Императору Сарлака Гранту Сциентикусу III было скучно. Очень скучно. Обычно, когда он чувствовал скуку, он играл в камни (довольно простая, но хитрая игра, похожая одновременно на наши шашки, реверси и Го). Однако сегодня никто из философов, обычно игравших с ним, не пришёл. Он сидел понурившись, и разглядывал одну из позиций.
Внутренний экспериментатор Гранта решил сосчитать число возможных позиций. Давайте покинем его на этом месте, и займемся своим собственным подсчетом.
По правилам разрешается иметь до 3 камней на одной клетке. Всего камней 6 (по 3 у каждого игрока). Мы не станем считать число всех возможных позиций. Куда как интереснее посчитать, сколькими способами можно выложить позицию. Но, для начала, посмотрите на рисунок.
Для простоты мы пока рассматриваем лишь одну клетку. Указанную выше позицию можно получить, например, вот такими тремя способами, отличающимися тем, какие именно камни мы выкладывали на доску:
 
 
Мы условно раскрасили камни, чтобы можно было отличить их друг от друга. Очевидно, способов намного больше трёх. Но сколько именно? Первый из трёх камней мы можем выбрать шестью способами. Каждый из этих шести вариантов продолжается выбором второго камня из оставшихся пяти, и последнего из оставшихся четырех. Имеем , однако при этом мы допустили повторы, например, красный-синий-желтый, желтый-красный-синий и синий-красный-желтый это одна и та же «выкладка».
Чтобы найти число повторов, найдём сколькими способами мы можем выложить на доску три камня одного цвета. Первым может быть любой из трех нужных камней, вторым должен быть один из оставшихся двух, третьим обязательно будет последний нужный нам камень: .
В итоге, имеем 120/6=20 способов выложить камни требуемым образом. Давайте назовем это число весом данной позиции. Ничего общего с физическим весом оно, конечно же, не имеет, просто это название является общепринятым в статистике.
Усложним задачу. Давайте посчитаем веса вот этих позиций:
 
 
Если вам лень разбираться во всей этой математике, пропустите следующий абзац.
Первая позиция:
- Выкладываем 2 камня на одну из двух левых клеток:
- На вторую клетку выкладываем два камня из оставшихся 4:
- Итого имеем способов.
Для второй и третьей имеем соответственно и . Деление во всех случаях выполняется для того, чтобы избавиться от повторов.
Итак, имеем следующие веса: 90 для первой раскладки, 180 для второй и 360 для третьей. Вы заметили, что чем более упорядочена позиция, тем меньше её вес? Его величество Грант это заметил. И теперь он собирается посчитать вес для реальных игровых позиций.
 
 
У него получается, соответственно 90, 360 и 720. Однако тут его терпение кончается (как, наверное, и ваше). Он расстроенно толкает доску, беспорядочно разметав камни и замечает стоящего у дверей философа Клофзюса.
— А скажи-ка мне, философ, — спрашивает он с нотками недовольства, — почему, когда я толкаю доску, камни разлетаются по ней беспорядочно, равномерно, а не укладываются с краю по три в клетке?
Клофзюс, в ответ на это улыбнулся и сказал:
— Я некоторое время наблюдал за вашими подсчётами, повелитель, и вы, наверно могли бы уже и сами ответить на этот вопрос. Но я всё же скажу — упорядочиться с края доски камни могут девяносто разными способами, а рассеяться по всем клеткам — семьсот двадцатью. Для камней существует намного больше способов быть разбросанными по доске равномерно, чем собранными с краю.
Пожалуй, тут мы покинем Сарлак. Но обратите внимание на объяснение Клофзюса: камни рассыпаются по доске потому, что для них существуют куда больше способов быть рассыпанными равномерно, чем быть разложенными полностью упорядоченно. И разница между количествами способов (весами раскладок камней) тем больше, чем больше доска и число камней. Для доски в 15 клеток (3 на 5) и 15 камней вес полностью упорядоченной раскладки (по 3 камня в клетке вдоль одного края) равен примерно 1.4 миллионам (1401400 если точно) а для равномерной (по одному в каждой клетке) — примерно 1.3 квадриллионам, то есть почти в миллион раз больше. Следовательно, в данном случае намного легче получить беспорядок, чем получить порядок. Невольно вспоминается такое замечательное утверждение: «Яйца разбиваются на каждом шагу, но никто никогда не видел, чтобы ошмётки разбитого яйца сообрались вместе и стали целым яйцом. А всё потому, что есть только один способ получить целое яйцо и бесконечно много способов получить разбитое.»
Обобщим замеченную нами закономерность:
В любом процессе, который происходит сам по себе, без дополнительного воздействия извне, скорее всего реализуется тот результат, которого можно достичь наибольшим числом способов.
Приглядитесь, это ведь тавтология во всей красе. Если все упростить, то я просто утверждаю, что «то, чему легче произойти, происходит чаще». Однако, это одновременно и один из важнейших физических законов. Многие из вас уже, наверное, поняли, что речь идет о втором начале термодинамики. Давайте посмотрим на одну из его «официальных» формулировок:
Энтропия замкнутой системы не может уменьшаться.
Теперь это меньше похоже на тавтологию, да? Но что же это за умное слово — энтропия?
Давайте представим воздух, заполняющий комнату. Он состоит из огромного количества молекул. Если мы мысленно разделим комнату на ячейки, мы получим трехмерный аналог игры в камни на очень большой доске с огромным количеством камней. Каждая позиция игры в данном случае называется макросостоянием системы. Каждая из раскладок камней, реализующих ту или иную позицию — микросостояние. Возьмем два числа: число всех микросостояний, реализующих данное макросостояние и число всех возможных микросостояний. Если мы поделим первое на второе, мы получим вероятность реализации данного макросостояния.
Определение из книги: энтропией состояния системы называется логарифм вероятности реализации данного состояния.
Переведем на язык, понятный Гранту, — энтропия позиции это логарифм веса данной позиции.
Попробуем сделать это ещё понятнее: чем большим числом способов можно получить позицию, тем больше энтропия.
Теперь мы видим, что книжная формулировка второго начала говорит следующее: от какой-либо позиции сам по себе может происходить только переход к такой позиции, которую можно получить большим чем или таким же числом путей, как и начальную.
Попробуем еще упростить: если мы потрясем доску, мы скорее получим такую позицию, какую легче получить.
Кажется, мы опять пришли к тавтологии. Однако, даже если это и тавтология, второе начало — один из важнейших физических законов. Более того, это единственный закон физики, который говорит нам, что время должно течь в определённом направлении, который делает различия между прошлым и будущим.
Напоследок, давайте посмотрим еще пару формулировок второго начала:
- Постулат Клаузиуса: Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому
- Постулат Томсона: Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счёт охлаждения теплового резервуара.
Как видите, здесь уже нет тавтологии. И ни одна из них не очевидна. Однако, можно показать, что обе эти формулировки полностью равнозначны тавтологическому «наиболее вероятно, что произойдет то, вероятность чего больше». Иногда, для того, чтобы узнать что-то новое, нам нужно сначала осознать что-то очевидное.
В следующей части мы рассмотрим другую «научную тавтологию», которая, на первый взгляд, нарушает второе начало термодинамики.
Источник
