Кубик Рубика — это не просто механическая головоломка, а сложнейшая математическая модель с конфигурационным пространством, превышающим 43 квинтиллиона состояний. Практическая задача по созданию двусторонних мозаик привела меня к концепции зеркальных инверсивных паттернов (Mirror Dual-Sided Inverse, MDSI). В данной статье представлен формальный анализ этого типа симметрии и выведена формула для расчета количества уникальных графических комбинаций.
<h2>Математическая природа симметрии кубика</h2>
<p>Исследование симметрии кубика Рубика — фундаментальная задача дискретной математики. Герберт Коцемба, один из авторов алгоритма вычисления «Числа Бога», посвятил годы типизации этих процессов. Его группа определила существование 164 604 041 664 симметричных конфигураций, которые были классифицированы на <a href="https://kociemba.org/cube.htm" rel="noopener noreferrer nofollow">33 типа симметрии</a>, основанных на перестановках и вращениях угловых и реберных элементов.</p>
<p>Мой интерес к этой теме возник из прикладной области — проектирования <a href="https://habr.com/ru/articles/981400/" rel="noopener noreferrer nofollow">рубиккубических мозаик</a>. Я обнаружил закономерность: для любого изображения на лицевой грани 3×3×3 можно сформировать зеркальное отражение в инверсивных цветах на противоположной стороне. В стандартной цветовой схеме выделяются три пары антагонистов: красный — оранжевый, синий — зеленый, белый — желтый. Эти цветовые пары центров всегда остаются оппозитными. Разработанная методика сборки MDSI-паттернов подробно изложена в <a href="https://habr.com/ru/articles/981936/" rel="noopener noreferrer nofollow">отдельной публикации</a>.</p>
<p>В ходе дискуссии с Гербертом Коцембой выяснилось, что MDSI можно интерпретировать как специфическую форму точечной симметрии. Подобные инверсии встречаются в 11 подгруппах его классификации (включая центральную симметрию), однако в MDSI-паттернах присутствует уникальное сочетание цветовой инверсии и ориентации. Коцемба предложил термин <strong>Point Mirror Six-Sided Inverse (PMSSI)</strong> для паттернов, обладающих такой симметрией на всех шести гранях. Тем не менее, MDSI выделяется как новая прикладная категория в контексте визуального искусства и дизайна.</p>
<figure class="wp-block-image size-full">
<img src="https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/upload_files/eda/bc4/18c/edabc418c71c3fa379bb71d022ddee43.png" alt="Визуализация MDSI-паттерна" width="974" height="740">
<figcaption>Рис. 1. Пример зеркального двустороннего инверсивного MDSI-паттерна</figcaption>
</figure>
<h2>Комбинаторный анализ количества паттернов</h2>
<p>Одной из ключевых задач исследования стало определение точного числа возможных конфигураций MDSI. Ниже представлен пошаговый алгоритм решения.</p>
<p><strong>1. Теоретический предел комбинаций:</strong><br>
Если рассматривать 54 цветовых слота на 26 элементах (6 центров, 8 углов, 12 ребер) без учета физических ограничений, мы получаем:</p>
<ul>
<li>8 углов: 8! перестановок × 3<sup>8</sup> ориентаций;</li>
<li>12 ребер: 12! перестановок × 2<sup>12</sup> ориентаций.</li>
</ul>
<p><img class="formula" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/a/a3/a37/a37f1f1df86e66b6ec8fc65f85e9a21c.svg" alt="8! * 3^8 * 12! * 2^12" width="376" height="16"></p>
<p><em>*Примечание: Паритет — это состояние, ограничивающее возможность сборки куба из-за математической четности перестановок.</em></p>
<p><strong>2. Реально достижимые состояния:</strong><br>
Механика куба накладывает жесткие ограничения на четность перестановок и сумму ориентаций. В результате вращения граней доступна лишь 1/12 часть от теоретического максимума:</p>
<p><img class="formula" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/c/cd/cd8/cd85b7f8b6e1da765e2d6be25e448c7f.svg" alt="Формула легальных состояний" width="432" height="32"></p>
<p>Это и есть знаменитые 43 квинтиллиона состояний. Остальные 92% комбинаций недостижимы без механического вмешательства.</p>
<p><strong>3. Группировка паттернов по типам:</strong><br>
На одной грани можно составить 6<sup>9</sup> = 10 077 696 цветовых комбинаций. Однако многие из них идентичны при повороте куба. Мы разделяем их на три категории (Рис. 2):</p>
<ul>
<li><strong>Тип 4p:</strong> Асимметричные паттерны (повторяются 4 раза при полном обороте);</li>
<li><strong>Тип 2p:</strong> Паттерны с осевой симметрией (повторяются 2 раза);</li>
<li><strong>Тип 1p:</strong> Полностью симметричные или монохромные паттерны (не меняются при повороте).</li>
</ul>
<figure class="wp-block-image size-full">
<img src="https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/upload_files/c28/2da/934/c282da934f75bd36e4744836f7ffad49.png" alt="Типы паттернов" width="974" height="204">
<figcaption>Рис. 2. Классификация паттернов по кратности вращения</figcaption>
</figure>
<p><strong>4. Расчет для двухцветной модели:</strong><br>
Для упрощения возьмем 2 цвета. Развернув грань 3х3 в линию из 9 элементов, мы исключаем центр на первом этапе (умножим на 2 в конце).</p>
<p><img src="https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/upload_files/99a/4f0/552/99a4f0552768cac89ac5e3287a8114c1.png" alt="Линейная развертка" width="974" height="159"></p>
<ul>
<li>Паттерны 1p и 2p симметричны относительно центра. Для 4-х значимых элементов получаем 2<sup>4</sup> = 16 вариантов.</li>
<li>Из них типу 1p соответствуют 2<sup>2</sup> = 4 уникальных варианта.</li>
<li>Следовательно, для типа 2p остается (16 - 4) / 2 = 6 уникальных паттернов.</li>
<li>Для типа 4p: (2<sup>8</sup> - 16) / 4 = 60 уникальных паттернов.</li>
</ul>
<p>Итого для двух цветов: 2 * (4 + 6 + 60) = 140 уникальных комбинаций.</p>
<p><strong>5. Универсальная формула:</strong><br>
Обобщая расчет для <em>x</em> цветов, получаем функцию <em>C(x)</em>:</p>
<p><img class="formula" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/b/bf/bf5/bf5f985e2584c3f95e5ffc585ffde9ac.svg" alt="Функция C(x)" width="296" height="40"></p>
<p>После упрощения итоговое уравнение принимает вид:</p>
<p><img class="formula" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/d/de/de9/de915705c29f583dce7a1c7952f4ef6e.svg" alt="Итоговая формула" width="208" height="40"></p>
<p>Применяя формулу для разного количества цветов <em>x</em>:</p>
<ul>
<li><em>x</em> = 2: 140 паттернов;</li>
<li><em>x</em> = 3: 4 995 паттернов;</li>
<li><em>x</em> = 6: 2 521 476 полноцветных паттернов.</li>
</ul>
<p><strong>6. Финальный расчет MDSI:</strong><br>
Поскольку метод MDSI устанавливает жесткую связь между лицевой и тыльной сторонами, количество MDSI-пар равно числу односторонних паттернов. Однако, чтобы избежать дублирования (когда одна и та же пара учитывается дважды: как прямая и как инвертированная), общее число необходимо разделить на 2.</p>
<p><img class="formula" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/5/53/53b/53b5dfe58ea5a7ca801450c850ed42de.svg" alt="2 521 476 / 2" width="168" height="32"></p>
<p><strong>Вывод: общее количество уникальных MDSI-паттернов составляет 1 260 738.</strong></p>
