Разбираемся в физике частиц: 5) квантовые волны

Где n = 0, 1, 2, 3, или 44, или вообще любое целое больше или равное нулю. В частности, A может равняться $$, но меньше уже быть не может – только нулевой. Мы говорим, что n – это количество квантов колебаний движения шара. Энергия шара теперь тоже квантуется:

where n=0, or 1, or 2, or 3, or 44, or any integer greater than or equal to zero. In particular, A can be as small as (1/2 π) √ 2 h / ν M, but it can’t be anything smaller, except zero. We say that n is the number of quanta of oscillation in the ball’s motion. The energy of the ball is also now quantized:

Самое важное тут то, что для добавления одного кванта колебаний шара требуется энергия величины hν – можно сказать, что каждый квант переносит энергию hν.

Квантовая волна

С волнами всё, по сути, так же. Для волны с частотой ν и длиной волны λ, колеблющейся с амплитудой А вокруг равновесного положения Z₀,

• Уравнение движения: Z(x,t) = Z₀ + A cos (2π [ν t – x/λ]).
• Энергия на одну длину волны: $\$inline\$\; 2\; \pi ^2\; \nu ^2\; A^2\; J\_\lambda \; \$inline\$$

(где J_λ — константа, зависящая от, допустим, верёвки, если речь идёт о волнах на верёвке), нескольких возможных уравнениях движения, из которых мы для изучения выберем два:

И вновь квантовая механика ограничивает амплитуду А дискретными значениями. Так же, как для колебаний на пружине,

• Одна простая волна определённой частоты и длины состоит из n квантов,
• Разрешённые величины амплитуды А пропорциональны √n,
• Разрешённые величины энергии Е пропорциональны (n+1/2).

Точнее, как и для шара на пружине,

• Разрешённые значения энергии E = (n+1/2) h ν
• Каждый квант волны переносит энергию величины h ν

Формула для выражения А довольно сложна, поскольку нам нужно знать, насколько волна длительная, и точная формула будет слишком запутанной – так что давайте я просто напишу такую формулу, которая передаёт правильную идею. Большую часть формул мы получили, изучая бесконечные волны, но у любой реальной волны в природе длительность конечна. Если длительность волны примерно равна L, и у неё L/λ гребней, тогда амплитуда примерно равна

$\$\$display\$\$\; A\; =\; (1/2\; \pi )\; sqrt\{\; frac\{2\; n\; h\; \lambda \}\{\nu \; L\; J\_\lambda \}\; \}\; \$\$display\$\$$

Что пропорционально $$ как и в случае с пружиной, но зависит от L. Чем длительнее волна, тем меньше её амплитуда – так, что у каждого кванта волны энергия всегда равна hν.

Вот и всё – это показано на рисунке ниже.

Слева – наивное изображение волн, где амплитуда пропорциональна квадратному корню из количеству квантов, и другие амплитуды существовать не могут. Справа – чуть менее наивное изображение, учитывающее квантовые колебания, присущие квантовому миру. Даже в случае n = 0 некоторые колебания существуют.

Следствие

Что это означает для наших волн класса 0 и класса 1?

Поскольку волны класса 0 могут быть любой частоты, у них может быть любая энергия. Даже для крохотного значения ε всегда можно сделать один квант волны класса 0 с частотой ν = ε/h. Для такой небольшой энергии у этой квантовой волны будет очень малая частота и очень большая длина волны, но существовать она может.

Волны, удовлетворяющие уравнению класса 1, не такие. Поскольку для них существует минимальная частота ν_min = μ, для них существует и квант минимальной энергии:

Если ваша крохотная величина энергии ε меньше этого, квант такой волны сделать не получится. Для всех квантов волн класса 1 с конечной длиной волн и большей частотой выполняется E ≥ h μ.

Итог

До того, как мы начинаем принимать во внимание квантовую механику, амплитуда волн, как и амплитуда шара на пружине, могут изменяться непрерывно; их можно сделать сколь угодно большими или малыми. Но квантовая механиа подразумевает существование минимальной ненулевой амплитуды волны, как и в случае колебаний шара на пружине. И обычно амплитуда может принимать только дискретные значения. Допустимые амплитуды таковы, что как для колебаний шара на пружине, так и для волны любого класса с определённой частотой ν

• Для добавления одного кванта колебаний требуется энергия h ν
• У колебаний n квантов энергия колебаний будет равна (n+1/2) h ν

Теперь пришло время применить полученные знания к полям и посмотреть, когда и как кванты волн в этих полях можно интерпретировать как то, что мы называем «частицами» природы.