Интегрируемая система - Integrable system

В математике интегрируемость - это свойство некоторых динамических систем . Хотя существует несколько различных формальных определений, неформально говоря, интегрируемая система - это динамическая система с достаточно большим количеством сохраняющихся величин или первых интегралов , так что ее поведение имеет гораздо меньше степеней свободы, чем размерность ее фазового пространства ; то есть его эволюция ограничена подмногообразием в его фазовом пространстве.

Три характеристики часто называют характеристиками интегрируемых систем:

  • существование максимального набора сохраняющихся величин (обычное определяющее свойство полной интегрируемости )
  • существование алгебраических инвариантов, имеющих основу в алгебраической геометрии (свойство, иногда называемое алгебраической интегрируемостью )
  • явное определение решений в явной функциональной форме (не внутреннее свойство, но то, что часто называют разрешимостью )

Интегрируемые системы можно рассматривать как качественные, сильно отличающиеся от более общих динамических систем, которые, как правило, представляют собой хаотические системы . Последние обычно не имеют сохраняющихся величин и асимптотически неразрешимы, поскольку сколь угодно малое возмущение в начальных условиях может привести к сколь угодно большим отклонениям в их траекториях за достаточно большое время.

Таким образом, полная интегрируемость является неуниверсальным свойством динамических систем. Тем не менее, многие системы, изучаемые в физике, полностью интегрируемы, в частности, в гамильтоновом смысле, ключевым примером которых являются многомерные гармонические осцилляторы. Другой стандартный пример - движение планеты либо вокруг одного фиксированного центра (например, Солнца), либо вокруг двух. Другие элементарные примеры включают движение твердого тела вокруг его центра масс ( волчок Эйлера ) и движение аксиально-симметричного твердого тела вокруг точки на его оси симметрии ( волчок Лагранжа ).

Современная теория интегрируемых систем была восстановлена с численным открытием солитонов по Мартину Крускал и Норман Забуски в 1965 году, что привело к обратной задаче рассеянию метод в 1967 году стало ясно , что существует вполне интегрируемые системы в физике , имеющие бесконечное число степени свободы, такие как некоторые модели волн на мелкой воде ( уравнение Кортевега – де Фриза ), эффект Керра в оптических волокнах, описываемый нелинейным уравнением Шредингера , и некоторые интегрируемые системы многих тел, такие как решетка Тоды .

В частном случае гамильтоновых систем, если есть достаточно независимые пуассоновский коммутирующий первые интегралы для параметров потока , чтобы иметь возможность служить в качестве системы координат на множествах инвариантного уровня ( листы по лагранжево слоению ), и если потоки будут завершены а множество уровней энергии компактно, отсюда следует теорема Лиувилля-Арнольда ; т.е. существование переменных действие-угол . В обычных динамических системах таких сохраняющихся величин нет; в случае автономных гамильтоновых систем энергия обычно является единственной, а на множествах уровней энергии потоки обычно хаотичны.

Ключевым элементом в характеристике интегрируемых систем является теорема Фробениуса , которая утверждает, что система является интегрируемой по Фробениусу (т. Е. Порождается интегрируемым распределением), если локально она имеет слоение на максимальные интегральные многообразия. Но интегрируемость в смысле динамических систем является глобальным свойством, а не локальным, поскольку требует, чтобы слоение было регулярным, с вложенными в лист подмногообразиями.

Интегрируемые системы не обязательно имеют решения, которые можно выразить в закрытой форме или в терминах специальных функций ; в настоящем смысле интегрируемость - это свойство геометрии или топологии решений системы в фазовом пространстве.

Общие динамические системы

В контексте дифференцируемых динамических систем понятие интегрируемости относится к существованию инвариантных регулярных слоений ; т.е. те, чьи слои являются вложенными подмногообразиями наименьшей возможной размерности, инвариантными относительно потока . Таким образом, существует переменное понятие степени интегрируемости, зависящее от размерности слоев инвариантного слоения. Это понятие имеет уточнение в случае гамильтоновых систем , известное как полная интегрируемость по Лиувиллю (см. Ниже), что чаще всего упоминается в этом контексте.

Расширение понятия интегрируемости также применимо к дискретным системам, таким как решетки. Это определение можно адаптировать для описания эволюционных уравнений, которые являются либо системами дифференциальных уравнений, либо уравнениями конечных разностей .

Различие между интегрируемыми и неинтегрируемыми динамическими системами имеет качественное значение регулярного движения по сравнению с хаотическим движением и, следовательно, является внутренним свойством, а не только вопросом того, может ли система быть явно интегрирована в точной форме.

Гамильтоновы системы и интегрируемость по Лиувиллю

В специальном контексте гамильтоновых систем мы имеем понятие интегрируемости в смысле Лиувилля . (См. Теорему Лиувилля – Арнольда .) Интегрируемость по Лиувиллю означает, что существует регулярное слоение фазового пространства на инвариантные многообразия, такое что гамильтоновы векторные поля, связанные с инвариантами слоения, порождают касательное распределение. Другой способ заявить об этом состоит в том, что существует максимальный набор коммутирующих инвариантов Пуассона (т. Е. Функций на фазовом пространстве, у которых скобки Пуассона с гамильтонианом системы и друг с другом обращаются в нуль).

В конечных размерах, если фазовое пространство является симплектическим (т.е. центра Пуассона алгебры состоит только из констант), она должна иметь четную размерность , и максимальное число независимых Пуассона коммутирующие инварианты ( в том числе самого гамильтониана) является . Слои слоения полностью изотропны относительно симплектической формы, и такое максимальное изотропное слоение называется лагранжевым . Все автономные гамильтоновы системы (т. Е. Те, для которых гамильтоновы скобки и скобки Пуассона не зависят явно от времени) имеют по крайней мере один инвариант; а именно сам гамильтониан, значение которого вдоль потока есть энергия. Если множества уровней энергии компактны, то слои лагранжевого слоения являются торами, а естественные линейные координаты на них называются «угловыми» переменными. Циклы канонической -формы называются переменными действия, а результирующие канонические координаты называются переменными действие-угол (см. Ниже).

Существует также различие между полной интегрируемостью в смысле Лиувилля и частичной интегрируемостью, а также понятие суперинтегрируемости и максимальной суперинтегрируемости. По сути, эти различия соответствуют размерам листов слоения. Когда количество независимых коммутирующих инвариантов Пуассона меньше максимального (но в случае автономных систем больше одного), мы говорим, что система частично интегрируема. Когда существуют дополнительные функционально независимые инварианты, помимо максимального числа, которое может коммутировать Пуассона, и, следовательно, размерность слоев инвариантного слоения меньше n, мы говорим, что система суперинтегрируема . Если существует регулярное слоение с одномерными слоями (кривыми), оно называется максимально суперинтегрируемым.

Переменные действие-угол

Когда конечномерная гамильтонова система полностью интегрируема по Лиувиллю и множества уровней энергии компактны, потоки полны, а слои инвариантного слоения являются торами . Затем существуют, как упомянуто выше, специальные наборы канонических координат на фазовом пространстве, известные как переменные действие-угол , такие, что инвариантные торы являются совокупностями совместного уровня переменных действия . Таким образом, они обеспечивают полный набор инвариантов гамильтонова потока (константы движения), а угловые переменные являются естественными периодическими координатами на торе. Движение на инвариантных торах, выраженное через эти канонические координаты, линейно по угловым переменным.

Подход Гамильтона – Якоби

В канонической теории преобразований существует метод Гамильтона – Якоби , в котором решения уравнений Гамильтона ищутся, сначала находя полное решение соответствующего уравнения Гамильтона – Якоби . В классической терминологии это описывается как определение преобразования в канонический набор координат, состоящий из полностью игнорируемых переменных; т.е. те, в которых нет зависимости гамильтониана от полного набора канонических координат «положения», и, следовательно, все соответствующие канонически сопряженные импульсы являются сохраняющимися величинами. В случае компактных наборов уровней энергии это первый шаг к определению переменных действие-угол . В общей теории дифференциальных уравнений в частных производных типа Гамильтона – Якоби полное решение (т.е. решение, зависящее от n независимых постоянных интегрирования, где n - размерность конфигурационного пространства) существует в очень общих случаях, но только в местный смысл. Следовательно, существование полного решения уравнения Гамильтона – Якоби ни в коем случае не является характеристикой полной интегрируемости в смысле Лиувилля. Большинство случаев, которые могут быть «явно интегрированы», включают полное разделение переменных , в котором константы разделения обеспечивают полный набор требуемых констант интегрирования. Только когда эти константы могут быть переинтерпретированы в рамках полного фазового пространства как значения полного набора коммутирующих функций Пуассона, ограниченных слоями лагранжевого слоения, система может считаться полностью интегрируемой в смысле Лиувилля.

Солитоны и обратные спектральные методы.

Возрождение интереса к классическим интегрируемым системам произошло с открытием в конце 1960-х годов, что солитоны , которые представляют собой сильно устойчивые локализованные решения уравнений в частных производных, таких как уравнение Кортевега – де Фриза (которое описывает одномерную недиссипативную гидродинамику в неглубоких бассейнах), можно понять, рассматривая эти уравнения как бесконечномерные интегрируемые гамильтоновы системы. Их исследование приводит к очень плодотворному подходу к "интегрированию" таких систем, обратному преобразованию рассеяния и более общим обратным спектральным методам (часто сводимым к задачам Римана – Гильберта ), которые обобщают локальные линейные методы, такие как анализ Фурье, на нелокальную линеаризацию посредством решения связанных интегральных уравнений.

Основная идея этого метода состоит в том, чтобы ввести линейный оператор, который определяется положением в фазовом пространстве и который развивается под динамикой рассматриваемой системы таким образом, что ее «спектр» (в подходящем обобщенном смысле) является инвариантным. при эволюции, ср. Слабая пара . В некоторых случаях это обеспечивает достаточно инвариантов или «интегралов движения», чтобы сделать систему полностью интегрируемой. В случае систем, имеющих бесконечное число степеней свободы, таких как уравнение КдФ, этого недостаточно для уточнения свойства интегрируемости по Лиувиллю. Однако для подходящих граничных условий спектральное преобразование может быть фактически интерпретировано как преобразование в полностью игнорируемые координаты , в которых сохраняющиеся величины образуют половину дважды бесконечного набора канонических координат, и поток линеаризуется в них. В некоторых случаях это может даже рассматриваться как преобразование в переменные действие-угол, хотя обычно только конечное число переменных «положения» фактически являются угловыми координатами, а остальные некомпактны.

Билинейные уравнения и -функции Хироты

Другая точка зрения, возникшая в современной теории интегрируемых систем, возникла из вычислительного подхода, впервые предложенного Риого Хирота , который включал замену исходной нелинейной динамической системы билинейной системой уравнений с постоянными коэффициентами для вспомогательной величины, которая позже стала известна как -функция . Теперь они называются уравнениями Хироты . Хотя изначально он представлялся просто как вычислительное устройство, без какой-либо четкой связи с методом обратной задачи рассеяния или гамильтоновой структурой, он, тем не менее, дал очень прямой метод, из которого могли быть получены важные классы решений, такие как солитоны .

Впоследствии это было красиво истолковано Микио Сато и его учениками сначала для случая интегрируемых иерархий PDE, таких как иерархия Кадомцева-Петвиашвили , но затем для гораздо более общих классов интегрируемых иерархий, как своего рода универсальная фаза. пространственный подход, в котором, как правило, коммутирующая динамика рассматривалась просто как определяемая фиксированным (конечным или бесконечным) действием абелевой группы на (конечном или бесконечном) многообразии Грассмана. -Функции рассматривались как определитель оператора проекции из элементов группы орбиты до некоторого происхождения в грассманиане, а также уравнения Хироты как выражение отношения плюккеровых , характеризующего Плюккерово вложением грассманиана в projectivizatin из соответствующего образа определены ( бесконечное) внешнее пространство, рассматриваемое как фермионное фоковское пространство .

Квантовые интегрируемые системы

Есть также понятие квантовых интегрируемых систем.

В квантовой ситуации функции на фазовом пространстве должны быть заменены самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве , а понятие коммутирующих функций Пуассона заменено коммутирующими операторами. Понятие законов сохранения должно быть специализировано на локальных законах сохранения. Каждый гамильтониан имеет бесконечный набор сохраняющихся величин, заданных проекторами его собственным состояниям энергии . Однако это не предполагает какой-либо особой динамической структуры.

Чтобы объяснить квантовую интегрируемость, полезно рассмотреть случай свободных частиц. Здесь вся динамика сводится к одному телу. Квантовая система называется интегрируемой, если ее динамика сводится к двум телам. Уравнение Янга – Бакстера является следствием этой сводимости и приводит к тождествам следов, которые обеспечивают бесконечный набор сохраняющихся величин. Все эти идеи включены в квантовый метод обратной задачи рассеяния, в котором алгебраический анзац Бете может использоваться для получения явных решений. Примеры квантовых интегрируемых моделей являются модели Либа-Линигер , то модель Хаббарда и несколько вариаций на модели Гейзенберга . Некоторые другие типы квантовой интегрируемости известны в явно зависящих от времени квантовых задачах, таких как управляемая модель Тэвиса-Каммингса.

Точно решаемые модели

В физике полностью интегрируемые системы, особенно в бесконечномерном пространстве, часто называют точно решаемыми моделями. Это затемняет различие между интегрируемостью в гамильтоновом смысле и в более общем смысле динамических систем.

В статистической механике также есть точно решаемые модели, которые более тесно связаны с квантовыми интегрируемыми системами, чем с классическими. Два тесно связанных метода: подход анзаца Бете в его современном понимании, основанный на уравнениях Янга – Бакстера, и квантовый метод обратной задачи рассеяния, обеспечивают квантовые аналоги обратных спектральных методов. Они не менее важны при изучении разрешимых моделей в статистической механике.

Также иногда используется неточное понятие «точная разрешимость», означающее: «Решения могут быть явно выражены в терминах некоторых ранее известных функций», как если бы это было внутренним свойством самой системы, а не чисто вычислительной особенностью, которая у нас есть некоторые «известные» функции, в терминах которых могут быть выражены решения. Это понятие не имеет внутреннего значения, поскольку то, что понимается под «известными» функциями, очень часто определяется именно тем фактом, что они удовлетворяют определенным заданным уравнениям, и список таких «известных функций» постоянно растет. Хотя такая характеристика «интегрируемости» не имеет внутренней достоверности, она часто подразумевает вид регулярности, которого следует ожидать в интегрируемых системах.

Список некоторых известных классических интегрируемых систем

Классические механические системы (конечномерное фазовое пространство)
Интегрируемые решетчатые модели
Интегрируемые PDE в 2 + 1 измерениях

Смотрите также

Связанные области

Некоторые ключевые участники (с 1965 г.)

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки

Примечания