В вихре Французской революции математическая одержимость одного учёного дала начало методу анализа, который сегодня лежит в основе математики и физики
Когда мы слушаем музыку, наши уши автоматически «разлагают» звуковой поток на составляющие: флейта дарит нам высокие обертоны, скрипка — средние ноты, а контрабас — глубокий бас. По мере того как комбинированная волна проходит по слуховому каналу в улитку, волосковые клетки разного размера резонируют на собственных частотах, извлекая из единого сигнала отдельные тона.
Лишь в XIX веке математики сумели воспроизвести эту процедуру в виде вычислительного алгоритма.
В начале XIX века Жан-Батист Жозеф Фурье представил метод разложения любой функции на простейшие гармонические колебания. Складывая эти элементарные «волны», можно воссоздать исходный сигнал. Так появилось преобразование Фурье, получившее развитие в масштабной «математической революции», начатой его автором.
На основе преобразования Фурье возникло гармоническое исследование функций, вскоре связавшееся с теорией чисел, дифференциальными уравнениями и квантовой механикой. Сегодня это преобразование применяется в алгоритмах сжатия, фильтрации аудио и во множестве других задач современной науки и техники.
«Влияние преобразования Фурье трудно переоценить, — отмечает Лесли Грингард из Нью-Йоркского университета и Института Флэтайрон. — Оно пронизывает почти все отрасли математики, физики и химии».
Огонь вдохновения
Фурье родился в 1768 году в городе Осер. После того как он в десять лет осиротел, его воспитывали в монастырской школе. Десять лет спустя Жан-Батист разрывался между духовным и математическим призванием, но в итоге выбрал научную карьеру, став преподавателем и горячим сторонником революционных идей. В 1794 году, во время «Режима террора», 26-летнего Фурье арестовали за «контрреволюционные настроения» и приговорили к гильотине.
Судьба улыбнулась учёному: после падения террора он вернулся к преподаванию. В 1798 году Наполеон назначил его членом научного комитета египетской экспедиции. Погружённый в изучение древностей и теплопередачи, Фурье к 1801 году выработал идею математического описания распространения тепла.
Он доказал, что температурное распределение по металлическому стержню можно представить суммой синусоидальных волн разной частоты, каждая из которых по мере охлаждения теряет энергию: быстрые «гармоники» затухают первыми, за ними следуют низкочастотные колебания, подобно тому как оркестр затихает от самых высоких до самых низких инструментов.
Когда Фурье изложил свои результаты перед Академией наук в Париже в 1807 году, Лагранж воскликнул, что выполнить такие расчёты «абсолютно невозможно». Коллеги сомневались, что при резких скачках температуры, например на границе тёплой и холодной половин стержня, можно обойтись конечным числом гладких функций. Фурье же утверждал, что потребуется лишь добавить бесконечное число более простых кривых — идею, которую тогда встретили с недоверием.
Сегодня мы знаем, что Фурье оказался прав.
«Любую функцию можно разложить на простейшие колебания», — поясняет Чарльз Фефферман из Принстонского университета. «Если настроить множество камертонов, они способны воссоздать Девятую симфонию Бетховена».
Но как именно работает преобразование Фурье?
Тонкий слух
Преобразование Фурье сопоставимо с обонянием: вдыхая духи, мы распознаём отдельные ноты аромата; слушая сложный джазовый аккорд, мы вычленяем его составляющие. Математически это функция, принимающая на вход любую заданную функцию и выдающая массив частот, которые её образуют. Синусоиды этих частот, сложенные вместе, воссоздают исходное распределение.
Для анализа преобразование Фурье «сканирует» всю шкалу частот, умножая первоначальную функцию на синусоиды и косинусоиды каждой частоты. Рассмотрим простую функцию:
Умножив её на волну частоты 3, получим множество выраженных пиков — значит, частота 3 значительно участвует в формировании функции.
Если же умножить на волну частоты 5, график оказывается равномерно распределён вокруг нуля, что означает отсутствие вклада этой частоты в исходный сигнал.
Обрабатывая все частоты на комплексной плоскости, алгоритм сводит сложную функцию к набору коэффициентов — чисел, которые напрямую отражают спектр исходного сигнала. Если же функция имеет резкие разрывы, как квадратная волна, преобразование выдаёт бесконечный ряд гармоник, стремящихся «приблизить» угловатый график.
Аплодисменты!
Принцип Фурье работает и в двух измерениях. Градации серого в изображении можно трактовать как функцию яркости пикселя. Преобразование Фурье разлагает её на двумерные синусоидальные узоры разной ориентации и частоты. Собрав нужные паттерны, можно воспроизвести любое изображение.
В 1960-е Джеймс Кули и Джон Тьюки разработали «быстрое преобразование Фурье», что сделало вычисления быстрыми и эффективными. Сегодня алгоритм незаменим в обработке сигналов: от анализа приливов и гравитационных волн до радаров и МРТ, от шумоподавления в аудио до методов сжатия данных.
В квантовой механике преобразование Фурье лежит в основе принципа неопределённости: функция вероятностей положения частицы и её спектр импульсов — это взаимно преобразуемые через Фурье представления. Чем острее «пик» в координатном пространстве, тем более «размазанным» оказывается спектр в импульсном, и наоборот.
Даже в чистой математике гармонический анализ, выросший из преобразования Фурье, помогает раскрывать тайны распределения простых чисел и другие глубокие связи между целыми числами, демонстрируя, что вклад Фурье в науку невозможно переоценить.
«Если бы мы лишились преобразования Фурье, значительная часть современной математики просто исчезла бы», — подытоживает Чарльз Фефферман.
