Уравнение синус-Гордона

Уравнение синус-Гордона — это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включающее в себя оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Изначально оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Это уравнение привлекло много внимания в 1970-х годах из-за наличия у него солитонных решений.

Происхождение уравнения и его названия

Существует две эквивалентные формы уравнения синус-Гордона. В (вещественных) координатах пространство-время, обозначенных (x, t), уравнение имеет вид

$\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0.$

При переходе к координатам светового конуса (u, v), близким к асимптотическим координатам, где

$u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {x-t}{2}},$

уравнение принимает вид

$\varphi _{uv}=\sin \varphi .$

Это исходная форма уравнения синус-Гордона, в которой оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной гауссовой кривизны K = −1, также называемых псевдосферами. Выберем систему координат, в которой координатная сетка u = const, v = const задаётся асимптотическими линиями, параметризованными длиной дуги. Первая квадратичная форма данной поверхности в таких координатах примет специальный вид:

$ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},$

где φ — угол между асимптотическими линиями, и для второй квадратичной формы, L = N = 0. Тогда уравнение Петерсона ― Кодацци, отражающее условие совместимости между первой и второй квадратичными формами, приводит к уравнению синус-Гордона. Изучение этого уравнения и соответствующих преобразований псевдосфер в XIX веке Бьянки и Бэклундом привели к открытию преобразований Бэклунда.

Название «уравнение синус-Гордона» — каламбур на тему хорошо известного в физике уравнения Клейна — Гордона:

$\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.$

Уравнение синус-Гордона является уравнением Эйлера — Лагранжа для лагранжиана

${\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi ):={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .$

Используя разложение в ряд Тейлора косинуса

$\cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}$

в данном лагранжиане, он может быть записан как лагранжиан Клейна — Гордона плюс члены более высокого порядка

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}=\\&=2{\mathcal {L}}_{\text{Klein–Gordon}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}$

Солитоны

Интересное свойство уравнения синус-Гордона — существование солитонных и многосолитонных решений.

Односолитонное решение

Уравнение синус-Гордона имеет следующие односолитонные решения:

$\varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta },$

где

$\gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}}.$

Односолитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для $\gamma$, называется кинк и представляет виток по переменной $\varphi$, который переводит одно решение $\varphi =0$ в смежное $\varphi =2\pi$. Состояния $\varphi =0{\pmod {2\pi }}$ известны как вакуумные, так как они являются постоянными решениями нулевой энергии. Односолитонное решение, в котором мы взяли отрицательный корень для $\gamma$, называется антикинк. Форма односолитонных решений может быть получена посредством применения преобразования Бэклунда к тривиальному (постоянному вакуумному) решению и интегрированию получившихся дифференциальных уравнений первого порядка:

$\varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},$

$\varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}},\quad \varphi =\varphi _{0}=0.$

Односолитонные решения могут быть визуализированы посредством синус-гордоновской модели упругой ленты. Примем виток упругой ленты по часовой стрелке (левовинтовой) за кинк с топологическим зарядом $\vartheta _{\textrm {K}}=-1$. Альтернативный виток против часовой стрелки (правовинтовой) с топологическим зарядом $\vartheta _{\textrm {AK}}=+1$ будет антикинком.

Кинк

Антикинк

Двухсолитонные решения

Многосолитонные решения могут быть получены посредством непрерывного применения преобразования Бэклунда к односолитонному решению, как предписывается решёткой Бьянки, соответствующей результатам преобразования. 2-солитонные решения уравнения синус-Гордона проявляют некоторые характерные свойства солитонов. Бегущие синус-гордоновские кинки и/или антикинки проходят сквозь друг друга как полностью проницаемые, и единственный наблюдаемый эффект — фазовый сдвиг. Так как сталкивающиеся солитоны сохраняют свою скорость и форму, такой вид взаимодействия называется упругим столкновением.

Другие интересные двухсолитонные решения возникают из возможности спаренного кинк-антикинкового поведения, известного как бризер. Известно три типа бризеров: стоячий бризер, бегущий высокоамплитудный бризер и бегущий малоамплитудный бризер.

Столкновение антикинк — кинк

Столкновение кинк — кинк

Стоячий бризер

Бегущий высокоамплитудный бризер

Бегущий малоамплитудный бризер

Трёхсолитонные решения

Трёхсолитонные столкновения между бегущим кинком и стоячим бризером или бегущим антикинком и стоячим бризером приводят к фазовому сдвигу стоячего бризера. В процессе столкновения между движущимся кинком и стоячим бризером сдвиг последнего $\Delta _{\textrm {B}}$ даётся соотношением

$\Delta _{B}={\frac {2\operatorname {arctanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2})}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}},$

где $v_{\text{K}}$ — скорость кинка, а $\omega$ — частота бризера. Если координата стоячего бризера до столкновения — $x_{0}$, то после столкновения она станет $x_{0}+\Delta _{\text{B}}$.

Столкновение кинка со стоящим бризером

Столкновение антикинка со стоящим бризером

Связанные уравнения

Уравнение шинус-Гордона:

$\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .$

Это уравнения Эйлера — Лагранжа для лагранжиана

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .$

Другое тесно связанное с уравнением синус-Гордона — это эллиптическое уравнение синус-Гордона:

$\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,$

где $\varphi$ — функция переменных x и y. Это уже не солитонное уравнение, но оно имеет много похожих свойств, так как оно связано с уравнением синус-Гордона аналитическим продолжением (или поворотом Вика) y = it.

Эллиптическое уравнение шинус-Гордона может быть определено аналогичным образом. Обобщение даётся теорией поля Тоды.

Квантовая версия

В квантовой теории поля модель синус-Гордона содержит параметр, который может быть отождествлён с постоянной Планка. Спектр частиц состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа бризеров. Число бризеров зависит от данного параметра. Множественные рождения частиц сокращаются на уравнениях движения.

Квазиклассическое квантование модели синус-Гордона было осуществлено Людвигом Фаддеевым и Владимиром Корепиным. Точная квантовая матрица рассеяния была открыта Александром и Алексеем Замолодчиковыми. Данная модель s-дуальна модели Тирринга.

В конечном объёме и на луче

Также рассматривают модель синус-Гордона на круге, отрезке прямой или луче. Возможно подобрать граничные условия, которые сохраняют интегрируемость данной модели. На луче спектр частиц содержит пограничные состояния кроме солитонов и бризеров.

Суперсимметричная модель синуса-Гордона

Суперсимметричный аналог модели синус-Гордона также существует. С таким же успехом для него могут быть найдены сохраняющие интегрируемость граничные условия.

Ссылки

• Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.
• Rajaraman R. Solitons and instantons. North-Holland Personal Library, 1989.