрядностей? Можно ли найти в них какую-то закономерность? Есть ли какая-то зависимость количества неподвижных точек от числа разрядов?
Может показаться, что все эти вычисления не имеют никакой практической пользы. Но математика тем и интересна, что время от времени порождает революционные идеи из, казалось бы, совершенно бесполезных выкладок. Ну кто в прошлом веке мог предположить, что простые числа так преобразят нашу повседневную жизнь? В математике нет ничего неважного.
Возможно, всё это просто очередной забавный математический трюк, повод поразвлечься вычислениями на досуге. Но что если постоянная Капрекара — ключ к чему-то большему?
