Гипотеза Хедетниеми

Пример, для которого выполняется гипотеза Хедетниеми — тензорное произведение $C_{5}$ и $C_{3}$ (слева) даёт граф, который содержит цикл длиной 15 (справа), так что получающийся граф требует для раскраски 3 цвета.

Гипотеза Хедетниеми — математическая гипотеза, в общем случае опровергнутая, предположение о связи между раскраской графов и тензорным произведением графов:

$\chi (G\times H)=\min\{\chi (G),\chi (H)\}$,

где $\chi (G)$ — хроматическое число неориентированного конечного графа $G$.

Сформулирована Стефеном Хедетниеми в 1966 году.

В 2019 году российский математик Ярослав Шитов опровергнул гипотезу, предложив контрпример к ней.

Неравенство $\chi (G\times H)\leqslant \min\{\chi (G),\chi (H)\}$ подтвердить просто — если граф $G$ раскрашен в $k$ цветов, $G\times H$ можно раскрасить в $k$ цветов путём использования той же раскраски для каждой копии $G$ в произведении, из симметричного рассуждения следует ограничение по $H$. Таким образом, гипотеза Хедетниеми утверждает, что тензорные произведения не могут быть раскрашены с неожиданно малым числом цветов.

Частные случаи, в которых гипотеза верна

Любой граф с непустым множеством рёбер требует по меньшей мере два цвета. Если $G$ и $H$ не 1-раскрашиваем, то есть оба содержат по ребру, то их произведение также содержит ребро, а потому также не 1-раскрашиваем. В частности, гипотеза верна, когда $G$ или $H$ являются двудольным графом, поскольку тогда их хроматическое число равно либо 1, либо 2.

Аналогично, если два графа $G$ и $H$ не раскрашиваются в 2 два цвета, то есть не двудольный, тогда оба содержат цикл нечётной длины. Поскольку произведение двух нечётных циклов содержит нечётный цикл, произведение $G\times H$ также не может быть раскрашено в 2 цвета. Другими словами, если $G\times H$ можно раскрасить в 2 цвета, то по меньшей мере один из графов $G$ или $H$ должен позволять раскраску в 2 цвета.

Следующий случай доказали много позже формулировки гипотезы Эль-Захар и Зауэр — если произведение $G\times H$ можно раскрасить в 3 цвета, то один из графов $G$ или $H$ должен также позволять раскраску в 3 цвета. В частности, гипотеза верна, когда $G$ или $H$ позволяет раскраску в 4 цвета (поскольку тогда неравенство $\chi (G\times H)\leqslant \min\{\chi (G),\chi (H)\}$ может быть строгим, только когда $G\times H$ позволяет раскраску в 3 цвета). В остальных случаях оба графа в тензорном произведении должны иметь по меньшей мере 5-цветную раскраску и дальнейший прогресс есть только в очень ограниченных ситуациях.

Слабая гипотеза Хедетниеми

Следующая функция (известная как функция Поляка — Рёдля) измеряет, насколько мало́ может быть хроматическое число произведения $n$-хроматических графов.

$f(n)=\min\{\chi (G\times H):\chi (G)=\chi (H)=n\}$

Гипотеза Хедетниеми тогда эквивалентна высказыванию, что $f(n)=n$. Слабая гипотеза Хедетниеми вместо этого просто утверждает, что функция $f(n)$ не ограничена. Другими словами, если тензорное произведение двух графов можно раскрасить в несколько цветов, из этого должно следовать ограничение на хроматическое число одного из множителей.

Главный результат Поляка и Рёдля, независимо улучшенный Поляком, Шмерлем и Зу, утверждает, что если функция $f(n)$ ограничена, то она ограничена максимум значением 9. Тогда из доказательства гипотезы Хедетниеми для 10-хроматических графов будет следовать слабая гипотеза Хедетниеми для всех графов.

Мультипликативные графы

Гипотеза изучается в более общем контексте гомоморфизмов графов, особенно ввиду её связи с категорией графов (с графами как объекты и гомоморфизмами в качестве стрелок). Для любого фиксированного графа $K$ рассматриваются графы $G$, которые допускают гомоморфизм в $K$, что записывается как $G\to K$. Такие графы называются также $K$-раскрашиваемыми. Это обобщает обычное понятие раскраски графов, поскольку из определения следует, что $k$-раскраска является тем же самым, что и $K_{k}$-раскраска (гомоморфизм в полный граф с $k$ вершинами).

Граф $K$ называется мультипликативным, если для любых графов $G$ и $H$ из выполнения $G\times H\to K$ следует выполнение $G\to K$ или $H\to K$. Как и в случае классической раскраски, обратное всегда выполняется — если $G$ (или, симметрично $H$) $K$-раскрашиваем, то $G\times H$ легко $K$-раскрашиваем путём использования тех же значений цветов для всех копий $H$. Гипотеза Хедетниеми тогда эквивалентна утверждению, что любой полный граф является мультипликативным.

Упомянутые выше известные случаи эквивалентны утверждениям, что графы $K_{1}$, $K_{2}$ и $K_{3}$ мультипликативны. Случай $K_{4}$ широко открыт. С другой стороны, доказательство Эль-Захара и Зауэра обобщили Хе́ггквист, Хелл, Миллер и Нойманн-Лара, доказав, что все графы-циклы мультипликативны. Позднее Тардиф доказал более общий результат, что все цикловые клики $K_{\tfrac {n}{k}}$ с ${\tfrac {n}{k}}<4$ являются мультипликативными. В терминах циклового хроматического числа $\chi _{c}$ это означает, что если $\chi _{c}(G\times H)<4$, то $\chi _{c}(G\times H)=\min\{\chi _{c}(G),\chi _{c}(G)\}$.

Примеры немультипликативных графов можно построить из двух графов $G$ и $H$, которые несравнимы в порядке гомоморфизмов (то есть ни $G\to H$, ни $H\to G$ не выполняется). В этом случае, образуя $K=G\times H$, мы тривиально получим $G\times H\to K$, но ни $G$, ни $H$ не имеют гомоморфизма в $K$, поскольку, формируя проекцию $K\to H$ или $K\to G$, получается противоречие.

Экспоненциальный граф

Поскольку тензорное произведение графов является категорийно-теоретическим произведением в категории графов (с графами как объекты и гомоморфизмами в качестве стрелок), гипотезу можно переформулировать в терминах следующего построения на графах $K$ и $G$. Экспоненциальный граф $K^{G}$ — это граф со всеми функциями $V(G)\to V(K)$ в качестве вершин (не только гомоморфизмы) и две функции $f$ и $g$ смежны, если вершина $f(v)$ смежна вершине $g(v')$ в $K$ для всех смежных вершин $v,v'$ графа $G$. В частности, имеется петля у функции $f$ (она смежна себе самой) тогда и только тогда, когда имеется гомоморфизм из $G$ в $K$. Рассматривая под другим углом, можно сказать, что между $f$ и $g$ имеется ребро, когда две функции определяют гомоморфизм из $G\times K_{2}$ (Двойное покрытие двудольным графом графа $G$) в $K$.

Экспоненциальный граф является экспоненциалом в категории графов. Это означает, что гомоморфизмы из $G\times H$ в граф $K$ соответствуют гомоморфизмам из $H$ в $K^{G}$. Более того, имеется гомоморфизм $\mathrm {eval} :G\times K^{G}\to K$, задаваемый выражением $\mathrm {eval} (v,f)=f(v)$. Эти свойства позволяют заключить, что мультипликативность графа $K$ эквивалентна утверждению: для любых графов $G$ и $K$ либо $G$, либо $K^{G}$ является $K$-раскрашиваемым.

Другими словами, гипотезу Хедетниеми можно рассматривать как утверждение об экспоненциальных графах — для любого целого $k$ граф $K_{k}^{G}$ либо $k$-раскрашиваем, либо содержит петлю (это означает, что $G$ является $k$-раскрашиваемым). Можно также видеть гомоморфизмы $\mathrm {eval} :G\times K_{k}^{G}\to K_{k}$ как самые трудные случаи гипотезы Хедетниеми — если произведение $G\times H$ было бы контрпримером, то и $G\times K_{k}^{G}$ было бы контрпримером.

Обобщения

Обобщение на ориентированные графы имеет простой контрпример, как показали Поляк и Рёдль. Хроматическое число ориентированного графа является просто хроматическим числом соответствующего неориентированного графа, но тензорное произведение имеет в точности половину числа рёбер (для дуг $g\to g'$ в $G$ и $h\to h'$ в $H$ тензорное произведение $G\times H$ имеет только одно ребро из $(g,h)$ в $(g',h')$, в то время как произведение неориентированных графов имеет также ребро между $(g,h')$ и $(g',h)$). Однако оказывается, что слабая гипотеза Хедетниеми эквивалентна для неориентированных и ориентированных графов.

Проблему нельзя обобщить на бесконечные графы — Хайнл привёл пример двух бесконечных графов, каждый из которых требует для раскраски бесконечное число красок, но их произведение можно раскрасить конечным набором цветов. Ринот доказал, что в конструктивном универсуме для любого бесконечного кардинала $\kappa$ существует пара графов с хроматическим числом, большим $\kappa$, таких, что из произведение может быть раскрашено лишь конечным числом цветов.

Связанные проблемы

Похожее равенство для прямого произведения графов доказал Сабидусси и оно было переоткрыто после этого несколько раз. Точная формула известна для лексикографического произведения графов. Дуффус, Сэндс и Вудроу предложили две более строгие гипотезы с единственностью раскраски.

Литература

Основные источники

• Duffus D., Sands B., Woodrow R. E. On the chromatic number of the product of graphs // Journal of Graph Theory. — 1985. — Т. 9, вып. 4. — С. 487–495. — doi:10.1002/jgt.3190090409.
• El-Zahar M., Sauer N. The chromatic number of the product of two 4-chromatic graphs is 4 // Combinatorica. — 1985. — Т. 5, вып. 2. — С. 121–126. — doi:10.1007/BF02579374.
• Häggkvist R., Hell P., Miller D. J., Neumann-Lara V. On multiplicative graphs and the product conjecture // Combinatorica. — 1988. — Т. 8, вып. 1. — С. 63–74. — doi:10.1007/BF02122553.
• Hajnal A. The chromatic number of the product of two ℵ₁ chromatic graphs can be countable // Combinatorica. — 1985. — Т. 5, вып. 2. — С. 137–140. — doi:10.1007/BF02579376.
• Hedetniemi S. Homomorphisms of graphs and automata. — University of Michigan, 1966. — (Technical Report 03105-44-T).
• Poljak S., Rödl V. On the arc-chromatic number of a digraph // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1981. — Т. 31, № 2. — С. 190—198. — doi:10.1016/S0095-8956(81)80024-X.
• Rinot A. Hedetniemi's conjecture for uncountable graphs. — 2013. — . — arXiv:1307.6841.
• Sabidussi G. Graphs with given group and given graph-theoretical properties // Canadian Journal of Mathematics. — 1957. — Т. 9. — С. 515–525. — doi:10.4153/CJM-1957-060-7.
• Tardif C. Multiplicative graphs and semi-lattice endomorphisms in the category of graphs // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 2005. — Т. 95, № 2. — С. 338—345. — doi:10.1016/j.jctb.2005.06.002.
• Tardif C., Wehlau D. Chromatic numbers of products of graphs: The directed and undirected versions of the Poljak-Rödl function // Journal of Graph Theory. — 2006. — Т. 51, № 1. — С. 33—36. — doi:10.1002/jgt.20117.

Обзоры и другие источники

• Wilfried Imrich, Sandi Klavžar. Product Graphs: Structure and Recognition. — Wiley, 2000. — ISBN 0-471-37039-8.
• Sandi Klavžar. Coloring graph products: a survey // Discrete Mathematics. — 1996. — Т. 155, вып. 1–3. — С. 135–145. — doi:10.1016/0012-365X(94)00377-U.
• Sauer N. Hedetniemi's conjecture: a survey // Discrete Mathematics. — 2001. — Т. 229, вып. 1–3. — С. 261–292. — doi:10.1016/S0012-365X(00)00213-2.
• Claude Tardif. Hedetniemi's conjecture, 40 years later // Graph Theory Notes of New York. — 2008. — Т. 54. — С. 46—57.
• Xuding Zhu. A survey on Hedetniemi's conjecture // Taiwanese J. Math.. — 1998. — Т. 2, вып. 1. — С. 1–24.
• A Breakthrough in Graph Theory - Numberphile на YouTube