Разбираемся в физике частиц: 3) волны, классический вид

Рис. 2

Это удивительно. Я имею в виду – на самом деле поразительно, сильно и критически важно для всего в нашей Вселенной, включая и вас лично. Посмотрите, что произошло. Ни один физический объект слева направо не перемещался – до того, как ваш друг начал двигать конец верёвки, она была протянута через комнату, а в конце, после того, как ваш конец верёвки закончит колебаться и волна пропадёт, верёвка так и останется натянутой через всю комнату, как и было. И всё-таки! Энергия и информация переместились по комнате. Волна в пути переносит энергию, потраченную вашим другом на колебания верёвки – и несёт в своей форме информацию о том, сколько раз и как быстро он её дёргал – к вам, где она заставляет трястись уже вашу руку. И в этом случае она даже тряханёт вашу руку именно столько раз и именно в такой последовательности. Вот это да! Ни один физический объект не перемещался через комнату, а энергия и информация – переместились.

Или, подождите. А не должны ли мы рассматривать волну, как физический объект? Такой же физический, как сама верёвка?

Помня этот глубочайший вопрос, обратимся к небольшому количеству математических формул, необходимых для описания внешнего вида и поведения волны, а затем используем чуть больше математики, чтобы записать уравнения, решениями которых будут волны. Это похоже на то, что мы делали для классического шара на пружине.

Формула для бесконечной волны в определённый момент времени

Эта серия статей сразу после шара на пружине переходит к волнам потому, что волна – это разновидность двойного осциллятора. Она колеблется как во времени, так и в пространстве. Время мы обозначим буквой «t», а пространство – «x».

Обратите внимание на рис. 3. На нём изображена волна, простирающаяся в обоих направлениях на большое расстояние, на которой уместилось множество гребней и впадин. Это отличается от волны на рис. 2, у которой всего несколько гребней и впадин. Но это различие не имеет отношения к делу – на рис. 2 мне нужно был проиллюстрировать то, для чего не имела значения точная форма волны; теперь же мы сконцентрируемся на математической формуле для волн, а это гораздо проще сделать, если у волны есть большое количество гребней и впадин одинакового размера. Также этот случай окажется очень полезным для понимания того, как квантовая механика влияет поведение волн.

Рис. 3

Сначала нам нужно определиться с обозначениями и записать формулу, описывающую движение и форму волны на рис. 3, как мы делали для шара на пружине.

На графике показана величина волны Z как функция от пространства в определённый период времени t = t₀ — мы записываем это, как Z(x, t₀). Отслеживая волну в пространстве мы видим, что она колеблется вперёд и назад, и Z периодически увеличивается и уменьшается. В любой момент времени волна колеблется в пространстве.

Заметьте, что Z не обязательно должна быть связана с физическим расстоянием. Это может быть высота верёвки, как на рис. 2, или это может быть нечто совсем другое, к примеру, температура воздуха в определённой точке пространства и времени или ориентация магнитного атома в определённом месте магнита. Но x всё же представляет физическое расстояние, а t – время.

У снимка этой волны, Z(x, t₀), есть три интересных свойства, два из которых также относятся и к шару на пружине.

1. Существует значение равновесия Z₀, лежащее посередине между самым большим значением Z на гребне и самым малым значением Z во впадине. Большую часть времени мы изучаем волны, у которых Z₀ = 0, поскольку часто величина Z₀ не имеет значения – но не всегда.
2. У волны есть амплитуда А, величина, на которую меняется Z от равновесного значения до вершины каждого гребня или на ту же величину до дна каждой впадины.
3. У волны есть длина – расстояние λ между соседними гребнями, или, что то же самое, между соседними впадинами, или, что то же самое, удвоенное расстояние между соседними гребнем и впадиной. Она описывает колебания в пространстве так же, как период (равный 1/частоту) описывает колебание во времени шара на пружине.

Рис. 4

Что же напоминает нам форма на рис. 3? Она выглядит, как график функции синуса или косинуса – см. рис. 4, где cos(w) построен на графике по w. Cos(w) – функция осциллирующая, у которой есть очевидная позиция равновесия в нуле, её амплитуда 1, а длина волны — 2π. Как перейти от рис. 4 к формуле для волны на рис. 3? Сначала мы умножим cos(w) на А, чтобы амплитуда сравнялась с А. Затем мы добавим Z₀ ко всей формуле, чтобы сдвинуть её до нужного значения равновесия (если А = 0, то колебаний нет, и всё покоится в точке Z = Z₀). И, наконец, заменим w на 2πx/λ, поскольку у cos(w) гребни на w = 0 и w = 2 π, поэтому у cos(2πx/λ) гребни будут на x = 0 и x = λ. Всё вместе это даёт нам

Это практически та же формула, что описывала движение шара на пружине во времени:

Где ν – частота колебаний, а T = 1/ν – период колебаний. Видите аналогию: период относится ко времени, как длина волны к пространству.

Ещё одно замечание до того, как мы продолжим. Я мог записать также:

Поскольку cos[w] = cos[-w]. То, что мы спокойно можем подставить минус в формулу формы волны, будет важно позднее.

Формула для бесконечной волны в определённом месте

Рис. 5

Теперь зададим другой вопрос: посмотрим, как волна меняется во времени, отслеживая определённую точку на верёвке, и увидим, как она себя ведёт и двигается. Это показано на рис. 5: там я обозначил определённую точку x₀, которая в момент времени t₀ находится на гребне. Волна двигается вправо и следует размеру волны Z в точке x₀, меняясь во времени: Z(x₀, t). И вы немедленно увидите, что высота волны в определённой точке ведёт себя точно так же, как шар на пружине! Поэтому у неё будет точно такая же формула, как у шара на пружине, как функция частоты ν, или периода T = 1/ν, где T – это время между моментом, когда волна в x₀ находится н а гребне, и моментом, когда она снова приближается к гребню в следующий раз.

Полная формула бесконечной волны

Теперь нам нужна формула для Z(x, t), описывающая волну, изображённую на рис. 3 и 5 (или любую похожую) в точках x в любой момент времени t. Правильный ответ:

$\$\$display\$\$\; Z(x,\; t)\; =\; Z\_0\; +\; A\; cos\; (2\pi \; [\nu \; t\; –\; x/\lambda ])\; =\; Z\_0\; +\; A\; cos\; (2\pi \; [t/T\; –\; x/\lambda ])\; \$\$display\$\$$

Он включает обе формулы, для фиксированной точки во времени и для фиксированной точки в пространстве.

Отметим знак минуса перед x. Я упоминал, что в формулу для Z(x, t₀) можно подставить минус по желанию. С минусом перед x и плюсом перед t формула описывает волну, движущуюся вправо, как на анимациях. Чтобы проверить это, заметьте, что когда t/T – x/λ = 0, волна будет гребнем, потому что cos[0]=1. Когда t = 0, в точке x = 0 гребень. Но если немного сдвинуть t вперёд, допустим, на T/10, то гребень будет в точке x = λ/10, правее от того места, где он был в t = 0 – поэтому гребень (и вся волна) движется вправо.

Что изменится, если разместить плюс вместо минуса в формуле для Z(x, t)? Тогда гребень будет в точке t/T + x/λ = 0, и в этом случае во время t = T/10 гребень будет в точке x = -λ/10, левее того места, где он был в t = 0 – значит, теперь волна движется влево (рис. 6).

Рис. 6

Волны, являющиеся функциями x и t, могут двигаться в любом направлении, так что нам просто нужно выбрать правильную формулу для заданной волны. Вообще говоря, когда мы работаем с волнами, которые могут двигаться не только вдоль одного пространственного измерения x, но вдоль всех трёх координат x, y и z, то эти волны могут двигаться в любом направлении, и нам нужно будет выбрать правильную формулу на основании направления движения волны.

Мелкий шрифт: мы можем поставить знак минуса перед t, а не перед x. Но +t, +x – это то же самое, что и –t, -x, поскольку это будет равнозначно умножению всей формулы внутри косинуса на -1, а cos[w]=cos[-w]. Поэтому +t, +x и -t, -x дают волну, двигающуюся влево, а +t, -x и -t, +x дают волну, двигающуюся вправо.

Уравнение движения волн

Теперь, как и в случае для шара на пружине, когда мы сначала нашли формулу для колебательного движения шара, а затем посмотрели на уравнение движения, для которого эта формула была решением, сделаем то же самое и тут. Мы нашли формулу для формы и движения волны. У какого уравнения движения среди решений встречается такая формула? Узнаем в следующей статье.