Родился 10 сентября 1977 года в Москве. Отец работал инженером-механиком в Московском институте теплотехники, отец умер, когда Алексею исполнилось 20 лет. Мать — Татьяна Борисовна Власова — работала редактором в издательстве «Наука», скончалась от коронавируса 5 января 2021 года.
В школьные годы занимался водным поло. Играл в театре-студии Вячеслава Спесивцева
Поступил в РАТИ (ГИТИС) и уже на первом курсе получил приглашение от Глеба Панфилова принять участие в картине «Романовы. Венценосная семья». Из института Панина выгоняли три раза, а затем он ушёл сам, не окончив его.
8 февраля 2013 года в программе «Человек-невидимка» на канале ТВ3 совершил каминг-аут как бисексуал.
Иммигрировал в Испанию в 2020 году, купил квартиру в городе Торревьехе на берегу Средиземного моря.
В мае 2023 года Следственный комитет завёл на Панина уголовное дело по части 2 статьи 205.2 УК РФ — «Публичное оправдание терроризма». Актёру грозит до 5 лет лишения свободы.
В ночь на 5 сентября 2023 года Алексей Панин был задержан в Эстонии и отправлен в вытрезвитель за пьяный дебош.
