Электрические цепи: расчет. Часть 2

1 час назад

7

В предыдущем материале мы выполнили расчет базовых характеристик электрических цепей с учетом температурной зависимости сопротивления. В данной статье мы углубим модель, включив в неё динамическое изменение теплоемкости в зависимости от нагрева, а также добавим учет теплообмена проводника с окружающей средой.

Электрические цепи: расчет. Часть 2 — Электрические цепи

Программная реализация для первой конфигурации цепи:

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt
Базовые параметры медного проводника
R0 = 400  # Ом, номинальное сопротивление при T0
alpha = 0.00393  # 1/К, температурный коэффициент
T0 = 293  # К, начальная температура (20 °C)
Аппроксимация теплоемкости меди в зависимости от температуры (Дж/(кг·К))
def heat_capacity(T):
Коэффициенты для температурного интервала 200–1200 К
a, b, c = 370, 0.2, 1e-4
return a + b  (T - 273) + c  (T - 273) ** 2
Геометрические параметры (цилиндрический проводник)
rho_copper = 8960  # кг/м³, плотность материала
diameter = 0.002  # м
length = 1.0  # м
volume = np.pi * (diameter / 2) * 2  length
mass = rho_copper * volume  # ~0.028 кг
Параметры конвективного теплообмена
k = 10  # Вт/(м²·К), коэффициент теплоотдачи
surface_area = np.pi  diameter  length 
k_total = k * surface_area 
T_ambient = 293  # К, температура среды
U = 120  # В, напряжение источника
Описание системы дифференциальных уравнений
def dT_dt(t, T):
T = T[0]
R_T = R0  (1 + alpha  (T - T0))
C_T = heat_capacity(T)
P_joule = U * 2 / R_T
P_loss = k_total  (T - T_ambient)
return [(P_joule - P_loss) / (C_T * mass)]
Настройка солвера
t_span = (0, 300)
t_eval = np.linspace(0, 300, 1000)
solution = solve_ivp(dT_dt, t_span, [T0], t_eval=t_eval, method='RK45')
time = solution.t
temperature = solution.y[0]
temperature_C = temperature - 273
resistance = R0  (1 + alpha  (temperature - T0))
heat_capacity_values = [heat_capacity(T) for T in temperature]
power_joule = U * 2 / resistance
power_loss = k_total  (temperature - T_ambient)
Построение графиков
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 8))
fig.suptitle('Термодинамическая модель нагрева медного проводника', fontsize=16)
axes[0, 0].plot(time, temperature_C, 'b-', linewidth=2)
axes[0, 0].set_xlabel('Время, с')
axes[0, 0].set_ylabel('Температура, °C')
axes[0, 0].grid(True)
axes[0, 0].set_title('Температурный профиль')
axes[0, 1].plot(temperature_C, resistance, 'r-', linewidth=2)
axes[0, 1].set_xlabel('Температура, °C')
axes[0, 1].set_ylabel('Сопротивление, Ом')
axes[0, 1].grid(True)
axes[0, 1].set_title('Зависимость R(T)')
axes[1, 0].plot(temperature_C, heat_capacity_values, 'g-', linewidth=2)
axes[1, 0].set_xlabel('Температура, °C')
axes[1, 0].set_ylabel('Теплоёмкость, Дж/(кг·К)')
axes[1, 0].grid(True)
axes[1, 0].set_title('Динамика теплоёмкости')
axes[1, 1].plot(time, power_joule, 'orange', label="Джоулев нагрев", linewidth=2)
axes[1, 1].plot(time, power_loss, 'purple', label="Теплоотвод", linewidth=2)
axes[1, 1].set_xlabel('Время, с')
axes[1, 1].set_ylabel('Мощность, Вт')
axes[1, 1].legend()
axes[1, 1].grid(True)
axes[1, 1].set_title('Энергетический баланс')
plt.tight_layout()
plt.show()

Визуализация результатов моделирования представлена на графике ниже:

Графики демонстрируют асимптотический рост температуры до достижения теплового равновесия.

Перейдем к моделированию второй цепи с разрядом конденсатора:

# Дополнительные параметры для системы с конденсатором
C_cap = 1  # Фарад
U0 = 120  # В, начальное напряжение
def dY_dt(t, Y):
T, U = Y
R_T = R0  (1 + alpha  (T - T0))
C_T = heat_capacity(T)
P_joule = U * 2 / R_T
P_loss = k_total  (T - T_ambient)
dT_dt = (P_joule - P_loss) / (C_T  mass)
dU_dt = -U / (C_cap  R_T)
return [dT_dt, dU_dt]
(Остальная часть кода аналогична предыдущему примеру с учетом двух переменных)

Итоговое распределение параметров во второй системе: