Часть III / Лекция 17. Топология фигур в пространствеТопологияСлово «топология» произошло от греческого topos «место». Топология это раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, то есть свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Иными словами, при сгибании, скручивании, сжимании, растягивании и вообще любых деформациях, кроме разрывов и склеиваний, все свойства фигуры сохраняются (с точки зрения топологии). К топологическим свойствам фигур относятся также размерность, число кривых, ограничивающих данную область (контуры связность), и некоторые другие. На прошлой лекции мы познакомились с формулой Эйлера, которая имеет вид:
Г + В = Р + 2 (Г число граней, В число вершин, Р число
ребер). Но оказывается, что эта формула имеет более общий вид, если принять во
внимание такую характеристику, как связность. Связность h есть
количество разрезов + 1. Таким образом, формула Эйлера принимает следующий вид: Согласно формуле, приведенной выше, очевидно, что окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, так как эти линии могут быть деформированы одна в другую без разрывов и склеиваний. В то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо двумя. Чтобы деформировать одну фигуру в другую, обладающую разными свойствами, придется делать разрезы. Между разрезами и связностью существует следующее соотношение: h = p + 1, где р количество разрезов. Например, с помощью двух разрезов тор превращается в лист, поэтому связность тора h = 2 + 1 = 3. Некоторые свойства различных фигур приведены в таблице.
|
||||||||||||||||||
|
|