samsergey 24 фев 2023 в 04:07

Математическая продлёнка. Про углы и тригонометрию

Средний

17 мин

18K

Продолжаю знакомить вас с наработками к занятиям математического кружка. В этой статье собраны два сюжета, связанные друг с другом одной темой: математика углов и тригонометрия. Каким образом обосновываются угловые меры? Какие из них для чего более пригодны? Почему значения тригонометрических функций от рациональных долей окружности почти все иррациональны и, наоборот, почему в рациональной тригонометрии только восемь рациональных углов и те, по большей части тривиальны? Материал рассчитан на школьников, но он приоткрывает двери в большую математику, поэтому здесь появятся элементы теории чисел, теории алгебраических полей и полиномы Чебышёва.

В чём лучше измерять углы?

— А вам зачем? Определить направление в море, или, может быть, узнать уклон дороги? Хотите найти расстояние на сфере, либо угловое расстояние между звёздами? Или вам для геометрических нужд, треугольничек построить или звезду пятиконечную? Может, вас тригонометрия интересует, синус вычислить, координату какую отыскать, или фигуру Лиссажу нарисовать даме к 8 марта? Или вы больше по физике: вращения, колебания, гармонические функции, спектры, дифференциальные уравнения. А топологию окружности или группу поворотов изучить не желаете?

Для разных задач годятся разные меры, и какую попало выбирать не стоит. Во-первых, надо, что бы углы выражались числами (желательно, удобными — целыми или рациональными) и были пригодны для бытового использования. Во-вторых, они должны быть удобны для геометрических построений, имели внятные значения для часто встречающихся геометрических фигур. И, в-третьих, помогали нам дружить с тригонометрией и алгеброй — не одними же только циркулем и линейкой вычислять!

Обороты

Для длины абсолютной единицы не существует, выбирай, хоть аршин, хоть астрономическую единицу, хоть планковскую. А вот с оборотами не так. Полный оборот — сам себе единица. Вещь в себе, так сказать. Раз такое дело, самым естественным решением будет измерять углы оборотами и его долями. Нормальный способ, именно его мы используем для измерения частоты вращения, когда пишем об/минуту или когда просим кого нибудь повернуться на четверть-оборота для фотографии.

Однако, для геометрических нужд имеет смысл оборот представить, не как единицу, а как двойку, точнее, как два развернутых угла. Преимущества этого способа могут быть заметны при измерении углов правильных многоугольников, все они будут выражаться понятными говорящими дробями. Сумма углов в треугольнике тогда будет равна 1, в правильном многоугольнике с вершинами — Углы в квадрате: 1/4, в равностороннем треугольнике — 1/3, в пятиугольной звезде — 1/10, в пятиугольнике — 3/5. Удобно.

Грады и градусы

Но правильные дроби нравятся не всем. Так вышло, что законодателями мод в измерении углов были моряки и астрономы, и именно им принадлежат основные практичные угловые меры.

Мореходы и землемеры, в своё время, решили, что разделить угол между Севером и Востоком на 100 частей будет в самый раз! Так получились грады. Прямой угол — 100 град, развёрнутый — 200 град, полный оборот — 400. Кстати, при таком способе 1 град это 1% от прямого угла, можно было бы записывать углы в процентах.

Есть у град один конструктивный недостаток: у числа 400 сравнительно немного делителей: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200 и среди них нет чисел, кратных трём. Так что у равностороннего треугольника получится угол в 133⅓ града, которые в десятичной дроби представляются лишь периодичной дробью. Давайте поищем что-нибудь получше. Взглянем на то, как растёт количество делителей у чисел в первой тысяче:

Для детализации небольших значений горизонтальная шкала логарифмическая.

Как видите, есть такие числа, которые имеют наибольшее число делителей, среди всех предыдущих. Среди них значится знакомое число 360. Так что, если вам хочется рисовать правильные многоугольники, у которых 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180 вершин, имеющие целые значения углов, или заниматься астрономией, в которой угловые размеры Солнца и Луны составляют половину деления, то 360° — ваш выбор!

Ну, а если вам до зарезу нужны семиугольники, то вместо 360 делений выбирайте, например, 420. Делителей у этого числа столько же, что и у трёхсот шестидесяти, но среди них есть кратные 7. Если полный оборот принять за 420 единиц, то прямой угол будет равен 105, углы в правильном треугольнике — 70, в пятиугольнике — 127, в шестиугольнике — 140, семиугольнике — 150. Красота!

Часы

А ещё мне по душе штурманский способ измерять угол в часах и минутах. Разделив оборот на 24 часа, а час — на 60 минут, мы получим привычное бытовое деление суточного периода. К тому же, число 24 относится к числам с наибольшим числом делителей в своей весовой категории. Более того, 24×60 = 1440 имеет целых 34 делителя!

Так что углы во всех привычных правильных многоугольниках будут иметь вполне аккуратное выражение: треугольник — 4ʰ, квадрат — 6ʰ, пятиугольная звезда — 2ʰ24ᵐ, а пятиугольник — 7ʰ12ᵐ. Это менее привычно, чем десятичная запись, но легко ложится на визуальный образ циферблата. Вместо 24 делений можно использовать и 12 часов, но тогда половина прямого угла будет выражаться как 1ʰ 30ᵐ. Зато транспортир превратится в хорошо знакомый и привычный для нас часовой циферблат.

Но особенно мне нравится, как выглядит таблица тригонометрических функций, в которой аргумент выражен в часах:

$\begin{array}{c|ccccccc} x & 0^h & 1^h & 2^h & 3^h & 4^h & 5^h & 6^h \\\hline \sin(x) & 0 & \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} & 1 \\ \cos(x) & 1 & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & 0 \\ \mathrm{tg}(x) & 0 & 2-\sqrt{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \sqrt{3}-2 & \infty \end{array}$

Кроме привычных значений, в этой таблице можно разместить две дополнительные величины в 1 час и в 5 часов, соответствующие 15° и 75°. Значения синусов и косинусов для них громоздковаты, конечно, но во второй части статьи мы с вами убедимся в том, что это хорошие величины: они имеют алгебраическую степень равную четырём, но при этом выражаются в виде внятного сочетания корней. Таким образом, все целые часы имеют относительно неплохие значения тригонометрических функций.

Румбы

Углы это не только части оборота, это ещё и способ обозначать направления. В отличие от оборотов, направления образуют модулярную арифметику, то есть, не бывает направления соответствующего 25 часам. Так что 25ʰ = 1ʰ и 20ʰ + 6ʰ = 2ʰ. Ещё более явно эту особенность алгебры направлений демонстрируют румбы и азимуты.

К любому углу можно подобраться с помощью дихотомии или методом деления пополам. Сначала выясняем в какой полуплоскости лежит нужное нам направление, потом — в какой четверти, потом — в какой из половинок четвертей и так далее. Так с незапамятных времён делили горизонт моряки, измеряя углы в румбах, разделив окружность на 2⁵ = 32 части, и дав им звучные имена, типа вест-зюйд-вест, норд-ост-тень-ост или даже стрик встока к обеднику, которые очень прикольно выкрикивать хриплым голосом, стоя на мостике.

Наконец, углы можно измерять даже в пальцах, как это делают бывалые морские и речные волки, идя "на два пальца левее Алголя".

Изображения с сайта: http://shturman-tof.ru/Bibl/Bibl_1/Bibl_1_43vremy.html

Однако, степени двойки, не могут похвастаться большим числом делителей, у числа 32 их всего 5 и все... степени двойки. Так что, поскольку 1/6 выражается только в виде бесконечной двоичной дроби:

$\frac16 = 0.0(01)_2 = \frac18 + \frac1{32} + \frac1{128} + \frac1{512}+...$

используя номенклатуру румбов, угол в равностороннем треугольнике придётся выражать бесконечным символом. И о тригонометрии на языке румбов говорить будет нелегко, поскольку косинусы углов, являющихся степенями двойки, кроме четверти и восьмой части оборота, вычисляются не особо изящно:

$\cos(NbE) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

Ну, а для других румбов тригонометрические дела обстоят и того хуже!

Радианы

Все описанные выше способы деления окружности, более или менее, подходят для базовой тригонометрии и бытового использования. Но если вы решите вычислить производную от какого-нибудь синуса, то она не будет равна косинусу, покуда аргумент будет измеряться в оборотах, градах, часах или румбах. Однако, при равномерном вращении, скорости изменения прямоугольных координат точки выражаются именно так: $\dot{y} = x, \dot{x}= -y$

Если в качестве угловой меры взять расстояние, на которое прокатится колесо единичного радиуса, при известном повороте, то угол поворота будет измеряться в радианах, то есть, в отношениях длины дуги, стягиваемой углом, к её радиусу. При этом появится иррациональное число , но этот значок не хуже значка ° или, например, ₽. Если вместо "пи" произносить "развёрнутый угол", то смысл угла, выраженного в радианах станет яснее. Например, угол в правильном треугольнике равен π/3, то есть трети развёрнутого угла, а у квадрата — π/2, сиречь половина развёрнутого угла. А формула Эйлера $e^{i\pi} =-1$ гласит, что число −1, если рассматривать его, как комплексное , имеет аргумент, равный развёрнутому углу.

Несомненные выгоды от использования радиан начинаются при занятиях серьёзной тригонометрией и матанализом. В радианах синусы и косинусы решают дифференциальное уравнение: их можно раскладывать в ряды, и использовать методы приближённых вычислений, типа $\sin(x) \approx x$ для малых углов. С аргументом, выраженным в радианах, тригонометрия позволяет решать задачи на движение, строить теорию функций комплексного переменного и методы разложения в ряды Фурье для решения задач матфизики. Начиная с первого курса физфака или мехмата, про градусы можно забыть.

Уклоны

Наконец, можно отказаться от равномерных делений и сразу измерять углы в тангенсах. Именно этот способ используется на дорожных знаках, где уклон дороги, то есть тангенс угла, образуемого дорогой к горизонту, выражен в процентах. Этот подход полезен в геодезии и в дорожном строительстве. И даже позволяет кое-где упростить тригонометрию.

Например, если величина угла выражается через его тангенс рациональной дробью, то нетрудно точно посчитать его синус и косинус, не используя калькулятор:

$\mathrm{tg}(x)=\frac{p}{q},\quad\sin(x)=\frac{p}{\sqrt{p^2+q^2}},\quad\cos(x)=\frac{q}{\sqrt{p^2+q^2}}.$

Но есть и существенные проблемы. Уклон в равностороннем треугольнике будет равен 1/√3 ≈57.73%, а вот угол квадрата, простите, будет неопределён, ибо тангенс для прямого угла терпит разрыв. Но самое главное: углы, измеряемые таким образом, перестают быть аддитивными. Это значит, что сумма двух уклонов или, скажем, удвоение уклона будут вычисляться весьма нетривиально, особенно, с учётом разрывов.

От геометрии к алгебре

Эти ограничения можно обойти, если использовать не дробь для выражения тангенса, а пару чисел: (числитель, знаменатель). Тогда прямой угол примет безопасное "значение" (1,0), а его половина может быть выражена, как (1,1) или (√2,√2) — это одно и тоже. Последовательно развивая такое представление, можно прийти к теоретикогрупповому представлению об угле, как о повороте, то есть, действии на множестве точек пространства или элементов поля.

Решение нехитрой задачки на определение угла между заданными отрезками.

Если разглядеть в упомянутых выше парах чисел комплексные числа, то алгебру углов можно определить, как мультипликативную группу комплексных чисел, факторизованную по норме (модулю). Тогда аддитивная абелева группа поворотов становится изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел. Сложению углов (композиции поворотов) соответствует умножение соответствующих комплексных чисел, а вычитанию — умножение на сопряжённое число.

Ограничившись только такими парами чисел , что , получим полноценную алгебру, в которой повороты можно складывать таким образом: . Если все числа в парах будут рациональными, то результаты тоже окажутся парами рациональных чисел. Так можно построить группу рациональных точек окружности и рациональную тригонометрию, в которой нет корней, зато полно дробей с пугающими числами.

Наконец, окончательно абстрагировавшись от угловых мер, градусов, румбов и даже радиан, можно рассматривать углы, как топологическое пространство $\mathrm{S}^1$ и унитарную группу первого порядка изоморфную группе вращений двумерного вещественного пространства SO(2). Впрочем, этот подход, необходимый для определения базовых понятий в геометрии, для решения прикладных геометрических и инженерных задач, всё-таки, не очень удобен. Даже тот фундаментальный для евклидовой геометрии факт, что сумма углов в треугольнике равна развёрнутому углу, будет непросто выразить и доказать, оперируя комплексными числами или рациональными точками на окружности. Но в следующей части статьи именно такой взгляд на углы станет нашим основным инструментом.

Эй, тригонометрия, ты почему такая иррациональная?!

Вернёмся к таблице тригонометрических функций, заучиваемой в школе. Почему в школьной таблице синусов и косинусов так мало чисел, которые легко запомнить? Почему тангенсы, синусы и косинусы от "хороших" углов имеют "нехорошие" значения?

Взгляните ещё раз на привычную таблицу тригонометрических функций:

Вся эта красота врывается в жизнь восьмиклассника и способна здорово отравить её неинтуитивными иррациональными значениями, содержащими корни не то из 2 не то из 3, которые как-то надо запоминать. Рациональные значения представлены в этой таблице только четырьмя числами: 0,1/2 и ±1, все же остальные содержат квадратные корни. Наконец, в таблице кроме нулевого и прямого, нет таких углов, для которых все тригонометрические функции принимали бы рациональные значения одновременно.

Из-за этой сплошной иррациональности полностью решить прямоугольный треугольник, то есть узнать все точные значения углов, сторон и их отношений, возможно лишь в двух особых случаях: в треугольнике с углами (45°, 45°, 90°) и с углами (30°, 60°, 90°). Этим треугольникам в школьной программе можно смело ставить памятник!

Вот они, два классических школьных треугольника, под которые даже выпускаются специальные линейки.

Что же делает перечисленные углы "хорошими", и почему именно их мы заучиваем в школе? Они выражаются целыми числами в угловой мере, то есть, являются делителями 360°, или полного оборота. Может быть, мы не те углы выбрали для таблицы? Давайте взглянем на некоторые другие рациональные доли полного оборота:

Жуть! Ещё хуже стало. Получается, что в школьную таблицу попали те углы, для которых тригонометрия ещё терпимо иррациональна. У других шансов получить звание "хороших" очень невелики.

В то же самое время, все тригонометрические функции, это ведь просто отношения длин сторон в прямоугольном треугольнике. В обыкновенной тетрадке в клеточку мы можем нарисовать сколько угодно прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, для которых все тригонометрические функции будут принимать внятные рациональные значения:

Пара целочисленных треугольников с рациональной тригонометрией из огромного их множества.

Почему же эти значения не оказываются в таблицах тригонометрических функций? Дело в том, что для этих чудесных треугольников невозможно точно вычислить углы: они не будут рациональными долями 360° или полного оборота.

Получается, что либо углы рациональны, но тогда тригонометрия превращается в нагромождение корней, либо тригонометрия рациональна, а углы — нет. Одновременно всё становится рациональным только в самых примитивных случаях для 0°, 90°, 180° и 270°. Это значит, что углы и тригонометрические функции почти всегда несоизмеримы друг с другом. И дело тут не в выборе конкретной угловой меры, а в более фундаментальном свойстве евклидова пространства, в котором мы работаем.

А почему не вместе?

Все прямоугольные треугольники с рациональной тригонометрией имеют стороны, образующие, так называемые, пифагоровы тройки: целые числа и , такие что . И все они могут быть построены на регулярной прямоугольной решётке. Но увы, кажется, на этой же решётке невозможно построить никакой угол, выражающийся через рациональную долю полного оборота, кроме тех, что кратны 45°.

Для того, чтобы убедиться в этом, нужно представить точки на регулярной квадратной решётке, как комплексные числа с целыми вещественной и мнимой частями. Они называются гауссовыми числами. Они образуют алгебраическое кольцо и для этих чисел действует основная теорема арифметики и любое гауссово число раскладывается на простые множители не единственным, но вполне определённым способом. Эти разложения имеют некоторые особенности, существенно отличающие их от разложения вещественных целых чисел и из этих особенностей можно вывести следующее утверждение:

Если гауссово число при возведении в степень становится вещественным, то либо , либо , либо $a=\pm b$ .

Схема доказательства

Пусть $a+ib = z, \gcd(a,b)=1$ и $z^n=m\in \mathbb{Z}$ . Обозначим как один из простых делителей , тогда и сопряжённое ему число $\bar{w}$ , должно быть делителем числа , поскольку , по нашему предположению, вещественное. Отсюда следует, что $\bar{w}$ делит , а значит, и . Таким образом, мы можем заключить, что если это простой делитель гауссова числа , то вещественное целое $w\bar{w}$ тоже является делителем .

Поскольку $\gcd(a, b) = 1$ число раскладывается на простые множители, каждый из которых должен быть ассоциирован со своим сопряжённым. Для числа ассоциированными являются три числа: $-d+ci,\ -d-di,\ d-ci$ . Сопряжённое число может быть ассоциированным только если , или , или $c = \pm d$ . Первые два случая соответствуют вещественным множителям. Из третьего случая следует, что $c=\pm 1$ для любого простого делителя , а это значит, что должно быть ассоциированным числу для какого-то целого числа .

Из этого свойства вытекает следующее:

Углы, которые опираются на узлы регулярной квадратной решётки либо кратны 45°, либо несоизмеримы с 360°.

Доказательство

Доказать это утверждение можно, если вспомнить, что любое комплексное число можно представить в форме $r\exp(\theta i)$ . В такой форме удобно перемножать комплексные числа и возводить в степень. Так, в частности, $(a+bi)^n = r^n\exp(n\theta i)$ .

Рассмотрим гауссово число , образующее с горизонталью (вещественной осью) угол $\theta =k\pi/n$ , где — натуральное число, а — целое. Тогда число $(a+bi)^n = r^n\exp(k\pi i) =-r^n$ будет вещественным. Это для гауссовых чисел означает, что либо и $\theta = k\pi/2$ , либо и $\theta = 0$ , либо $a=\pm b$ и $\theta = k\pi/4$ . Во всех же остальных случаях многократное умножение на , эквивалентное повороту вектора на угол $\theta$ и одновременному увеличению его длины в раз, никогда не приведёт к вещественному значению, а значит, этот угол несоизмерим с 360°.

Осталось показать, что это свойство относится не только к углам, отсчитываемым от горизонтальной оси, но справедливо для любого угла, опирающегося на узлы решётки. Это легко продемонстрировать на рисунке, который показывает, что переходя к регулярным подрешёткам, легко можно свести любой угол к доказанному случаю.

Угол между векторами (3, −1) и (3, 4) при переходе на подрешётку, генерируемую первым вектором, является углом между вектором (1, 3) и горизонтальной осью на этой подрешётке

Таким образом, школьные задачи, подразумевающие внятный ответ, в которых нужно найти углы, опирающиеся на узлы квадратной сетки, скорее всего, имеют решение 45°, 90° или 135°. Либо задача формулируется на поиск тангенса угла.

В этой популярной задаче нужно найти точное значение угла, а значит, это может быть только 45°. Её можно решить разными способами, с привлечением геометрии, векторов, вычисляя арктангенсы, но если вас спрашивают про угол, то единственный возможный точный ответ, в принципе, вы уже знаете.

В сети легко найти множество рекомендаций по построению приближений к углам, кратным 10° или даже 5°. Однако, очень мало где говорится, то это только приближения, причём, удобно работающие только для построения углов, отсчитываемых от горизонтали. Впрочем, для быстрых построений они, действительно, могут быть полезны.

Копаемся в тригонометрическом лайфхаке

На многих ресурсах, созданных для облегчения жизни школьникам, то и дело появляются разнообразные лайфхаки: приёмы, существенно облегчающие запоминание чего-либо или упрощающие вычисления. Отношение у педагогов к таким приёмам неоднозначное. Одни с удовольствием их пропагандируют, продвигая мысль, что "Математика — это просто!". Другие возражают: "Ученик — не попка, заученное, но не понятое бесполезно", и считают лайфхаки, шпаргалки и линейки с формулами вредными.

Мне не нравится считать математику простой. Она сложна, но невероятно интересна, а главное, она познаваема! Это же относится и к жизни. Не уверен, что хочу прожить "простую" жизнь, в которой "всё понятно", потому что есть "правильные ответы", найденные кем-то для меня и выученные мною до автоматизмов. Это не вопрос "свободы выбора" или "права на самовыражение". Это про удовольствие, про красоту, про интерес, про мастерство, как в математике, так и в жизни. Так что, мне кажется очень полезным и интересным рассмотреть ответы, найденные другими, и самостоятельно постараться понять, что они означают и откуда взялись.

Выходит, я отношусь тем, кто любит лайфхаки, и с удовольствием о них рассказывает, но использует их, как повод заглянуть "под капот", и разобраться с тем почему, как и при каких условиях они работают. Многие "простые приёмы" имеют под собой интереснейшие и глубокие основания, открывающие двери в разделы серьёзной математики.

Уверен, многие из вас встречали этот симпатичный способ запомнить табличные значения тригометрических функций, синуса и косинуса, в первой четверти, который столь же часто рекомендуют, сколько поругивают:

$\begin{array}{c|ccccc} \alpha & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2\\\hline \sin(\alpha) & \sqrt{\frac{0}{4}} & \sqrt{\frac{1}{4}} & \sqrt{\frac{2}{4}} & \sqrt{\frac{3}{4}} & \sqrt{\frac{4}{4}}\\ \cos(\alpha) & \sqrt{\frac{4}{4}} & \sqrt{\frac{3}{4}} & \sqrt{\frac{2}{4}} & \sqrt{\frac{1}{4}} & \sqrt{\frac{0}{4}}\\ \end{array}$

К нему даже приспособили растопыренные пальцы для пущей понятности.

Польза от этого способа есть, он позволяет не только запомнить значения синуса и косинуса, но и усвоить кто из них растёт, а кто убывает в первой четверти. Но есть в нём кое-что любопытное. Аргумент $\alpha$ меняется неравномерно, а под корнями при этом наблюдаются линейные зависимости. Но мы же прекрасно понимаем, что тригонометрия не ограничивается квадратными корнями. О чём говорит нам эта линейная зависимость? Почему значений именно пять, а не больше? И почему под корнями равномерно перебираются четверти?

Откуда взялась линейность

Давайте сначала посмотрим на то, как этот способ выглядит графически. Нанесём значения синуса и косинуса из таблицы, как точки на координатной плоскости.

Ожидаемо получим пять точек, лежащих на окружности с единичным радиусом. Точки, соответствующие подкоренным выражениям (зелёные), при этом выстраиваются в аккуратную линию. В этом тоже нет ничего неожиданного, если вспомнить, что $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ , а значит, квадраты синуса и косинуса, действительно, связаны линейным соотношением.

Почему значений только пять?

В теории полей, есть такой термин степень алгебраического числа. Им обозначается минимальная степень многочлена, корнем которого может быть число.

Например, целые и рациональные числа имеют алгебраическую степень, равную единице, потому что они могут быть решением уравнения для целых коэффициентов и . Числа $\sqrt2$ , или золотое сечение имеют степень равную двум, потому что являются корнями квадратных уравнений, так же как и гауссовы числа, не являющиеся вещественными. А вот кубический корень, решая квадратное уравнение с рациональными коэффициентами получить не выйдет, тут требуется уравнение третьей степени. Так что $\sqrt[3]2$ имеет алгебраическую степень, равную трём.

Методами теории полей можно показать, что алгебраическая степень значений тригонометрических функций от угла вида $2k\pi/n$ зависит от числа :

$\begin{eqnarray*} D\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right) &=& \frac{\varphi(n)}{2},\\ D\left(\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right) &=& \left\{ \begin{array}{ll} \varphi(n), &\mathrm{if}\ n \ne 0 \mod 4,\\ \varphi(n)/2, &\mathrm{if}\ n = 0 \mod 8,\\ \varphi(n)/4, &\mathrm{if}\ n = 4 \mod 8. \end{array} \right.\\ D\left(\mathrm{tg}\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right) &=& \left\{ \begin{array}{ll} \varphi(n), &\mathrm{if}\ n \ne 0 \mod 4,\\ \varphi(n)/4, &\mathrm{if}\ n = 0 \mod 8,\\ \varphi(n)/2, &\mathrm{if}\ n = 4 \mod 8. \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

В приведённой выше формуле используется функция Эйлера $\varphi(n)$ , которая играет очень важную роль в теории чисел. Она определена на множестве натуральных чисел и равна количеству чисел, не превышающих n и взаимно с ним простых.

Взгляните на первые двенадцать значений функции Эйлера, а также на соответствующие доли круга и алгебраические степени косинуса и синуса для этих долей:

Эту таблицу можно продолжить и дальше, но чем больше оказывается число n, тем больше можно отыскать чисел с ним взаимно простых. Вот как растёт функция Эйлера:

Более или менее удобоваримыми можно считать числа с алгебраической степенью 1 и 2. Но $\varphi(n)$ становится больше 2, для всех , а если , то $\varphi(n)$ уже не опустится ниже четырёх. Это значит, что в табличке мы перечислили все возможные рациональные доли окружности, в которых косинус и синус имеют шанс попасть на страницы школьного учебника. Таких углов в первой четверти оказывается всего пять, и это ровно те углы, что оказались в таблице, с которой начался наш разговор.

Вот как выглядит распределение по углам максимального значения алгебраических степеней для тригонометрических функций.

Здесь каждый чёрный кружок показывает угол и максимальную алгебраическую степень тригонометрических функций для него, как расстояние от центра координат (логарифмированное для наглядности). Зелёный, розовый и голубой круги в середине ограничивают величины с алгебраической степенью 1, 2 и 3.

Табличные значения углов попадают внутрь радиуса, ограничивающего алгебраические степени меньше 3.

А причём тут четвёрки?

Итак, почему чисел в таблице всего пять, мы разобрались. Понятно также почему они образуют линейную зависимость под корнем. Но каким образом они оказались расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, и отчего во всех подкоренных выражениях в знаменателях четвёрки?

Пора нам взглянуть на те самые алгебраические уравнения, о решениях которых мы говорили, когда рассуждали об алгебраических степенях.

В школьном курсе значения тригонометрических функций от примечательных углов выводятся геометрически. Однако эти вычисления можно свести к решению чисто алгебраических задач.

Из формул косинуса суммы несложно получить полезное соотношение:

$\cos(n\alpha) = 2\cos[(n-1)\alpha]\cos(\alpha) - \cos[(n-2)\alpha].$

Подставляя натуральные числа , можно вывести следующие равенства:

$\begin{array}{cll} \cos(0\alpha) &&= 1\\ \cos(1\alpha) &&= \cos(\alpha)\\ \cos(2\alpha) &= 2\cos(1\alpha)\cos(\alpha)-1 &= 2\cos(\alpha)^2-1\\ \cos(3\alpha) &= 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)-\cos(1\alpha) &= 4\cos(\alpha)^3 - 3\cos(\alpha)\\ \cos(4\alpha) &= 2\cos(3\alpha)\cos(\alpha)-\cos(2\alpha) &= 8\cos(\alpha)^4 - 8\cos(\alpha)^2 - 1\\ \cos(5\alpha) &= 2\cos(4\alpha)\cos(\alpha)-\cos(3\alpha) &= 16\cos(\alpha)^5 - 20\cos(\alpha)^3 + 5\cos(\alpha)\\ \vdots&& \end{array}$

Если теперь заменить $\cos(α)$ на формальную переменную и ввести обозначение $\cos(nα) = T_n(x)$ то мы получим последовательность многочленов:

$\begin{array}{l} T_0(x) = 1\\ T_1(x) = x\\ T_2(x) = 2x^2 - 1\\ T_3(x) = 4x^3 - 3x\\ T_4(x) = 8x^4 - 8x + 1\\ T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x\\ \vdots \end{array}$

для которых выполняется общее правило:

$T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x).$

Мы получили семейство многочленов Чебышёва (первого рода), которые используются в широком ряде задач от приближённых вычислений и численного интегрирования, до теории сигналов и радиосвязи.

Приравнивая многочлен к значениям косинуса какого-нибудь угла, можно вычислить косинус от -ной доли этого угла. Например, решив уравнение $T_3(x) = \cos(\alpha) = 4x^3 − 3x$ , мы найдём $a=\cos(\alpha/3)$ .

Так можно найти все значения из обсуждаемой нами волшебной таблицы. Например, для $x = \cos(π/6) = \cos((π/2)/3)$ мы получаем:

$T_3(x) = \cos(\pi/2)\quad \Rightarrow\quad 4x^3-3x = 0\quad \Rightarrow\quad x^2 = 3/4$

вы можете найти сами алгебраические значения $\cos(π/4)$ и $\cos(π/3)$ , и чтобы почувствовать себя крутым математиком, косинусы румбов NNE и NbE.

Графики двух многочленов Чебышёва и связь их корней с табличными значениями тригонометрических функций.

Имея общий вид для многочленов Чебышёва, можно увидеть откуда берутся четвёрки в таблице-лайфхаке. Обратите внимание на то, что все многочлены имеют коэффициент при старшей степени вида , который появляется из-за двойки в рекуррентном определении многочленов. В то же время, все пять значений из мнемонической таблицы получаются из уравнений, вытекающих из и . А в них старшие коэффициенты равны 2 или 4. В результате, все квадраты значений с алгебраической степенью не превышающей 2, можно записать так, чтобы старший коэффициент был равен 4. Для других долей окружности порядки уравнений становятся выше, и либо их решения будут выражаться через нагромождение корней и дробей, либо не решаются в конечной форме вовсе.

Подведём итог нашей вылазки. Мы выяснили, что среди углов, являющихся рациональной долей полного круга, есть только пять, для которых значения синуса и косинуса имеют алгебраическую степень 1 или 2. Для всех этих углов уравнения, выводимые из многочленов Чебышёва имеют старший коэффициент 2 или 4, таким образом, все эти значения будут квадратными корнями из рациональных чисел со знаменателем 4. Так как все они должны оказаться в интервале [0, 1], то в нашем распоряжении оказывается ровно пять таких рациональных чисел: 0/4, 1/4, 2/4, 3/4 и 4/4. Иные значения возможны, но будут иметь более сложную структуру и более высокую алгебраическую степень.

Используя теорию чисел, можно составить исчерпывающий список значений уклонов, имеющих алгебраическую степень 2, соответствующих углам, соизмеримым с 2π. И убедиться в том, что все они выражаются целыми значениями, если измерять углы в часах.

$\begin{array}{ll} \mathrm{tg}(\pi/3) = \sqrt{3} & \mathrm{tg}(2\pi/3) = -\sqrt{3}\\\rule{0pt}{4ex} \mathrm{tg}(\pi/6) = \sqrt{3}/3 & \mathrm{tg}(5\pi/6) = -\sqrt{3}/3 \\\rule{0pt}{4ex} \mathrm{tg}(\pi/8) = \sqrt{2}-1 & \mathrm{tg}(3\pi/8) = \sqrt{2}+1 \\ \mathrm{tg}(5\pi/8) = -\sqrt{2}-1 & \mathrm{tg}(7\pi/8) = 1-\sqrt{2} \\\rule{0pt}{4ex} \mathrm{tg}(\pi/12) = 2-\sqrt{3} & \mathrm{tg}(5\pi/12) = \sqrt{3}+2 \\ \mathrm{tg}(7\pi/12) = -\sqrt{3}-2 & \mathrm{tg}(11\pi/12) = \sqrt{3}-2 \end{array}$

По-моему, теория чисел и теория полей — это круто! Здорово иметь возможность не просто вычислять какие-то значения, а ещё до начала вычислений знать, в какой мере эти значения вычислимы. Именно благодаря таким рассуждениям удалось дать исчерпывающий ответ на давний вопрос: какие задачи можно решить с помощью циркуля и линейки, а какие нельзя.

Благодарю за храбрость тех, кто пробрался вместе со мной сквозь дебри теории! Вместе не так страшно. А тех, кому интересно, приглашаю на Дзен-канал Онлайн-кружок математики, в котором занимательно-математические статьи появляются в облегчённом варианте.

Предыдущие статьи в серии Математическая продлëнка:

Квадратные уравнения во всей красе

Теория чисел на пальцах

Теги:

Хабы: