Учёный из МФТИ предложил новую модель, описывающую динамику современных боевых действий с учётом того, что скорость перемещения войск зависит нелинейно от их собственной плотности и плотности противника. Модель, основанная на системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, расширяет классические законы Ланшестера, вводя пространственный компонент и учитывая реалистичные тактические факторы. Для численного решения таких уравнений разработан устойчивый и высокоточный метод, способный воспроизводить образование и развитие «горячих точек» на поле боя. Основные выводы опубликованы в Journal of Applied Mathematics and Physics (перейти к статье).
С момента появления уравнений Ланшестера в начале XX века математика неотделима от военного анализа: простые формулы, связывающие численность армий и их боевую эффективность, заложили основы теории исследования операций. Однако классические модели рассматривают войска как однородные массы без учёта перемещений и распределения по местности. В современных конфликтах, где решающую роль играет манёвренность, концентрация сил на ключевых участках и уклонение от окружения, такой подход теряет актуальность.
Никита Борисов из Школы прикладной математики и информатики МФТИ предложил концепцию, в которой поле боя задаётся двумерной областью, а плотность сил противоборствующих сторон описывается уравнениями реакции-диффузии. В этой системе реакция отвечает за потери в бою, а члены диффузии моделируют передвижение войск. Главная инновация — коэффициент диффузии становится функцией плотностей как своих, так и вражеских сил: высокая собственная концентрация может ускорять движение (эффект «блицкрига»), тогда как плотность противника тормозит продвижение (эффект «связки»).
Для численного интегрирования сложной системы уравнений применён метод разделённых направлений (ADI). Благодаря его стабильности и точности удалось выполнить симуляции даже при сильной нелинейности. Корректность алгоритма проверялась сравнениями с известными аналитическими решениями для бегущих волн и режимов «blow-up», что подтвердило надёжность и высокую точность расчетов.
Численные эксперименты выявили богатую пространственно-временную динамику, отсутствующую в классических моделях. На виртуальном поле боя из первоначально равномерного распределения сил формировались компактные «ударные кулаки», в то время как обороняющиеся стороны оказывались более рассредоточенными.
3D-графики плотностей наглядно демонстрируют способность модели прогнозировать критические зоны концентрации, которые существенно влияют на исход сражения.
«Мне было важно создать математический инструмент, говорящий на языке тактики,— отметил Никита Борисов. Вместо абстрактных величин модель оперирует понятиями плотности сил, мобильности, логистической поддержки и зон контроля. Она показывает, как эти факторы во взаимодействии формируют фронты, точки прорыва и окружения. Это шаг от простой «бухгалтерии потерь» к динамическому моделированию боевых действий».
Рисунок 2. Последовательность тепловых карт плотности атакующих войск: (a) начальная концентрация в центре, (b) продвижение и расширение зоны контроля, (c) формирование устойчивого фронта у границ «вражеской» территории.
Модель отличается гибкостью: изменяя параметры нелинейных коэффициентов, можно воспроизводить сценарии «блицкрига» с резким ростом мобильности, «активной обороны» с торможением при появлении противника или «партизанской войны», когда высокая плотность приводит к дроблению сил. Также выявлен характерный пространственный масштаб (~1,4 км) между подразделениями для оптимальной взаимной поддержки.
Практические применения включают математическое моделирование стратегий и тактик, оптимизацию размещения сил, оценку новых образцов вооружения и планирование логистики. В дальнейшем планируется расширить модель до трёхмерного пространства (учёт авиации и рельефа), внедрить адаптивные по времени шаги и стохастические члены для ещё более достоверного прогноза.
Источник: Borisov N.D. (2025). Development of Lanchester-Type Spatial Models with Obtaining Localized Solutions for the Interaction of Two Groups. Journal of Applied Mathematics and Physics, 13, 2332–2342. doi:10.4236/jamp.2025.137132
