Как заметил один неравнодушный читатель, математика – это «бред повернутых на абстракциях». Что ж, наверное, он прав, и все математики должны быть немного не в себе, чтобы, отказавшись от такой родной и очевидной реальности, посвятить свою жизнь формулам и графикам. Но если вы все же не «сломали голову на интегралах» и знаете, для чего нужно «минус одно яблоко» (и вообще понятие отрицательных чисел), то заваривайте чаëк и присаживайтесь.
Сегодня мы поговорим о том, что общего у береговой линии и барабанщика рок-группы, и как сэкономить на аниматорах, зная математику.
Бесконечно сложные самоподобные объекты все-таки не являются выдумкой математиков-извращенцев, и вы можете наблюдать их ежедневно: облака, волны, кроны деревьев и горные массивы – это все в определенной мере фракталы, имеющие повторяющуюся структуру. Облака никогда не бывают абсолютно одинаковыми, но тем не менее в них присутствует подобие больших и малых частей, крупные сосуды кровеносной системы разветвляются на более мелкие, затем на капилляры и так далее. Очень часто можно увидеть в какой-нибудь статье вот такой вилок капусты Романеско, форма которой – один из самых узнаваемых фракталов в природе.
Забавно, но ученые полагают, что конкретно этот сорт приобрел свой внешний вид благодаря мутации при одомашнивании, а не эволюционным путем. Раньше из образовавшихся наростов на капусте, видимо, появлялись цветы, но мутация в четырех генах изменила программу развития растения, и на месте цветочных бутонов стали расти новые стебли.
Но хватит красивых вступлений про природу, нам эта капуста не так уж интересна, ведь причудливая внешность фракталов нашла применение не только у огородников, но и в технике, а именно в радиоэлектронике. Еще в 80-е были опубликованы первые теоретические работы по возможному применению фрактальных форм в многополосных антеннах, но в их практическую ценность никто особо не верил. А зря.
В 1995 году американский инженер Натан Коэн, чтобы обойти запрет бостонских властей устанавливать на домах наружные антенны, замаскировал антенну своей радиостанции под декоративную фигуру, выполненную в виде уже знакомой нам снежинки Коха. Оказалось, что подобная махинация с формой антенны не влияет на ее функциональность, а, немного поэкспериментировав, Коэн даже добился значительного усиления сигнала.
В англоязычной литературе фрактальные антенны часто называют «space-filling antenna» – SFA (антенны, заполняющие пространство). Вам не кажется это знакомым? Помните про дробную размерность – как показатель заполняемости кривой пространства? Вот-вот, все связано: фрактальная геометрия позволяет изогнуть антенну так, что она имеет максимальные показатели упаковки на ограниченной площади.
Сегодня теория фрактальных антенн превратилась в самостоятельный, довольно развитый аппарат синтеза и анализа ЭМА, и несмотря на большое число проведённых исследований, она очень мало изучена. А Натан Коэн, ныне профессор бостонского университета и директор Fractal Antenna Systems, до сих пор судится за авторские права на использование его изобретения.
Надо сказать, что фракталы можно воспроизвести не только в графическом формате. Вернемся к побережью Байкала. Допустим, вы сумели найти линейку (или курвиметр, как вам больше по душе), способную вычислять длину берега с точностью до атома, и приступили к замерам. Но уже на следующий день ваши данные окажутся неверными. То же самое будет и через час, и через минуту, ведь волны и эрозия непрерывно меняют облик берегов, хотя их граница остается такой же сложной, как и была. Береговая линия — это пример фрактала, изменяющегося со временем.
Так вот, временные фракталы встречаются не только в природе. Игра на ударных Джеффа Поркаро – барабанщика группы Toto – считается эталоном виртуозного исполнения, и фанаты легко могут отличить его импровизацию от игры другого музыканта. В 2015 году ученые сравнили его исполнение и ту же партию, идеально воспроизведенную на компьютере, и обнаружили, что различия между ними, как ни удивительно, имеют фрактальный характер. То есть – неточность пауз и изменения громкости ударов, на первый взгляд совершенно хаотичные, складываются в самоподобные паттерны, которые присутствуют как в длительных участках партии, так и в отдельных тактах.
Фрактальные фигуры уникальны для каждого исполнителя, и именно эти неравномерности делают игру человека «человечной». Добровольцы, участвующие в экспериментах, могли интуитивно отличить партию машины от живого исполнения, даже когда компьютер с помощью случайной генерации вносил небольшие отклонения от идеального рисунка. Сегодня некоторые музыканты активно исследуют новые способы игры, используя в том числе фрактальную математику. Результат порой бывает очень интересным.
Но самая обширная и самая очевидная область применения фракталов – это, разумеется, компьютерная графика. В 1978 году Лорен Карпентер – работник компании Boeing – занимался визуализацией моделей самолетов и решил разнообразить фон своей презентации горным ландшафтом. Имея степень бакалавра математики и совсем недавно прочитав книгу Бенуа Мандельброта про фракталы (привет старым знакомым), он был увлечен поиском более быстрого способа получения изображений.
Принцип, который использовал Карпентер, возмутительно прост и похож на построение кривой Коха в обратном порядке: большой треугольник делится на четыре (не равные друг другу), а затем действие повторяется много раз для достижения эффекта объема. И вот такая незамысловатая схема стала настоящей революцией в мире анимации! Представьте, что теперь нет нужны прорисовывать каждый объект и локацию и держать огромную базу данных, достаточно лишь пакета специально подобранных формул – и компьютер сам сгенерирует изображение с заданным уровнем точности, причем сложность картинки при необходимости может меняться. Например, если игрок находится вдали от гор, программа не станет выстраивать их структуру полностью, но по мере приближения к скалам – она будет постепенно дополнять картинку новыми подробностями. Неудивительно, что после презентации своей идеи Карпентера тут же пригласили на работу в киноиндустрию (в фильме «Звездный путь 2: Гнев Хана» – есть целая планета с фрактальным ландшафтом), а в последствии он взял и основал всем известную студию… Pixar.
Вот так от облаков и капусты мы переползли к музыке и мультикам, и, прежде чем вы начнете слушать фрактальный фолк, хочется все-таки прийти к какому-то небольшому выводу. Да, математический аппарат, который используется повсеместно — это действительно лишь удобный инструмент для описания мира, наш способ познания взаимосвязей вселенной. Но математика – не абстракция. Она заложена в суть природы, в ее фундаментальные законы и константы, это уже давно известный факт. И главный вопрос на сегодня не «нужна ли нам математика?», а – «почему мир так математичен?».
Автор: Александр Грибоедов
