Предел Бекенштейна

В физике, предел Бекенштейна — это верхний предел энтропии S, или количества информации I, которые могут содержаться в заданной ограниченной области пространства, имеющей конечное количество энергии; либо, с другой стороны, максимальное количество информации, необходимое для идеального описания заданной физической системы вплоть до квантового уровня. Это подразумевает, что информация о физической системе, или информация, необходимая для идеального описания системы, должна быть конечной, если система занимает конечное пространство и имеет конечную энергию. С точки зрения информатики это означает, что имеется максимум скорости обработки информации (предел Бремерманна) для физической системы, которая имеет конечные размеры и энергию, и что машина Тьюринга с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически нереализуема.

Бекенштейн показал, что максимум энтропии, связанный с телом, достигается при превращении его в чёрную дыру. Другими словами, при достижении предела Бекенштейна носитель информации совершает гравитационный коллапс, превращаясь в чёрную дыру.

Формулы

Универсальная формулировка ограничения была первоначально открыта Яаковом Бекенштейном как неравенство

$S\leqslant {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},$

где S — энтропия, k — постоянная Больцмана, R — радиус сферы, охватывающей данную систему, Е — суммарная масса-энергия, включая массу покоя, ħ — приведённая постоянная Планка, а c — скорость света. Несмотря на существенную роль гравитации, выражение не содержит гравитационной постоянной G.

В применении к информации, ограничение формулируется в виде

$I\leqslant {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}},$

где I — количество информации, выраженное как число битов, содержащихся в квантовых состояниях в сфере. Множитель ln 2 происходит от определения количества информации как логарифма по основанию 2 от числа квантовых состояний ($I=log_{2}O$). Используя эквивалентность массы и энергии, информационный предел может быть переформулирован как

$I\leqslant {\frac {2\pi cRm}{\hbar \ln 2}}\approx 2{,}5769082\cdot 10^{43}mR,$

где m — масса системы в килограммах, а радиус R выражен в метрах.

Происхождение

Бекенштейн вывел предел, исходя из эвристических аргументов, касающихся чёрных дыр. Если существует система, нарушающая предел, то есть имеющая избыток энтропии, тогда, как утверждал Бекенштейн, можно было бы нарушить второй закон термодинамики, опустив систему в чёрную дыру. В 1995 году Тед Джекобсон показал, что уравнения Эйнштейна (уравнения гравитационного поля в общей теории относительности) могут быть выведены из предположения об истинности предела Бекенштейна и законов термодинамики. Однако, несмотря на ряд предложенных аргументов, которые показывали, что в той или иной форме предел неизбежно должен существовать для взаимной непротиворечивости законов термодинамики и общей теории относительности, точная формулировка предела была предметом дискуссий.

Примеры

Чёрные дыры

Вычисляемая по формуле Бекенштейна и Хокинга энтропия трёхмерных чёрных дыр точно насыщает предел Бекенштейна:

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},$

$A=4\pi r_{s}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},$

$l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3},$

$S={\frac {kA}{4l_{P}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}},$

где k — постоянная Больцмана, A — двумерная площадь горизонта событий чёрной дыры в единицах планковской длины, $l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3}$.

Предел тесно связан с термодинамикой чёрных дыр, голографическим принципом и голографическим пределом Буссо в квантовой гравитации и может быть выведен из предполагаемой сильной формы последнего.

Человеческий мозг

В среднем человеческий мозг обладает массой 1,5 кг и объёмом 1,26 л. Если мозг аппроксимировать сферой, её радиус будет 6,7 см.

Предел Бекенштейна для количества информации в таком случае составит около $2{,}6\cdot 10^{42}$ бит, что представляет максимальное количество информации, необходимое для полного воссоздания среднего человеческого мозга вплоть до квантового уровня, а количество $O=2^{I}$ квантовых состояний человеческого мозга должно быть примерно $10^{7{,}8\cdot 10^{41}}$.

См. также

• Принцип Ландауэра
• Колмогоровская сложность
• Термодинамика чёрных дыр
• Больцмановский мозг
• Цифровая физика
• Пределы вычислений
• Предел Чандрасекара

Литература

• J. D. Bekenstein, «Black Holes and the Second Law», Lettere al Nuovo Cimento, Vol. 4, No 15 (August 12, 1972), pp. 737—740, doi:10.1007/BF02757029, . Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Black Holes and Entropy», Physical Review D, Vol. 7, No. 8 (April 15, 1973), pp. 2333—2346, doi:10.1103/PhysRevD.7.2333, . Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Generalized second law of thermodynamics in black-hole physics», Physical Review D, Vol. 9, No. 12 (June 15, 1974), pp. 3292-3300, doi:10.1103/PhysRevD.9.3292, . Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Statistical black-hole thermodynamics», Physical Review D, Vol. 12, No. 10 (November 15, 1975), pp. 3077-3085, doi:10.1103/PhysRevD.12.3077, . Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Black-hole thermodynamics», Physics Today, Vol. 33, Issue 1 (January 1980), pp. 24-31, doi:10.1063/1.2913906, . Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, doi:10.1103/PhysRevD.23.287, . Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Energy Cost of Information Transfer», Physical Review Letters, Vol. 46, No. 10 (March 9, 1981), pp. 623—626, doi:10.1103/PhysRevLett.46.623, . Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Specific entropy and the sign of the energy», Physical Review D, Vol. 26, No. 4 (August 15, 1982), pp. 950—953, doi:10.1103/PhysRevD.26.950, .
• Jacob D. Bekenstein, «Entropy content and information flow in systems with limited energy», Physical Review D, Vol. 30, No. 8, (October 15, 1984), pp. 1669—1679, doi:10.1103/PhysRevD.30.1669, . Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Communication and energy», Physical Review A, Vol. 37, Issue 9 (May 1988), pp. 3437-3449, doi:10.1103/PhysRevA.37.3437, . Mirror link.
• Marcelo Schiffer and Jacob D. Bekenstein, «Proof of the quantum bound on specific entropy for free fields», Physical Review D, Vol. 39, Issue 4 (February 15, 1989), pp. 1109—1115, doi:10.1103/PhysRevD.39.1109 PMID 9959747, .
• Jacob D. Bekenstein, «Is the Cosmological Singularity Thermodynamically Possible?», International Journal of Theoretical Physics, Vol. 28, Issue 9 (September 1989), pp. 967—981, doi:10.1007/BF00670342, .
• Jacob D. Bekenstein, «Entropy bounds and black hole remnants», Physical Review D, Vol. 49, Issue 4 (February 15, 1994), pp. 1912—1921, doi:10.1103/PhysRevD.49.1912, . Also at arXiv:gr-qc/9307035, July 25, 1993.
• Oleg B. Zaslavskii, «Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes», Classical and Quantum Gravity, Vol. 13, No. 1 (January 1996), pp. L7-L11, doi:10.1088/0264-9381/13/1/002, . See also O. B. Zaslavskii, «Corrigendum to 'Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes'», Classical and Quantum Gravity, Vol. 13, No. 9 (September 1996), p. 2607, doi:10.1088/0264-9381/13/9/024, .
• Jacob D. Bekenstein, «Non-Archimedean character of quantum buoyancy and the generalized second law of thermodynamics», Physical Review D, Vol. 60, Issue 12 (December 15, 1999), Art. No. 124010, 9 pages, doi:10.1103/PhysRevD.60.124010, . Also at arXiv:gr-qc/9906058, June 16, 1999.

Ссылки

• Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein bound» Архивная копия от 14 апреля 2021 на Wayback Machine, Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374, doi:10.4249/scholarpedia.7374.
• Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein-Hawking entropy» Архивная копия от 16 октября 2011 на Wayback Machine, Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, doi:10.4249/scholarpedia.7375.
• Jacob D. Bekenstein’s website Архивная копия от 8 октября 2018 на Wayback Machine at the Racah Institute of Physics, Hebrew University of Jerusalem, which contains a number of articles on the Bekenstein bound.
• страница Яакова Бекенштейна Архивная копия от 8 октября 2018 на Wayback Machine (Еврейский университет в Иерусалиме), на которой опубликован ряд статей о пределе Бекенштейна.