Спустя более трёхсот лет разгадана геометрическая задача королевского пари
Правильные многогранники – тетраэдр, куб, додекаэдр и икосаэдр – умеют проходить через аналогичные себе копии.
Представьте два идентичных куба. Допустимо ли просверлить в одном такой канал, чтобы протащить через него второй?
Интуиция подсказывает: «Невозможно!» И это мнение оказалось распространённым. В конце XVII века неизвестный заключил пари с принцем Рупертом Рейнским (племянником Карла I), предложив решить этот вопрос. После военных подвигов Руперт посвятил себя металлургии и стеклоделию в своей лаборатории в Виндзорском замке.
Руперт выиграл пари. Хотя Джон Уоллис в 1693 году не уточнил, представил ли принц математическое доказательство или проверил идею на реальном образце, сам Уоллис показал: если просверлить туннель вдоль внутренней диагонали куба, его можно сделать достаточно широким для второго куба. При этом запас пространства будет минимальным: стоит увеличить проходящий куб всего на 4 %, и он уже не пролезет.
Естественно, математики заинтересовались, существуют ли другие многогранники с подобным свойством. «Эта задача стала классической», – отмечает программист Google Том Мёрфи, посвятивший ей немало времени. По его словам, даже инопланетяне рано или поздно пришли бы к такому же вопросу.
Многогранников с выпуклыми гранями невероятно много, поэтому внимание сосредоточили на них – фигурах без выступов и впадин. Если одна грань значительно шире другой, обычно легко найти прямой туннель. Но высокосимметричные тела, такие как додекаэдр или усечённый икосаэдр (футбольный мяч), сложнее анализировать. «На протяжении столетий уверенность была лишь в случае куба», – признаётся Якоб Штайнингер из Statistics Austria.
Только в 1968 году Кристоф Скриба математически доказал, что тетраэдр и октаэдр тоже обладают «свойством Руперта». А за последние десять лет благодаря усилиям профессионалов и энтузиастов туннели нашли для множества классических форм – додекаэдра, икосаэдра, «футбольного мяча» и других.
«Свойство казалось повсеместным, – говорит Штайнингер. – Ни одного исключения не находили». Однако недавние исследования опровергли это предположение.
В августе этого года Штайнингер и Сергей Юркевич из A&R Tech представили форму с 90 вершинами и 152 гранями – нопертедрон. Название происходит от игривого «no-Руперт». Учёные показали: ни один прямой туннель через нопертедрон не сможет пропустить вторую его копию.
Доказательство сочетает глубокую теорию и массивные вычисления, опираясь на особые свойства вершин нопертедрона. «Это настоящее чудо, что всё сошлось», – говорит Штайнингер.
Проекция и тень
Чтобы понять принцип, представьте, что куб стоит на столе при верхнем освещении: его тень – квадрат. Но если направить один угол вверх, тень превратится в правильный шестиугольник.
Уоллис показал, что квадрат помещается в шестигранник с небольшим запасом – именно это и даёт «кубический» туннель. Через столетие Питер Нюланд нашёл ориентацию, при которой туннель может пропустить куб, на 6 % больший исходного.
Все последующие исследования основывались на вращении многогранника и сравнении теней. С помощью компьютеров математики находили туннели для самых разных форм, порой настолько узкие, что запас едва достигает 0,000002 от характерного размера фигуры. «Сочетание дискретной геометрии и вычислительных мощностей открыло новые горизонты», – отмечает Джозеф О’Рурк из колледжа Смит.
Алгоритмы работы с туннелями обычно либо сразу находили проход, либо не находили его вовсе. За последние годы сформировалась коллекция «упрямых» тел – кандидатов в настоящие ноперты.
«Я неделю не спал, пока пытался найти туннель в ромбикосидодекаэдре», – рассказывает Бенджамин Гриммер из Университета Джона Хопкинса о фигуре с 62 гранями. «Оно упорно не пускало меня».
Но даже самые мощные компьютеры проверяют лишь конечный набор ориентаций. Поэтому до августа никто не мог твердо сказать: трудно найти туннель или он просто не существует.
Том Мёрфи сконструировал сотни миллионов фигур – от случайных многогранников до моделей с намеренно смещёнными вершинами. Его алгоритм быстро находил туннели для подавляющего большинства.
Контраст между этим и упорством «упрямых» форм наводил на мысль: некоторые тела действительно лишены «свойства Руперта». Но формального доказательства не было до августа.
Никого не пустить
Штайнингер (30 лет) и Юркевич (29 лет) дружат с подросткового возраста – вместе участвовали в математических олимпиадах. Оба покинули академию (Юркевич после PhD, Штайнингер после магистратуры), но не отказались от исследований.
«Только что ели пиццу и говорили про математику», – рассказывает Штайнингер. «Это наше хобби и образ жизни».
Учёные создали алгоритм, который разбивает пространство ориентаций на миллионы крошечных блоков и проверяет центр каждого на наличие туннеля Руперта. Затем они применили «глобальную» и «локальную» теоремы, чтобы отсеять сразу большие области параметров.
Штайнингер и Юркевич отсеивали блоки ориентаций, где туннель Руперта невозможен.
Локальная теорема оперирует трёхвершинными треугольниками на границе тени: любая небольшая переориентация «выдавит» хотя бы одну вершину наружу, блокируя туннель. Глобальная теорема оценивает, насколько вторая тень выходит за первую, позволяя исключать целые массивы ориентаций одновременно.
Таким образом они проверили около 18 миллионов блоков – ни один не дал прохода. А поскольку каждый блок подпадает под действие одной из теорем, туннель Руперта через нопертедрон невозможен.
«Наше естественное предположение оказалось ошибочным», – констатирует О’Рурк.
Впереди – поиск других нопертов и разработка новых теорем для «упрямых» форм вроде ромбикосидодекаэдра. «Теперь у нас есть надёжный инструментарий для подтверждения или опровержения», – уверен Мёрфи.
Как и принц Руперт, современные исследователи очарованы этой задачей: «Мне нравится, что он посвятил свои последние годы науке в своём замке», – говорит Мёрфи.
А Штайнингер и Юркевич уже ищут новые вызовы: «Мы просто увлечённые математики и не остановимся на достигнутом», – заключает Штайнингер.
