Солитоны: Модели для наглядного представления и двумерные скирмионы

12 Июн в 13:00

Предыдущие статьи цикла:

Трехмерные модели используют сложный математический аппарат: матрицы Паули или поля из унитарных матриц. К тому же их трудно визуализировать и поэтому они довольно абстрактны. Поэтому в данной статье мы теперь рассмотрим аналогичные, но «настольные модели» — двумерные и одномерные — которые могут быть реализованы материально. Один из примеров более простой 2D модели — модель Скотта, её вполне можно сконструировать из доступных материалов. Другим примером является магнитный скирмион, который можно наблюдать, например, в микроскопе. Третий пример — модель Эластика Эйлера сделанная из проволоки. Используя более простые модели мы можем развить более интуитивное понимание поведения, стабильности, других сложных концепций топологических солитонов. И хотя эти модели не раскрывают все свойства своих 3D аналогов, они представляют собой более доступную отправную точку для изучения топологических солитонов и развития понимания их свойств.

Модель Скотта

Она придумана А. С. Скоттом в 1969 году, то есть уже после того, как было выведено уравнение синус-Городна (СГ). Напомним из предыдущих частей, что оно появляется в нескольких моделях. Уравнение описывает дефекты кристалла в модели Френкеля-Конторовой (ФК) (1939). К этому же уравнению пришел независимо Тони Скирм, кардинально упростив свою модель барионов (1958-1962) с трехмерного до одномерного случая.
Примерно в тоже время оно появилось при исследованиях самоиндуцированной прозрачности (1958), контактах Джосефсона (1965).

Возник вопрос: если нелинейные явления так широко распространены, почему же их не изучают в начальных учебных программах по прикладным наукам? Тогда считалось будто эти явления находятся в областях слишком сложных для начальных курсов. В своей статье А. С. Скотт решил показать, что это не так, и сконструировал наглядную механическую модель вполне доступную для рассмотрения старшеклассниками.

Описание

Общий вид модели показан на изображениях:

Модель Скотта в современном механическом исполнении и схема. Вакуумное состояние.(Cuevas-Maraver, Kevrekidis и Williams 2014, стр. 114) — Модель Скотта в современном механическом исполнении и схема. Вакуумное состояние.
(Cuevas-Maraver, Kevrekidis и Williams 2014, стр. 114)

Модель несложно сделать на уроках труда. Даже удивительно, что она была сделана во время «солитонного бума», а не на столетие раньше, уже тогда можно было наглядно показать механическую модель волн-частиц подчиняющихся Лоренц-преобразованию. Конструкция состоит из множества обычных маятников прикрепленных к длинной струне, достаточно хорошо натянутой и упругой по скручиванию, выполняющую роль аналогично торсионной подвеске. Маятники располагаются равномерно, на одинаковом расстоянии друг друга. Каждый маятник сделан из жесткой спицы, к её нижнему концу закреплен груз. Для регулирования силы скручивания дополнительно можно использовать длинную пружину нанизанную на эту струну и тоже соединенной с маятниками. При этом крепление маятников к струне выполнено таким образом, что они могут отклоняться и вращаться только в плоскости перпендикулярной струне.

Рассмотрим силы определяющие поведение модели. Как и в обычном маятнике, на них действует сила гравитации стремящаяся возвратить их в нижнюю точку равновесия. Для больших амплитуд сила отклоняющая маятник нелинейна, она зависит от синуса угла отклонения, таким образом маятники будут привносить в модель нелинейность. Кручение струны имеет линейную зависимость: момент сил создаваемый участком струны между маятниками пропорционален углу ее закручивания, то есть разнице положений маятников между собой. Таким образом участки струн расположенные с двух сторон от каждого маятника будут стремить каждый маятник занять промежуточное положения относительно своих соседей. То есть если сравнивать с моделью ФК, то струна играет такую же роль как пружины между шариками-атомами в модели ФК.

Посмотрим какие конфигурации могут наблюдаться в этой модели. Самое простое состояние получается, когда все маятники находятся в самом нижнем положении и неподвижны.

Модель Скотта. Схематическое изображение. Вакуумное состояние.

Мы будем называть его «вакуумным» или «нулевым», потому что в этой конфигурации у маятников потенциальная энергия в гравитационном поле, потенциальная энергия кручения струны и кинетическая энергия маятников равны нулю. Суммарные силы и моменты сил также равны нулю: суммарный момент сил действующих на маятник нулевой, так как кручение участков струны слева и справа одинаковое, а его положение относительно поля гравитации не отклоненное. Момент импульса тоже нулевой, раз скорости вращений маятников относительно струны равны нулю.

Кинк, антикинк

Более интересное статическое решение можно получить из «вакуумного» состояния таким образом: возьмемся рукой за самый крайний маятник, совершим им полный оборот вокруг струны, а затем зафиксируем маятники расположенные по краям модели. С одной стороны струна будет стремиться выровнять маятники, чтоб соседние не сильно отклонялись друг от друга. С другой стороны сила тяжести будет пытаться все маятники повернуть вниз. Но полностью вернуть все маятники в вертикальное положение не получиться из-за их связанности: невозможно без разрывов опустить все маятники вниз, аналогично тому, как перекрученную ленту с закрепленными концами невозможно разгладить без складок или разрывов (то есть это связано с топологическими вопросами подробней рассмотренных ниже). Поэтому, когда мы погасим движение маятников вызванное вмешательством, то получится конфигурация изображенная на данном рисунке:

Фотография механическая модели Скотта сконструированная им самим. Состояние кинка.(Scott 1969 ) — Фотография механическая модели Скотта сконструированная им самим. Состояние кинка.
(Scott 1969 )

Такая конфигурация (или другими словами состояние модели) будет локализована в пространстве. Для коротких моделей она займет положение примерно посередине из-за краевых эффектов ограниченной по размерам модели. Поиграв с моделью можно убедиться, что при попытке руками приблизить солитон к границам он будет отталкиваться от закрепленных концов модели.

Теперь договоримся о терминах. Как и для одиночной дислокации модели ФК, такое состояние называют «кинком«, от слова изгиб, потому что функция состояния похожа на сигмоид. В модели Скотта функция состояния задается углом отклонения маятника в зависимости от координаты вдоль струны. Иногда это состояние называют «2 пи импульсом», поскольку при изменении координаты от крайних точек функция состояния изменяется на соответствующие значение (измерение угла проводится в радианах) .

Далее важно понятие об отслеживании, играет важную роль в топологическом рассмотрении. Если мы будем отслеживать изменение координаты вдоль струны слева направо и одновременно отслеживать угол поворота маятника, то нам будет казаться, что маятник совершает один оборот на угол «2 пи». Подобную процедуру ниже мы расширим и на двумерный случай и покажем что заряд определяется числом обертывания вектора вокруг сферы при отслеживании его по координатной плоскости.

Условимся считать положительным углом поворот по часовой стрелке, если смотреть вдоль ось модели справа. Если у кинка маятники при последовательном рассмотрении их слева направо угол увеличивается, будем считать этот кинк с положительным зарядом.

Схематическое изображение состояния "кинк" в модели Скотта. Шарики расположенные дальше от зрителя обозначены более блекло. — Схематическое изображение состояния «кинк» в модели Скотта. Шарики расположенные дальше от зрителя обозначены более блекло.

Можно повернуть крайний маятник в другую сторону, тогда будем считать, что заряд отрицательный и назвать решение антикинк.

Схематическое изображение состояния "антикинк" в модели Скотта — Схематическое изображение состояния «антикинк» в модели Скотта

Можно поиграть с этой механической моделью создавая несколько солитонов с разными зарядами и наблюдать как будет развиваться система и по каким причинам. Например, солитоны имеющие положительный заряд (кинки) отталкиваются друг от друга. А солитоны имеющие разный заряд (кинки и антикинки) притягиваются друг к другу и аннигилируют.

Итак, в сконструированной таким образом модели могут существовать устойчивые локализованные (уединенные) объекты упруго взаимодействующие между собой. Далее рассмотрим чем обусловливаются такие свойства подробней. Для этого нам поможет изучение топологической устойчивости, энергетической устойчивости и законы поведения в виде уравнения.

Связь топологии с зарядами

Наглядно объяснить закон сохранения топологического заряда в модели Скотта довольно просто. Сначала можно «отключить» силу тяжести. Для этого уберем у маятников грузы. Теперь упругую по кручению струну можно заменить простой упругой лентой, а спицы маятников будут только иллюстрировать состояние угла её закрутки.

(Додд и др. 1988, стр. 425 ), (Finkelstein и Misner 1959 )

Закрепим один концы ленты, а другой повернем на угол $2 \pi$ ( $360^{\circ}$ ) и закрепим его тоже. Тогда скрутка окажется в «ловушке»: она не может быть удалена, так как блокирована граничными условиями. Когда наблюдатель двигается взглядом слева направо вдоль оси, то ориентация вектора маятника меняется, как будто бы он поворачивается на угол $2 \pi$ . Мы можем прижав пальцами ленту переместить скрутку к одному из концов, но после разжатия пальцев силы упругости вернут ее почти в исходное состояние.

Проведем еще один опыт, на базе первого, но прежде чем освободить скрутку пальцами, мы освободим ленту у другого конца и прежде чем его закрепить повернем ленту тоже на угол $2 \pi$ , но уже в противоположенном направлении, и снова зафиксируем этот конец ленты. Таким образом мы получим две разнонаправленные скрутки. Когда мы их освободим, они начнут двигаться навстречу друг к другу, подобно частицам с зарядами разных знаков, и при встрече происходит их аннигиляция, после которой лента возвратится в исходное не перекрученное состояние. Останутся лишь остаточные колебания, подобно тому как электрон и позитрон после аннигиляции передают свою энергию электромагнитному полю.

Схематическое такое состояния изображено на рисунке:

`Схематическое изображение состояния соответствующая двум разноименным заряженным "кинкам".`

Здесь волнообразная поверхность символизирует нелинейную силу тяжести действующую на маятник в зависимости от отклонения. Веревка символизирует непрерывность. Полный заряд в системе определяется как разница между положениями концов веревки. Так как концы веревки закреплены, то как бы не изменялось общее положение веревки, суммарный заряд не изменится. В данном случае так как оба конца веревки на изображенном выше рисунке находятся в одной ложбинке, то общий заряд равен нулю.

На более строгом топологическом языке формулировка записывается так: как бы не развивалась динамика ленты, ее конфигурация будет принадлежать одному гомотопическому классу, которые определяются разницей углов поворота на концах. Также топологический заряд связан с числом оборотов кривой вокруг точки. При взгляде вдоль струны кривая будет соответствовать концам маятников, а точка вокруг которой описана кривая, соответствует оси струны.

Теперь запишем формулу заряда и его плотности для одномерной модели в непрерывном пределе. Для этого расстояние между маятниками устремим к нулю, а положение маятников зададим функций состояния модели.

Плотность топологического заряда в зависимости от этой функции определяется как:

$\mathcal{B} = \frac{1}{2\pi} \varphi_x$

Здесь функция $\varphi$ обозначает угол отклонения маятника в зависимости от его положения на струне, а индекс — частную производную вдоль пространственной оси.

Заряд всей системы, «просуммированная» плотность по всем участкам, определяется как интеграл плотности заряда:

$B = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathcal{B} \mathrm{d} x = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} u_x \mathrm{d} x = \frac{1}{2\pi}(u(\infty) - u(-\infty))$

То есть для такого одномерного случая он вычисляется просто как разница углов отклонения маятников на границах (в идеальной модели границы расположены на бесконечности).

Вывод уравнения

Для детального изучения модели нам понадобиться знать точный закон ее поведения, так как очень многие вещи мы понимаем в терминах математики. На языке математики закон поведения модели формулируется через уравнение в частных производных, которое легко выводиться из простых законов механики описанной выше механической модели. Вывод уравнения аналогичен модели ФК и с точностью до констант получится тоже самое уравнение СГ, которое описывает модель ФК. И хотя процесс вывода уравнения, возможно, покажется повторением, тем не менее мы его приведем, так как в нем обнаруживаются важные отличия и некоторые зачатки нового «трехмерного» математического аппарата, который нам пригодится в будущем при рассмотрении объемных моделей. Например, для описания состояния и взаимодействия в модели ФК использовались скалярные величины. А при выводе уравнения в модели Скотта можно использовать понятие момент силы, который в общем случае является векторным произведением трехмерных векторов (радиус-вектора точки, к которой прилагается сила, и вектора этой силы).

Подробности вывода уравнения приведем под катом:

Вывод уравнения СГ из модели Скотта

Схематичное изображение отклоненных на соответствующие углы маятников

При отклонении маятника на некоторый угол, момент сил тяжести будет равен

$M_g = - m g l \sin \varphi_j$

где
— масса грузика на маятнике,
— ускорение свободного падения,
— длина маятника,
$\varphi_j$ — угол поворота маятника под номером вдоль струны.

Теперь рассмотрим влияние упругой струны. Моменты силы действующий на маятник складывается из крутящих моментов двух соседних участков струн.
Левый участок струны, расположенный между маятниками под индексами и вызывает крутящий момент:

$M_{-} = - \frac{T}{\lambda} (\varphi_{j} - \varphi_{j-1})$

а правый участок струны (между маятниками и ) имеет момент кручения:

$M_{+} = \frac{T}{\lambda} (\varphi_{j+1} - \varphi_{j})$

где
$\lambda$ — расстояние между маятниками
— модуль кручения струны

Сумма моментов кручения вызывает изменение момента импульса во времени:

$\frac{d L}{dt} = M_g + M_{-} + M_{+}$

В свою очередь момент импульса связан с моментом инерции маятника и его угловой скоростью вращения :

а угловая скорость определяется просто как изменение угла поворота маятника за единицу времени:

$w = \frac{d \varphi_j}{d t}$

Объединяя вышеприведенные формулы и выражая их через углы поворота получаем систему уравнений:

$ml^2 \frac{d^2}{dt^2} \varphi_j = - mgl \sin \varphi_j + \frac{T}{\lambda} \left((\varphi_{j+1} - \varphi_{j}) - (\varphi_{j} - \varphi_{j-1})\right)$

Теперь перейдем к непрерывному пределу.

Уменьшая расстояние между маятниками все меньше и меньше, мы также будем пропорционально уменьшать массу каждого маятника так, чтобы удельная масса маятников на струне сохранялась.
Разница между углами поворота маятников деленное на расстояние между ними будет стремиться к производной вдоль оси струны исходя из определения производной:

$\lim_{\lambda \rightarrow 0 } \frac{\varphi_{j+1} - \varphi_{j}}{\lambda} = \frac{\partial \varphi}{\partial x}$

А разница самих производных деленное на расстояние будет стремиться ко второй производной:

$\lim_{\lambda \rightarrow 0 } \frac{(\varphi_{j+1} - \varphi_{j}) - (\varphi_{j} - \varphi_{j-1})}{\lambda^2} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}$

Таким образом получаем

$\rho l^2 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} - \rho g l \sin \varphi$

Договорившись обозначать индексами частные производные

$\rho l^2 \varphi_{tt} - T \varphi_{xx} = - \rho g l \sin \varphi$

приходим к уравнению:

$\varphi_{tt} - \frac{T}{\rho l^2} \varphi_{xx} = - \frac{g}{l} \sin \varphi$

которое можно записать как :

$\varphi_{tt} - c^2 \varphi_{xx} = - w_{0}^2 \sin \varphi \qquad \qquad(1)$

где коэффициенты связаны с физическими параметрами модели по формулам

$c^2 = \frac{T}{\rho l^2}, \quad w_0^2 = \frac{g}{l}$

Сейчас оно известно как уравнение Синус-Гордона.

Для упрощения ниже написанных формул мы иногда в этом уравнении будем полагать . Мы будем называть его сокращенной формой уравнения СГ.

Замечание 1

Если придерживаться строгой векторной формулировки в трехмерном пространстве, то векторы моментов сил, импульса и векторы угловых скоростей маятников будут направлены только по единственной оси, вдоль струны, вокруг которой вращаются маятники. Поэтому для данной простой модели можно оперировать скалярными величинами не забывая учитывать их знаки.

Замечание 2

Вообще говоря, есть два варианта рассматривать механическую модель. Можно перейти к пределу непрерывной среды, считая расстояние между маятники очень малым.
Или можно рассматривать дискретные модели, которые учитывают отдельные маятники и где появляются некоторые эффекты на микромасштабе. Но дискретные модели достойны отдельного рассмотрения и, желательно, после анализа более простого непрерывного варианта.

Замечание 3

Для кругозора приведем также частные предельные модификации модели. Если в уравнении обнулить параметр , например, через обнуление модуля кручения струны, получится вариант будто упругая струна и пружина связывающая маятники отсутствует, каждый маятник будет вести себя как отдельный, и уравнение перейдет в точности такую же форму как у математического маятника.
А если «отключить» силу тяжести, уравнение превратится в обычное линейное волновое, волны в котором распространяются со скоростью

Движущийся кинк, антикинк

Теперь мы можем перейти к математическому описанию не только стационарных решений но и к динамических.

Стационарный кинк можно вывести из состояния покоя и заставить двигаться в ту или иную сторону, подтолкнув маятник в вершине горба. Если модель достаточно длинная, то можно наблюдать его поступательное движения, пока он не оттолкнется от границы:

Анимация движущегося кинка со скоростью 0.2

При этом, если мы подтолкнем маятник более резко, то заметим, что с увеличением скорости кинк «сжимается», становится короче по размерам:

Анимация движущегося кинка со скоростью 0.9

Раз уравнение, которое описывает модели ФК и Скотта, одинаковое с точностью до коэффициентов, то и формулы их решений моделей будут совпадать. Отличия будут только в смыслах переменных состояния. В модели ФК она описывает величину смещения грузика-атома относительно ямок периодической подложки, а в модели Скотта переменной состояния является угол отклонения каждого маятника.

Формулу которая описывает движущийся кинк, можно получить из известного стационарного решения следующим образом:

Получение формулы движущегося кинка

Краевые условия мы будем считать такими, что положения маятников расположенных на концах, в пределе на бесконечности, находятся в положении вертикально вниз. То есть их углы равны 0 или кратны полному обороту $2 \pi$

Формула стационарного решения типа «кинк»:

$u(x) = 4 \operatorname{arctg} (e^{x})$

Движущийся солитон типа «кинк» мы будем искать как функцию с сохраняющимся профилем при движении со скоростью то есть в виде $u(x, t) = f(\gamma (x - vt - x_0))$ , где — искомая функция от одного переменного, $\gamma$ — неопределенный пока множитель.
Производную функции обозначим как $\frac{d}{dg} f = d_{g} f = f'$

Тогда

$u_{xx} = \gamma^2 f''$ $u_{tt} = \gamma^2 v^2 f''$

Подставляя в уравнение получим для данной функции равенство:

$f'' \gamma^2(1-v^2) = \sin f$

которое сводиться к $f'' = \sin f$ если выбрать множитель (называемый Лоренц-фактором)

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}$

Решение стационарного «кинка» при $v=0, \gamma=1$ нам известно, тогда формула двигающегося «кинка».

$u(x, t) = 4 \operatorname{arctg} e^{\gamma \left(x - vt - x_0\right)}$

где — скорость движения, — начальное положение, $\gamma$ — Лоренц-фактор.
Антикинк закручен в противоположенную сторону, поэтому его формула будет такой же, только изменен знак.

Величина сжатия соответствует Лоренц преобразованием, в общем случае (для других решений) это также следует из того, что уравнение СГ Лоренц-ковариантно. Впрочем, на коротких моделях Скотта наблюдать точную зависимость степени сжатия от скорости затруднительно.

Чтоб наглядней посмотреть как модель и данные формулы решений выглядят в динамике можно воспользоваться интерактивной реализацией на WebGL (Ссылки: Кинк и Антикинк):

Скриншот с интерактивной визуализации модели Скота на WebGL

Хотя энергетические формулы на более строгом уровне мы рассмотрим ниже, но уже на данном этапе можно интуитивно порассуждать, почему в модели Скотта солитону нельзя преодолеть скорость света, и почему при приближении к ней, запасенная в нем энергия стремиться к бесконечности. Считаем, что маятники расположены очень часто и на очень небольшом расстоянии. При сильном сжатии кинка ( $\gamma \gg 1$ ) кручение пружин между маятниками увеличится с тем же коэффициентом $\gamma$ . В аналитическом рассмотрении это означает, что пространственная производная увеличится таким же образом.
Если бы мы суммировали одно только кручение, то за счет того, что сжатый кинк задействует меньшее число маятников (переменная интегрирования уменьшилась бы в $\gamma$ раз), мы бы получили неизменный результат.

Но энергия кручения пружины имеет квадратичную зависимость. В аналитическом рассмотрении плотность энергии сил кручения, соответственно, тоже квадратична. Поэтому проинтегрированная плотность энергии сил кручения возрастет в $\gamma^2/\gamma = \gamma$ раз.
Кинетическая энергия маятников тоже увеличится. При большом сжатии и движении кинка в его центре маятник должен будет двигаться почти по плоскому кругу. Раз кинк движется, то скорость вращения маятника будет прямо зависеть от разницы положений между маятниками (то есть от кручения пружин). Раз сжатие большое, то маятник должен будет успеть совершить оборот за очень короткое время. И хоть в это движение вовлечено пропорционально меньше маятников, но кинетическая энергия маятника квадратично зависит от скорости. В интеграле плотности кинетической энергии $\gamma$ опять сократится, и он станет равным $\gamma v/c E_0$

Таким образом получается что энергия, которая требуется для разгона к околосветовой скорости стремится к бесконечности.
Теперь перейдем к другим типам решений.

Бризер

Решения типа «Бризер» (от слова «дышащий») в модели ФК трудно представимо в динамике, а вот в модели Скотта его можно создать очень просто: взять один из маятников в середине модели, за ним следом потянутся и соседние, а потом отпустить его. После некоторого короткого времени маятники станут совершать периодические колебания синхронным образом.

Считаем, что всякие шумы в виде волн убегут за края. Также полагаем, что потери диссипативных сил (сил трения) ничтожными и тогда бризер будет «дышать» долгое время, а
математически, так как в уравнение потери отсутствуют полностью — бесконечно долго.

Интерактивную реализацию бризера на WebGL можно рассмотреть здесь, в ней можно изменять частоту, наблюдая при этом как меняется форма бризера. А аналитически рассмотреть поведение нам поможет формула решение типа «бризер», которую мы приведем без вывода:

$\varphi(x, t) = 4 \operatorname{arctan}{\left(\frac{\sqrt{1 - w^{2}} \cos{\left(t w \right)}}{w \cosh{\left(x \sqrt{1 - w^{2}} \right)}} \right)}$

Из формулы видно, что частота не может превышать единицу (для сокращенного уравнения СГ).

Как и в случае с обычным маятником, при увеличении амплитуды период колебаний увеличивается (частота колебаний уменьшается).

При близких значений частоты к единице, амплитуда бризера будет мала, но ширина бризера увеличивается. Маятники словно бы качаются все вместе, и интуитивно понятно, что их частота колебаний будет стремиться к частоте малых колебаний одиночного маятника, то есть к единице.

При малых частотах, то есть когда период бризера стремится к бесконечности, он становится все более похожим на связанное состояние кинка и антикинка, притягивающихся друг к другу.

Энергия бризера выражается как (Абловиц и Сигур 1987, с. 49—52 ):

$E = 2 E_0 \sqrt{1 - w^2}$

где — энергия покоящегося кинка

Из формулы видно, что при устремлении частоты к нулю, соответственно период будет стремится к бесконечности, энергия бризера будет стремиться к удвоенной энергии кинка (антикинка).

В связанном состоянии энергия будет меньше удвоенной энергии кинка. То есть в некотором смысле можно говорить о «дефекте массы» и об «энергии связи».

Примечание 4

Какой может получится вариант, если в формуле энергии бризера подставить частоту больше единицы?

Взаимодействие солитонов

Теперь рассмотрим как локализованные объекты взаимодействуют между собой. Напомним, что отличительное свойство солитонов состоит в том, что они не распадаются после взаимодействия.

С помощью компьютерного моделирования Тони Скирм и Дж. Перинг (Perring и Skyrme 1962) при содействии студента Тони Леггерта (Aitchison 2020), рассмотрели лобовое столкновение солитонов для уравнения СГ . В то время из-за погрешностей в численных экспериментах даже для уравнений солитонного типа после взаимодействия образовывалось «излучение» в виде ряби, и поэтому было довольно трудно определить, является ли соударение действительно упругим. Тем не менее они нашли, а точнее угадали, формулу двусолитонного решение уравнения.

Мы ее уже приводили, когда описывали модель ФК:

Формула решения случая взаимодействия двух солитонов

$\varphi = 4 \arctan \left[ \left(\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2}\right) \frac{e^{\theta_1} - e^{\theta_2}}{1 + e^{(\theta_1 + \theta_2)}}\right]$

где

$\theta_i = \epsilon \frac{x - v_i t - x_{i0}}{2 \sqrt{1 - v_i^2}}$ $a_i = s \sqrt{\frac{1 - v_i}{1 + v_i}}$

— скорость соответствующего солитона, $x_{i0}$ — его положение в момент времени , $\epsilon, s \in \{1, -1\}$ знаками задают тип солитонов принимающих участие во взаимодействии (кинк-антикинк).
(Perring и Skyrme 1962), (Додд и др. 1988, с. 26), (Буллаф и Кодри 1983, с. 21),(Новокшенов 2002, с. 92), (Polyanin 2004)

Посмотрим как это формула «выглядит» в модели:

Анимация взаимодействия двух солитонов в модели Скотта. Автор: kanehisa takasaki

Интерактивная реализация на WebGL упругого столкновения частиц: Кинк-Кинк

Если же смотреть на пространственно-временную плоскость, на которой отображена плотность энергии, то можно получить схематичные изображения различных типов взаимодействий:

Примеры столкновений упругих солитонов. Вид на пространственно временные плоскости с плотностью энергии, показывающие ядра солитонов. Максимальная по пространственной координате плотность как функция времени. Приведены примеры столкновений между двумя кинками, кинком и антикинком, кинком и антикинком связанного состояния в виде "бризерного" решения, кинк и антикинк, (e) то же, что и в (d), но для ; и (f) две бризерных решения. (Cuevas-Maraver, Kevrekidis и Williams 2014, стр. 63 ) — Примеры столкновений упругих солитонов. Вид на пространственно временные плоскости с плотностью энергии, показывающие ядра солитонов. Максимальная по пространственной координате плотность как функция времени. Приведены примеры столкновений между двумя кинками, кинком и антикинком, кинком и антикинком связанного состояния в виде «бризерного» решения, кинк и антикинк, (e) то же, что и в (d), но для ; и (f) две бризерных решения. (Cuevas-Maraver, Kevrekidis и Williams 2014, стр. 63 )

Функционал энергии. Гамильтониан.

Выше мы приводили формулы полной энергии решений. Здесь рассмотрим откуда они получаются.

На каждом участке модели энергия складывается из трех составляющих:
потенциальная энергия сил кручения струны $\varphi_x^2/2$
кинетическая энергия движения $m \varphi_t^2/2$ ,
и потенциальная энергия сил поля тяжести $mgl (1- \cos \varphi)$

Переходя к непрерывному пределу плотность энергии (то есть удельная энергия по отрезку ) в каждой точке состоит из трех частей:

$\rho_1 = \frac{1}{2} \varphi_x^2$ — потенциальная энергия кручения (аналогично энергии пружины)

$\rho_2 = \frac{1}{2} \varphi_t^2$ — кинетическая энергия вращения маятника

$\rho_3 = 1 - \cos \varphi$ — потенциальная энергия маятника в поле сил тяжести

Значит функционал энергии, сумма интегралов плотностей, рассчитывается по формулам (для краткости мы опустим коэффициенты, то есть в без размерном виде):

$E = E_1 + E_2 + E_3 = \int \limits_{-\infty}^{\infty} \left( \underbrace{\frac{1}{2} \varphi_x^2}_{\text{кручения}} + \underbrace{\frac{1}{2} \varphi_t^2}_{\text{кинетическая}} + \underbrace{1 - \cos \varphi}_{\text{гравитационная}} \right) dx \label{_eq_energy}$

Теперь для стационарных решений мы можем определить массу покоя через полную энергию деленную на квадрат константы . С другой стороны мы можем ее определить через полную массу, связанную через отношения импульса от скорости решения.
Особенность уравнения СГ состоит в том, что они совпадают в точности, в то время как в некоторых других моделях отношение «инерциальной» и «энергетической» массы может различаться. Кстати, такого рода нарушение возникает уже в электромагнитных моделях частиц, что уже в конце позапрошлого века вызвало вопросы к электродинамике и способствовало созданию расширенных теорий таких как СТО (Fejnman 1977 ).

Особенности, локальное и глобальное пространство, пути расширения модели

Модель Скотта обладает отличиями от модели ФК, несмотря на то, что они обе могут быть описаны одним и тем же математическим уравнением. И эти особенности важны, так как сказываются на способы ее расширения на многомерные случаи.

В модели ФК, пространство, в котором находится переменная , наглядней отделяется от пространства, в котором находится сама модель Скотта. В модели ФК грузики перемещаются вдоль пространственной оси . А в модели Скотта маятники не перемещаются вдоль оси , они двигаются в плоскости перпендикулярной пространственной оси.
Пространство, в котором находится переменная называется локальное. Пространство , которое составляет параметры (аргументы) функции состояния называется глобальное пространство (или просто пространство).

В будущем нам, скорее всего, захочется построить более сложные модели на основе простых, и такой процесс называется расширение или обобщение модели. Как расширять глобальное пространство в общем-то понятно: например, при переходе от одномерной модели к двумерным или трехмерным просто добавляются пространственные оси. А вот с локальным пространством могут быть варианты. И размерность локального пространства, вообще говоря, не обязательно должна совпадать с размерностью глобального.

Например, вместо маятников на тонкой спице можно вообразить маятники в виде объемного твердого тела (типа камня или подобного твердого предмета несимметричного по форме или окраске, чтоб понимать его пространственную ориентацию). Математически ориентация твердого тела с неподвижной точно может задаваться, например, несколькими параметрами (углами Эйлера или единичными кватернионами). Единичные кватернионы можно представить 4-мерным единичными вектором, матрицами Паули, специальными унитарными матрицами. Если при этом глобальное пространство будет трехмерное (для топологической устойчивости), то мы придем к нелинейной сигма-модели, которую рассматривали в прошлой статье. Нам только останется добавить стабилизирующий терм Скирма и прийти к одноименной модели.

Модель Скотта отличается от модели ФК и направлениями расширения. Для расширения модели ФК мы можем расширить решетку подложки до двухмерного случая. Она, аналогично решеткам кристаллов, может быть простой, например, квадратной, но может быть, например, и треугольной или шестиугольной как у графенов. Нелинейная функция изменения потенциала при перемещении от вакантного узла будет уже не простая одномерная синусоида, а более сложная функция пространственно-периодической структуры. Так как перестроение будет происходить в плоскости, а не на прямой, то соседние атомы могут, вообще говоря, потерять первоначальную связь друг другом. Дефекты в ней будут вести более сложным образом.

Наиболее распространенные механизмы диффузии атомов в кристаллах: 1 - обмен местами двух соседних атомов; 2 - обмен местами нескольких соседних атомов; 3 - перескок атома в вакансию; 4 - перескоки атомов в соседние междоузлия. Во всех случаях диффузии атомы должны преодолевать потенциальный барьер, происхождение которого связано главным образом с квантовыми силами отталкивания, сильно увеличивающимися при сближении атомов.Источники: 1) ТМИ, Физика конденсированных оптических сред. Лекция №2 2) Диффузия в кристаллах — Наиболее распространенные механизмы диффузии атомов в кристаллах: 1 — обмен местами двух соседних атомов; 2 — обмен местами нескольких соседних атомов; 3 — перескок атома в вакансию; 4 — перескоки атомов в соседние междоузлия. Во всех случаях диффузии атомы должны преодолевать потенциальный барьер, происхождение которого связано главным образом с квантовыми силами отталкивания, сильно увеличивающимися при сближении атомов.
Источники: 1) ТМИ, Физика конденсированных оптических сред. Лекция №2 2) Диффузия в кристаллах

Другой пусть расширения локального пространства модели Скотта, когда маятник остается в виде спицы, а не объемного твердого тела, но при этом мы позволим ему вращаться на шарнире, то есть теперь вместо того, чтобы ограничивать их вращение в одной компоненте (плоскости перпендикулярной струне), разрешим им свободно двигаться в двух направлениях, маятник будет иметь две степени свободы. Если мы строим модель с устойчивыми локализованными решениями, глобальное пространство тоже должно быть двумерным, маятники подвешиваются не к прямой, а к плоскости. Их можно представлять как трехмерный вектор из трех компонент связанный единичным условием $s^2 + \phi_1^2 + \phi_2^2 = 1$ (движение конца вектора будет происходить только по обычной сфере). Напомним из предыдущей статьи цикла, что согласно топологическому рассмотрению двумерное пространство можно соотнести со сферой с помощью стереографической проекции, а раз компоненты локального пространства также лежат на сфере, то существование топологических солитонов станет возможно.
Далее нужно расширить другие компоненты модели. Вместо силы кручения вдоль струны, на двумерной плоскости маятников нужно будет сконструировать их взаимодействие между собой по всем направлениям. Например, плотность энергии можно представить как сумму квадратов частных производных:

$T = \varphi_x^2/2 + \varphi_y^2/2$

Но для существования энергетически устойчивых солитонов, то есть не запрещенных теоремой Хобарта-Деррика, нужно добавить еще одну составляющую, с более высоким порядком производных или их сочетаний. В рассматриваемой в прошлой статье трехмерной модели Скирма он назывался термом Скирма. В двумерном случае он редуцируется до смешанного произведения тройки соседних векторов, которые также образуют некоторый телесный угол, и при отслеживании его по плоскости могут заметать сферу, определяя топологический заряд. Также двумерный терм Скирма можно выразить через площадь параллелепипеда, который образуют эта тройка векторов.

Маятники подвешенные к двумерной плоскости. Источник

Рассмотрим двумерный вариант подробней.

Плоские скирмионы

Существует несколько вариантов двухмерных топологических солитонов, включая, вихри и монополи, которые не ограничены в размерах. Если же мы ограничимся моделями в которых существуют ограниченных по размерам и энергии решения, то такие модели имеют два основных варианта: двумерная модель Скирма и магнитные скирмионы.

К двумерной модели Скирма можно прийти редукцией трехмерной, собственно из-за такого упрощения (можно сказать «уплощенния») модель еще называют «детской» (Baby Skyrme model), в ней степень стабилизирующего терма высокая.

Магнитные скирмионы пришли из области изучения топологических объектов в магнитных материалах и их стабилизирующие термы отличаются от двумерной версии терма Скирма.
На них возлагается надежда преодолеть физический предел развития современной электроники, который затормозился последнее время. Поскольку скирмионы малы и стабильны, в перспективе хранилище данных могут уменьшится до ста раз. Но магнитные скирмионы мы рассмотрим чуть позже, а начнем с плоской модели Скирма.

Напомним, что в трехмерной модели Скирма поля пионов скаляры были связаны условием

$\sigma^2 + \pi_1^2 + \pi_2^2 + \pi_3^2 = 1$

то есть четырехмерные вектора находились на сфере внутри четырехмерного пространства. Вместо векторов локальное пространство можно представить в виде специального унитарного поля . Топологическое соответствие задавалась отображением $S^3 \mapsto SU(2) \cong S^3$ .

Другой крайний случай, когда в одномерной модели Скотта поле задается двумерным вектором. В ней маятники находятся в плоскостях, которые перпендикулярны оси струны или пружины, через которую передается взаимодействие между маятниками.

Поэтому логично, что в двумерной модели Скирма размерность поля будет средним между размерностями трехмерной и одномерной моделей, и поле задается трехмерным вектором $\boldsymbol{\mathbf{\phi}} = (\phi_1, \phi_2, \phi_3)$ связанным условием

$\boldsymbol{\mathbf{\phi}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{\phi}} = \phi_1^2 + \phi_2^2 + \phi_3^2 = 1$

По аналогии с трехмерном случаем двумерное пространство также можно отобразить с помощью стереографической проекции, но уже с помощью «обычной сферы» в трехмерном пространстве. Так как трехмерный вектор поля тоже находится на обычной сфере, это задает топологию для классификации конфигураций поля с сохраняющимся топологическими зарядами.

Модель cкирмиона и его стереографической проекции. Иточник: Oxford. Prof Thorsten Hesjedal: Magnetic Skyrmions

Топологическая плотность для двумерной модели определяется через смешанное произведение вектора и токов:

$\mathcal{B} = \boldsymbol{\mathbf{\phi}} \cdot [\partial_x \boldsymbol{\mathbf{\phi}} \times \partial_y \boldsymbol{\mathbf{\phi}}]$

А целочисленный заряд, как обычно, просто интеграл от этой плотности, к которому добавлен коэффициент (площадь единичной сферы) нормирующий, чтоб в итоге получились целые числа.

$B = \frac{1}{4 \pi} \int \mathrm{d}^2 x \mathcal{B} = \mathbb{Z}$

Теперь подробней рассмотрим отслеживание в двумерном варианте. Геометрический смысл топологической плотности можно представить как телесный угол, который определяет тройка векторов $\boldsymbol{\mathbf{\phi}}$ расположенных соответственно в соседствующих точках на сетке , которые по трем точкам формирует квадрат на поверхности.

При отображении из на сферу они образуют телесный угол обозначенный фиолетовым цветом. одновременно квадрат А’B’C’D’ на котором они расположены, переносится на сферу с помощью стереографической проекции в виде зеленой площадки ABCD. Топологический заряд получается как число заметания (оборачивания) фиолетовой площадкой сферы, в то время как зеленая площадка оборачивает сферу только один раз.

Отметим, что у обоих изображенных ниже скирмионов заряд одинаков и равен единице:

Плотность лагранжиана

Плотность лагранжиана двумерной модели Скирма без учета коэффициентов записывается в виде:

$\mathcal{L} = \underbrace{\partial_{\mu} \boldsymbol{\mathbf{\phi}} \cdot \partial^{\mu} \boldsymbol{\mathbf{\phi}} }_{\text{упругое взаимодействие}}- \underbrace{\left[(\partial_{\mu} \boldsymbol{\mathbf{\phi}} \cdot \partial^{\mu} \boldsymbol{\mathbf{\phi}}) ^ 2 - (\partial_{\mu} \boldsymbol{\mathbf{\phi}} \cdot \partial_{\nu} \boldsymbol{\mathbf{\phi}}) \cdot (\partial^{\mu} \boldsymbol{\mathbf{\phi}} \cdot \partial^{\nu} \boldsymbol{\mathbf{\phi}}) \right]}_{\text{стабилизирующий терм, 2D терм Скирма}} - \underbrace{U(\phi_3)}_{\text{массовый терм}}$

(Gerald E. Brown и Rho 2010), (Rho и Ismail Zahed 2015), (N. Manton и Sutcliffe 2004), (Gudnason, Barsanti и Bolognesi 2021)

Здесь первая часть такая же как у сигма модели, вторая часть в квадратных скобках, она с высокими степенями производных — терм Скирма, а третья — «массовая» часть, определяет энергию отклонения от вакуумного значения $\boldsymbol{\mathbf{\phi}} = (0, 0, 1)$ . Массовую часть в простейшем случае можно представить как потенциальную энергия маятника в гравитационном поле: $1-\phi_3$ . Или как энергию отклонения магнитного момента в присутствии магнитного поля (энергия Зеемана вызывающая эффект Зеемана).

В трехмерной модели Скирма последний «массивный» член, может опускаться, но в двумерной модели он обязателен для существования энергетически устойчивого состояния. При этом им можно в определенных пределах «играть», например возводя в степень, что дает различные вариации модели (Hen и Karliner 2008).

Минимизируя полную энергию мы можем найти те или иные устойчивые конфигурации.

Подобная теоретическая модель и конфигурации нашла себя и в природе, когда взаимодействие позволило реализовать лагранжиан Скирма, при исследования намагниченных моментов, поэтому из называют «магнитные скирмионы»
Но при этом магнитные скримионы отличаются стабилизирующим термом. Рассмотрим магнитные скирмионы подробней.

Магнитные скирмионы

Взаимодействие магнитных моментов друг с другом зависит от магнитных материалов. В одних материалах магнитные моменты могут стремиться выравнивать направления в одну сторону, в других в противоположенные стороны. Еще они могут взаимодействовать с внешним полем (что приводит к анизотропности). А в некоторых материалах магнитные моменты могут предпочитать образовывать между собой некоторый угол, что как раз и способствует появлению устойчивых спиральных или вихревых структур. Но в общем случае работает смесь таких взаимодействий.

Для простых моделей обычно считают, что основное взаимодействие происходит между ближайшими соседями (next neighborhood, NN взаимодействие, хотя, вообще говоря, взаимодействие магнитных моментов может быть и на более дальних узлах). Ниже мы рассмотрим простой вариант. Пусть $\vec{s_i}, \vec{s_j}$ векторы магнитного спина в узлах соответственно. Тогда энергию их взаимодействия (Гамильтаниан) можно записать через матрицу обменных взаимодействий $\mathbf{J}_{ij}$

$\mathcal{H}_{\text{exc}} = - \frac{1}{2} \sum \limits_{ij} \vec{s_i} J_{ij} \vec{s_j}$

где суммирование идет по всем соседям.

$\mathcal{J}_{ij} = \left[\begin{matrix} J_{ij}^{xx} & J_{ij}^{xy} & J_{ij}^{xz} \\ J_{ij}^{yx} & J_{ij}^{yy} & J_{ij}^{yz} \\ J_{ij}^{zx} & J_ij^{zy} & J_{ij}^{zz} \\\end{matrix}\right]$

Матрицу обменных взаимодействий можно разложить через сумму компонент: диагональной, симметричной и кососимметричной матриц.

$\mathcal{J}_{ij} = \mathcal{J}_{ij}^{tr} \mathcal{I} + \mathcal{J}_{ij}^{S} + \mathcal{J}_{ij}^{A}$ $J_{ij}^{tr} = \operatorname{tr} \mathcal{J}_{ij}$ $\mathcal{J}_{ij}^{S} = \frac{1}{2}(\mathcal{J}_{ij} + \mathcal{J}_{ij}^{T}) - J_{ij}^{tr} \mathcal{I}$ $\mathcal{J}_{ij}^{A} = \frac{1}{2}(\mathcal{J}_{ij} - \mathcal{J}_{ij}^{T})$

где

первый отвечает за класическое Гейзенбервское взаимодействие,
второй за анизотропное,
а третий антисимметричное.

Первая компонента представляет изотропный (скалярный) обмен. Для ферромагнитных (ФМ) материалов обменная энергия отдает предпочтение соседним спинам, которые выстраиваются параллельно, а для антиферромагнитных (АФМ) материалов взаимодействие предпочитает, чтобы спины располагались антипараллельно, как показано на рисунке ниже. Это доминирующий член в гамильтониане, и он может быть на порядок больше, чем следующий по величине вклад.

Одномерная схема, иллюстрирующая влияние изотропных и антисимметричных обменных взаимодействий ближайших соседей в ФМ (вверху]) и АФМ (внизу) материалах.(Stosic и Dusan 2018)

Вторая компонента, безследовая симметричная часть, относится к анизотропному обменному взаимодействию. Она также известна как анизотропный обмен или двухпозиционная магнитная анизотропия.

Наконец, третий член — это антисимметричное обменное взаимодействие, антисимметричная часть, связана с взаимодействием Дзялошинского-Мория, которое приводит к нецентросимметричным спиновым структурам, таким как скирмионы.
Она возникает в результате механизма непрямого обмена с тремя узлами, который связывает два атомных спина с соседним атомом с большой спин-орбитальной связью.

Кососиметричную матрицы размером 3, можно представить через три параметра

$J_{ij}^{A} = \left[\begin{matrix} 0 & - D_{ij}^z & D_{ij}^y \\ D_{ij}^z & 0 & -D_{ij}^x \\ -D_{ij}^y & D_{ij}^x & 0\\\end{matrix}\right]$

из которых можно ставить вектор $\boldsymbol{\mathbf{D_{ij}}}$ , который называют вектор Дзялошинского-Мории (ДМ).

И тогда антисимметричную компоненту можно записать через скалярное произведения вектора ДМ на векторное произведение магнитных спинов:

$\frac{1}{2} \sum_{ij} \vec{s_i} J_{ij}^{A} \vec{s_j} = \boldsymbol{\mathbf{D_{ij}}} \cdot (\vec{s_i} \times \vec{s_j})$

Схема взаимодействия ДМ, , вызванного (a) непрямым обменом треугольника, состоящего из двух атомных спинов и , и атома с сильным спин-орбитальным взаимодействием (SOC), и (b) на границе раздела между ферромагнитным металлом (серый) и металл с сильным SOC (синий). Рисунок был адаптирован из (Fert, Cros и Sampaio 2013 ) — Схема взаимодействия ДМ, $D_{12}$ , вызванного (a) непрямым обменом треугольника, состоящего из двух атомных спинов и , и атома с сильным спин-орбитальным взаимодействием (SOC), и (b) на границе раздела между ферромагнитным металлом (серый) и металл с сильным SOC (синий). Рисунок был адаптирован из (Fert, Cros и Sampaio 2013 )

Гамильтониан взаимодействия из дискретного представления можно преобразовать в непрерывное приближение заменой суммирования по спинам на интегрирование по пространственно распределенной намагниченности.

В зависимости от конкретных значений вектора ДМ (в разных магнитных материалах) получаются те или иные формулы гамильтаниана анизотропоного взаимодействия. В одних вариантах может быть роторная часть, в других дивергенция или смесь, в зависимости от которой могут получаться вихревые структуры Блоховского или Нееловского типа.

Различные гамильтонианы в зависимости от материалов

Например, на границе раздела магнита и тяжелого металла типа Co/Pt векторы ДМИ ориентированы параллельно плоскости раздела, перпендикулярно связи атомов Co . В непрерывном приближении это выражается как

$H_\mathrm{interface}=\int \tilde{D}\Big(m_x\frac{\partial m_z}{\partial x}-m_z\frac{\partial m_x}{\partial x} + m_y\frac{\partial m_z}{\partial y}-m_z\frac{\partial m_y}{\partial y}\Big)\mathrm{d}^3r.$

Такое взаимодействие способствует скосу магнитных моментов. Как следствие, скирмионы нейлевского типа могут быть стабилизированы, что впервые наблюдалось на границе раздела Fe и Ir. Этот тип ДМИ и образующиеся в результате скирмионы сегодня хорошо изучены. В многостековых системах из магнитных и тяжелых металлов эффективную прочность ДМИ можно регулировать , изменяя размер и стабильность скирмионов Нееля. Кроме того, недавно было экспериментально продемонстрировано, что межфазный DMI может быть улучшен путем создания коррелированной шероховатости интерфейсов на масштабах атомных длин.

Разные выборки приводят к разным векторам ДМИ, поскольку симметрия инверсии нарушается по-разному. В материалах Гейслера слои уложены таким образом, что векторы DMI вдоль двух направлений связи имеют противоположные знаки.

$H_\mathrm{aniso}=\int \tilde{D}\Big(m_x\frac{\partial m_z}{\partial x}-m_z\frac{\partial m_x}{\partial x} -m_y\frac{\partial m_z}{\partial y}+m_z\frac{\partial m_y}{\partial y}\Big)\mathrm{d}^3r.\label{eq:DMIaniso}$

энергетически поддерживая антискирмионов.

В материалах B20, таких как MnSi, где инверсионная симметрия нарушена, DMI выражается как

$H_\mathrm{bulk}=\int \tilde{D}\Big(m_y\frac{\partial m_z}{\partial x}-m_z\frac{\partial m_y}{\partial x}+m_z\frac{\partial m_x}{\partial y}-m_x\frac{\partial m_z}{\partial y}+m_x\frac{\partial m_y}{\partial z}-m_y\frac{\partial m_x}{\partial z}\Big)\mathrm{d}^3r,$

что приводит к стабильности блоховских скирмионов.
В принципе, низкосимметричные решеточные структуры или наноструктурирование позволяют генерировать дополнительные типы ДМИ, приводящие к стабилизации альтернативных топологически нетривиальных возбуждений в магнетиках.

Таким образом получается достаточно обширные вариации тех или иных видов плоских скирмионов. Кроме того, они могут образовывать и объемные структуры (в виде трубок, струн) или кристаллов, когда множество магнитных скирмионов образовывают упорядоченные структуры. Основные типы таких структур представлены на изображении ниже:

Интерактивная визуализация на WebGL

Для лучшего представления рассмотренных выше вариантов плоских скирмионов можно поиграть с интерактивной моделью плоских скирмионов в броузере на WebGL. В ней можно выбрать тот или иной вариант модели (Menu — Model — name), начальные условия (initial state), а также запустить задачу оптимизации, в данном случае минимизацию энергии.
Кому интересны технические подробности реализации: исходный код выложен на gitflic. Тот или иной вариант гамильтаниана реализован через тензоры на PyTorch, так же как и обучаемая модель оптимизации. Для того чтобы иметь возможность запускать ее в броузере, модель экспортируется в onnx, причем не только runttime вариант, но и градиентным графом. На JS используется оптимизатор Adam, SGD или RMSprop (можно выбрать в меню), и все это подключается к WebGL сцене.

История

«Позволю себе – просто 30 секунд или одну минуту – маленькую историческую справку дать.»

Топологические объекты в магнетизме привлекали внимание физиков со времен ранних работ по доменным границам Блоха (1930) и Ландау-Лифшица (1935). С участием Гейзенберга Блох дал первое аналитическое описание доменной стенки в ферромагнетике до того, как Ландау и Лифшиц разработали более полное феноменологическое описание ферромагнетиков, включая их динамику.

Первая попытка микроскопического описания магнетизма была сделана в (1920-1925) Вильям Ленц задал задачу своему студенту Эрнсту Изингу решить уравнения получаемые в модели вероятностного описания намагничивания материала, модель Ленца-Изинга, состоящий из периодической решётки спинов, которые коллективно приобретали намагниченность. Дальнейшие исследования, в частности работы Феликса Блоха по спиновым волнам и Луи Нееля по антиферромагнетизму, привели к разработке новых магнитных материалов для памяти на магнитных носителях.

В антиферромагнетиках существует взаимодействие между двумя соседними магнитными спинами. В магнитоупорядоченных системах он способствует наклону спина параллельных или антипараллельных магнитных моментов и, таким образом, является источником слабого ферромагнитного поведения в антиферромагнетике.

В 1958 году Игорь Дзялошинский представил доказательства того, что взаимодействие было обусловлено релятивистскими спиновыми решеточными и магнитными дипольными взаимодействиями, основанными на теории Льва Ландау. В 1960 году Тору Мория определил спин-орбитальное взаимодействие как микроскопический механизм антисимметричного обменного взаимодействия, называемое взаимодействием Дзялошинского-Мория (DMI)

В 1989 г. А.Н. Богданов и Д. А. Яблонский, входивших в группу В. Г. Барьяхтара, предсказали, в том числе и с помощью численных расчетов, возможность обнаружения магнитных скирмионов в определенном диапазоне внешних магнитных полей.

В 1993 г. Шиваджи Сондхи, А. Карлхеде, С. А. Кивелсон и Э. Х. Резайи открыли скримионы в квантовом эффекте Холла.

В 2009 году Себастьян Мюльбауэр вместе с соавторами в ходе дифракционного исследования экспериментально подтвердили существование топологически стабильных спиновых состояний, магнитных скирмионов, в магнитном материале MnSi.

В 2010 году его топология в реальном пространстве была подтверждена (Yu и др. 2010) с помощью электронной микроскопии (Lorentz transmission electron microscope).

Экспериментально наблюдаемые изображения спиновой текстуры в реальном пространстве, представленные латеральным распределением намагниченности, полученные с помощью анализа уравнение переноса интенсивности данных электронной микроскопии. 1) спиральная структура в нулевом магнитном поле, 2) структура кристалов Скирма для слабого магнитного поля (50 мТл), приложенного перпендикулярно тонкой пластине и 3) ее увеличенный вид. Цветовая схема и белые стрелки представляют направление намагниченности в каждой точке.

На сегодняшний день открыто уже много материалов, в которых при различных внешних магнитных полях и температурах, в том числе комнатных, обнаружены скирмионы разных видов.

Материалы и типы скирмионов. RT - комнатная температура. (H. Zhang и др. 2023 ) См. также: (S. Li, X. Wang и Rasing 2023 ), (Laan, S. L. Zhang и Hesjedal 2021 ), (Finocchio и Panagopoulos 2021 ) — Материалы и типы скирмионов. RT — комнатная температура. (H. Zhang и др. 2023 ) См. также: (S. Li, X. Wang и Rasing 2023 ), (Laan, S. L. Zhang и Hesjedal 2021 ), (Finocchio и Panagopoulos 2021 )

Приложения магнитных скирмионов и их вариантов

Поскольку скирмионы настолько малы и стабильны, физики заинтересованы в контроле над этими частицеподобными объектами для использования в будущих компьютерах и электронных хранилищах памяти. Исследователи уже научились создавать и удалять скирмионы на поверхностях. Хранилище данных могут уменьшится до 100 раз по сравнению с SSD. Первоначально исследователи могли создавать магнитные скирмионы только в материалах, охлажденных до очень низких температур, но теперь они обычно производятся в объектах с комнатной температурой.

Поскольку для хранения и электронного доступа к данным, хранящимся в магнитных скирмионах, требуется относительно мало энергии, инженеры считают, что эти частицы могут сделать очень эффективными устройства хранения данных. Развивающаяся область под названием скирмионика теперь посвящена созданию таких устройств следующего поколения.

Скирмионы, возможно, могут объяснить странное и загадочное явление, известное как шаровая молния — светящийся шар, который может появляться во время грозы и носиться по воздуху, намного переживая более известную зубчатую молнию. Предположительно, естественные процессы, которые каким-то образом создают закрученные узлы, возникающие в скирмионах, — это те же самые процессы, которые производят шаровую молнию.

Для практических целей важную роль играет умение оперировать скирмионами. Их репликация и взаимодействие. Численная визуализация взаимодействия (Rybakov и Kiselev 2019), (Kuchkin и др. 2020 )

Формирования скирмиона из двух плоских частей (X. Zhang, Zhou и Ezawa 2016 )

Другим перспективным применением магнитные скирмионов проводятся попытки использования их в нейроморфных компьютерах (Song и др. 2019 ) (Yokouchi и др. 2022 ). Например, скирмионы могут использоваться в резервуарных нейронных сетях.

Эластик Эйлера

Третьим примером настольной модели, в которой существуют разноименные заряды, является модель изгиба упругой проволоки. Формы изгиба упругой проволочки изучал Леонард Эйлер, поэтому у нас их называют Эластики Эйлера, а в англоязычной литературе теорией Эйлера-Бернулли.

Упругое лезвие, вынужденное принимать форму эластичной кривой. Источник: mathcurve

Если взять качественную и упругую проволоку, и завести одни из концов вокруг, все время держа ее в одной плоскости, и отведя концы проволоки в разные стороны слегка натягивания, то получим петли примерно такого вида.

При качественной пружине должен получиться угол примерно в 110 градусов. Причем от натяжения проволоки он не будет сильно зависеть, только сама петля будет уменьшаться в размерах.

Если сделать оборот в обратную сторону, то получим «отрицательно заряженную» петлю. Как и в модели Скотта, положительные петли будут отталкиваться, а отрицательные притягиваются и могут распутаться (аннигилировать). Здесь также: как бы не развивалась модель непрерывным образом, и разумеется удерживая проволоку в плоскости, общий заряд системы будет сохраняется.

Важной особенностью модели является, что пространство по которому считаются силы находится на самой проволоке. При расширении на многомерные случае пространство как-бы сворачивается.

Аналог расстояния здесь — длина дуги эластика , а не координата пространства в котором извивается эластик.

Такие «петли» могут двигаться. Причем если проследить за одной точкой струны во время прохождения солитона, то можно заметить, что она совершает полукруг. С небольшой скоростью сначала, достигая максимальной скорости при прохождении в вершине полуокружности, и с постепенно уменьшающейся скорость при возвращении точки на линию.

Если расширять подобные петли на двумерный случай, и тогда струна заменяется на мембрану, можно вводить дополнительные условия, чтоб мембрана оставалась неразрывной поверхностью. Неразрывность поверхности, например, можно задавать через наложение условий на нормали к ней, или же вводя новый член в лагранжиан, отвечающий за энергетическую недопустимость разрыва. (Абловиц и Сигур 1987, с. 388 ), (Shnir 2018 ), (Gisiger и Paranjape 1998), (Bartholomew 2015, с. 13)

В одномерном случае (см. выше эластик Эйлера) было не особо важно в каком пространстве вводят Лагранжиан, но для двумерной поверхности есть варианты, как определять плотность лагранжиана: по поверхности или в пространстве.

Эскиз расширения эластика Эйлера на двумерный случай. Источник и интерактивная версия.

На рисунке выше длина полосы примерно бордового цвета на поверхности около нуля, а на поверхностных координатах (от центра-вершины) дистанция примерно равная полуокружности «пузыря».

Еще одной особенностью является то, что могут существовать «заряды» разных типов. При условии, что поверхность не разрывна, в ней существует два типа зарядов: на верхнем рисунке топология гомеоморфна сфере, а на нижнем рисунке — тору:

Тороидальный тип. Источник и интерактивная версия

Они никак не могут переходить в друг друга. (Так же как электрон и антипротон). Кроме того торообразная конфигурация в данной модели существенно отличается от «бубликовых» конфигураций в модели Скирма или у плоских скирмионов с зарядом B=2: она не может распадаться на два заряда. Можно пойти дальше, и представить что торобразная версия имеет аналог кварка «дырка», которого у сферообразной конфигурации отсутствует. Она может сохраняться, комбинироваться, но отдельно «дырка» существовать никак не может, что гипотетически может быть связано с явлением конфайнмент. Если же рассматривать искажение «мембраны» на удаленном расстоянии от центра, то они будут довольно похожи для обоих вариантов и, значит, почти одинаково взаимодействовать (аналогично электрическому заряду электрона и антипротона). Также можно качественно оценить, что разница энергий конфигураций второго типа может быть значительно больше чем первого, особенно для трехмерных вариантов.

Заключение

Итак, мы окинули взглядом разнообразие простых 1,2-мерных моделей, которые можно пощупать, наблюдать или численно моделировать. Они дают представления об основных свойствах, условиях существования устойчивых объектов с точки зрения топологии и с точки зрения энергетической устойчивости. О том, как выглядят упругие столкновения, различные виды «завихрений». Данные примеры могут указать на направления расширений в более сложные многомерные модели, в которых могут появляться, конечно, и более сложные концепции. Возможно, после рассмотрения простых примеров предыдущая часть о трехмерной модели Скирма с ее концепциями станет намного ясней. Более подробно с моделями, а также с другими многообразными вариантами скирмионов, можно ознакомиться в предоставленной ниже литературе.

Список литературы

Aitchison, Ian J. R. (2020). Tony Skyrme and the Origins of Skyrmions. doi:
10.48550/ARXIV.2001.09944. arXiv: 2001.09944.
Bartholomew, Andrews (2015). Skyrmions.
Bloch, F. (март 1930). «Zur Theorie des Ferromagnetismus». в: Zeitschrift
fur Physik 61.3-4, с. 206—219. doi: 10.1007/bf01339661.
Bogdanov, A. N., U. K. Rößler и др. (дек. 2002). «Magnetic structures and
reorientation transitions in noncentrosymmetric uniaxial antiferromagnets».
в: Physical Review B 66.21, с. 214410. issn: 1095-3795. doi: 10.1103/
physrevb.66.214410.
Bogdanov, A. N. и D. A. Yablonskiui (1989). «Thermodynamically stable
«vortices» in magnetically ordered crystals. The mixed state of magnets».
в: JTEF 95, с. 178—182.
Braun, Hans-Benjamin (2018). «Solitons in Real Space: Domain Walls,
Vortices, Hedgehogs, and Skyrmions». в: Springer Series in Solid-State
Sciences. Springer International Publishing, с. 1—40. doi: 10.1007/978-
3-319-97334-0_1.
Brown, Gerald E. и Mannque Rho (янв. 2010). The Multifaceted Skyrmion.
World Scientific. doi: 10.1142/7397.
Chen, Shanquan и др. (авг. 2020). «Recent Progress on Topological Structures
in Ferroic Thin Films and Heterostructures». в: Advanced Materials 33.6,
с. 2000857. doi: 10.1002/adma.202000857.
Cuevas-Maraver, Jesus, Panayotis G. Kevrekidis и Floyd Williams, ред.
(2014). The sine-Gordon Model and its Applications. Springer International
Publishing. doi: 10.1007/978-3-319-06722-3.
Fejnman, R. (1977). Fejnmanovskie lektsii po fizike. Tom 6. Elektrodinamika.
Москва: Мир, с. 352.
Fert, Albert, Vincent Cros и João Sampaio (март 2013). «Skyrmions on the
track». в: Nature Nanotechnology 8.3, с. 152—156. issn: 1748-3395. doi:
10.1038/nnano.2013.29.
Finkelstein, David и Charles W. Misner (март 1959). «Some new conservation
laws». в: Annals of Physics 6.3, с. 230—243. doi: 10.1016/0003-4916(59)
90080-6.
Finocchio, Giovanni и Christos Panagopoulos, ред. (2021). Magnetic Skyrmions
and Their Applications. Elsevier. doi: 10.1016/c2019-0-02206-6.
Gisiger, T. и M. B. Paranjape (1998). «Recent mathematical developments
in the Skyrme model». в: doi: 10.48550/ARXIV.HEP-TH/9812148.
Göbel, Börge, Ingrid Mertig и Oleg A. Tretiakov (февр. 2021). «Beyond
skyrmions: Review and perspectives of alternative magnetic quasiparticles».
в: Physics Reports 895, с. 1—28. doi: 10.1016/j.physrep.2020.10.001.
arXiv: 2005.01390v2.
Gudnason, Sven Bjarke, Marco Barsanti и Stefano Bolognesi (май 2021).
«Near-BPS baby Skyrmions with Gaussian tails». в: Journal of High
Energy Physics 2021.5. doi: 10.1007/jhep05(2021)134.
Hen, I и M Karliner (февр. 2008). «Rotational symmetry breaking in baby
Skyrme models». в: Nonlinearity 21.3, с. 399—408. doi: 10.1088/0951-
7715/21/3/002.
Kuchkin, Vladyslav M. и др. (окт. 2020). «Magnetic skyrmions, chiral kinks,
and holomorphic functions». в: Physical Review B 102.14, с. 144422. issn:
2469-9969. doi: 10.1103/physrevb.102.144422.
Laan, G. van der, S. L. Zhang и T. Hesjedal (янв. 2021). «Depth profiling of
3D skyrmion lattices in a chiral magnet—A story with a twist». в: AIP
Advances 11.1, с. 015108. doi: 10.1063/9.0000072.
Landau, L. и E. Lifshitz (1992). «On the theory of the dispersion of magnetic
permeability in ferromagnetic bodies». в: Perspectives in Theoretical
Physics. Elsevier, с. 51—65. doi: 10.1016/b978-0-08-036364-6.50008-
9.
Li, Sheng, Xuewen Wang и Theo Rasing (февр. 2023). «Magnetic skyrmions:
Basic properties and potential applications». в: Interdisciplinary Materials
2.2, с. 260—289. issn: 2767-441X. doi: 10.1002/idm2.12072.
Li, Wenjing и др. (февр. 2019). «Anatomy of Skyrmionic Textures in Magnetic
Multilayers». в: Advanced Materials 31.14, с. 1807683. doi: 10.1002/
adma.201807683.
Lin, Shi-Zeng, Avadh Saxena и Cristian D. Batista (июнь 2015). «Skyrmion
fractionalization and merons in chiral magnets with easy-plane anisotropy».в: Physical
Review B 91.22, с. 224407. doi: 10 . 1103 / physrevb . 91 .
224407. arXiv: 1406.1422. https://arxiv.org/abs/1406.1422.
Manton, Nicholas и Paul Sutcliffe (июнь 2004). Topological Solitons. Cambridge
University Press. doi: 10.1017/cbo9780511617034.
Muhlbauer, S. и др. (февр. 2009). «Skyrmion Lattice in a Chiral Magnet».
в: Science 323.5916, с. 915—919. doi: 10.1126/science.1166767.
Nagaosa, Naoto и Yoshinori Tokura (дек. 2013). «Topological properties
and dynamics of magnetic skyrmions». в: Nature Nanotechnology 8.12,
с. 899—911. doi: 10.1038/nnano.2013.243.
Nayak, Ajaya K. и др. (авг. 2017). «Magnetic antiskyrmions above room
temperature in tetragonal Heusler materials». в: Nature 548.7669, с. 561—
566. doi: 10.1038/nature23466.
Perring, J. K. и T. H. R. Skyrme (март 1962). «A model unified field equation».
в: Nuclear Physics 31, с. 550—555. doi: 10.1016/0029-5582(62)90774-
5.
Polyanin, A. D. (2004). Exact Solutions, Sine-Gordon Equation. под ред.
Alexander V. Aksenov и др.
Pues, Matthias и Guido Meier (2018). «Magnetic Antivortices». в: NanoScience
and Technology. Springer International Publishing, с. 299—323. isbn:
9783319995588. doi: 10.1007/978-3-319-99558-8_15.
Rho, Mannque и Ismail Zahed (июнь 2015). The Multifaceted Skyrmion.
World Scientific. doi: 10.1142/9710.
Rybakov, Filipp N. и Nikolai S. Kiselev (февр. 2019). «Chiral magnetic
skyrmions with arbitrary topological charge». в: Physical Review B 99.6,
с. 064437. issn: 2469-9969. doi: 10.1103/physrevb.99.064437.
Scott, A. C. (янв. 1969). «A Nonlinear Klein-Gordon Equation». в: American
Journal of Physics 37.1, с. 52—61. doi: 10.1119/1.1975404.
Shnir, Yakov M. (июль 2018). Topological and Non-Topological Solitons in
Scalar Field Theories. Cambridge University Press. isbn: 9781108429917.
doi: 10.1017/9781108555623.
Sondhi, S. L. и др. (июнь 1993). «Skyrmions and the crossover from the integer
to fractional quantum Hall effect at small Zeeman energies». в: Physical
Review B 47.24, с. 16419—16426. doi: 10.1103/physrevb.47.16419.
Song, Kyung Mee и др. (2019). «Magnetic skyrmion artificial synapse for
neuromorphic computing». в: Nature Electronics 3, с. 148. doi: 10.48550/
ARXIV.1907.00957. arXiv: 1907.00957.
Stosic и Dusan (2018). Numerical simulations of magnetic skyrmions in
atomically-thin ferromagnetic films. под ред. Teresa Bernarda Ludermir.
Sutcliffe, Paul (июнь 2017). «Skyrmion Knots in Frustrated Magnets». в:
Physical Review Letters 118.24, с. 247203. doi: 10.1103/physrevlett.
118.247203.
Tokura, Yoshinori и Naoya Kanazawa (нояб. 2020). «Magnetic Skyrmion
Materials». в: Chemical Reviews 121.5, с. 2857—2897. doi: 10.1021/acs.
chemrev.0c00297.
Yokouchi, Tomoyuki и др. (сент. 2022). «Pattern recognition with neuromorphic
computing using magnetic field–induced dynamics of skyrmions». в: Science
Advances 8.39. doi: 10.1126/sciadv.abq5652.
Yu, X. Z. и др. (июнь 2010). «Real-space observation of a two-dimensional
skyrmion crystal». в: Nature 465.7300, с. 901—904. doi: 10 . 1038 /
nature09124.
Zang, Jiadong, Vincent Cros и Axel Hoffmann, ред. (2018). Topology in
Magnetism. Springer International Publishing. doi: 10.1007/978-3-319-
97334-0.
Zhang, Huai и др. (июль 2023). «Magnetic skyrmions: materials, manipulation,
detection, and applications in spintronic devices». в: Materials Futures
2.3, с. 032201. issn: 2752-5724. doi: 10.1088/2752-5724/ace1df.
Zhang, S. L., G. van der Laan и T. Hesjedal (февр. 2017). «Direct experimental
determination of the topological winding number of skyrmions in Cu2OSeO3».
в: Nature Communications 8.1. doi: 10.1038/ncomms14619.
Zhang, S. L., W. W. Wang и др. (май 2018). «Manipulation of skyrmion
motion by magnetic field gradients». в: Nature Communications 9.1. doi:
10.1038/s41467-018-04563-4.
Zhang, Shilei и др. (июнь 2018). «Reciprocal space tomography of 3D
skyrmion lattice order in a chiral magnet». в: Proceedings of the National
Academy of Sciences 115.25, с. 6386—6391. doi: 10.1073/pnas.1803367115.
Zhang, Xichao, Yan Zhou и Motohiko Ezawa (апр. 2016). «Antiferromagnetic
Skyrmion: Stability, Creation and Manipulation». в: Scientific Reports
6.1. doi: 10.1038/srep24795. arXiv: 1504.01198.
Абловиц, М. и Х. Сигур (1987). Солитоны и метод обратной задачи.
Москва: Мир.
Буллаф, Р. и Ф. Кодри (1983). Солитоны. Мир, с. 408.
Додд, Р. и др. (1988). Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.:
Мир, с. 694. isbn: ISBN: 5-03-000732-6.
Новокшенов, В. Ю. (2002). Введение в теорию солитонов. Учебное пособие. Москва : Ин-т компьют. исслед. isbn: 5-93972-100-1.
Филиппов, А. Т. Многоликий солитон, Издательство: Наука, Физматлит, 1990, Серия: Библиотечка «Квант

Источник